高一物理相遇和追及問(wèn)題(含詳解)

相遇和追及問(wèn)題機(jī)動(dòng)車的行駛安全問(wèn)題：機(jī)動(dòng)車行駛時(shí)，反應(yīng)時(shí)間和反應(yīng)距離是非常重要的安全因素。反應(yīng)時(shí)間是指從發(fā)現(xiàn)情況到采取相應(yīng)措施所需的時(shí)間，而反應(yīng)距離則是在反應(yīng)時(shí)間內(nèi)機(jī)動(dòng)車仍然以原來(lái)的速度勻速行駛的距離。剎車距離是從剎車開始到機(jī)動(dòng)車完全停下來(lái)所需的距離。停車距離由反應(yīng)距離和剎車距離共同決定，而安全距離則應(yīng)大于一定情況下的停車距離。追及與相遇問(wèn)題的概述：追及問(wèn)題可以分為兩類情況：速度小者追速度大者和速度大者追速度小者。若后者能夠追上前者，則追上時(shí)，兩者處于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度。若后者追不上前者，則當(dāng)后者的速度與前者相等時(shí)，兩者相距最近。相遇問(wèn)題常見于同向運(yùn)動(dòng)的兩物體的相遇問(wèn)題，即追及問(wèn)題，以及相向運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)各自移動(dòng)的位移大小之和等于開始時(shí)兩物體的距離時(shí)相遇。解題方法：在解決追及和相遇問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)注意畫出示意圖，標(biāo)明數(shù)值和物理量。當(dāng)被追趕的物體做勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，還要注意該物體是否停止運(yùn)動(dòng)了。例題：為了保證機(jī)動(dòng)車行駛安全，在高速公路上行駛的汽車之間應(yīng)保持必要的距離。已知某高速公路的最高限速為120km/h。假設(shè)前方車輛突然停止運(yùn)動(dòng)，后面汽車的司機(jī)從發(fā)現(xiàn)情況到采取剎車措施經(jīng)歷了0.50s的反應(yīng)時(shí)間，剎車時(shí)汽車所受阻力是車重的0.40倍。為了避免發(fā)生追尾事故，在該高速公路上行駛的汽車之間至少應(yīng)保留多大的距離？解析：將120km/h轉(zhuǎn)換為33.3m/s，然后應(yīng)用勻減速運(yùn)動(dòng)的公式計(jì)算加速度大小為4m/s2。勻速階段的位移為16.7m，減速階段的位移為139m，因此兩車至少相距156m。在同一個(gè)速度-時(shí)間圖中，Ⅰ表示自行車的速度圖線，Ⅱ表示汽車的速度圖線。自行車的位移x等于圖線Ⅰ與時(shí)間軸圍成的矩形的面積，而汽車的位移x等于圖線Ⅱ與時(shí)間軸圍成的三角形的面積。兩車之間的距離則等于圖中矩形的面積與三角形面積的差。當(dāng)t=t時(shí)，矩形與三角形的面積之差最大，此時(shí)v汽=at=v自，t=v自/6=s/(2a/3)，ΔS=m=t*v自/2=2*6m/22=6m。設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t汽車和自行車之間的距離Δx，則2Δx=x自-x汽=vt-at=6t-t^2/2，當(dāng)t=2s時(shí)兩車之間的距離有最大值Δxm，且Δxm=6m?！军c(diǎn)評(píng)】(1)解決追及相遇問(wèn)題時(shí)，要掌握“一圖三式”，即：過(guò)程示意圖，時(shí)間關(guān)系式、速度關(guān)系式和位移關(guān)系式，另外要對(duì)解的討論進(jìn)行充分分析。(2)分析追及、相遇類問(wèn)題時(shí)，要注意關(guān)鍵字眼，如“剛好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往對(duì)應(yīng)一個(gè)臨界狀態(tài)，滿足相應(yīng)的臨界條件。(3)解題思路和方法?！咀兪?】小轎車在十字路口等綠燈亮后，以1m/s的加速度啟動(dòng)，恰在此時(shí)，一輛大卡車以7m/s的速度從旁超過(guò)，做同向勻速運(yùn)動(dòng)，問(wèn)（1）小轎車追上大卡車時(shí)已通過(guò)多少路程？（2）兩車間的距離最大時(shí)為多少？【答案】(1)98m(2)24.5m【變式2】甲、乙兩車同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，向同一方向運(yùn)動(dòng)，其中甲以10m/s的速度勻速行駛，乙以2m/s的加速度由靜止啟動(dòng)，求：(1)經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間乙車追上甲車？此時(shí)甲、乙兩車速度有何關(guān)系？(2)追上前經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間兩者相距最遠(yuǎn)？此時(shí)二者的速度有何關(guān)系？【答案】(1)10s速度相等(2)5s加速度相等甲車和乙車之間的距離在0~10秒內(nèi)逐漸增加，在10~15秒內(nèi)逐漸減小，直到20秒時(shí)再次相遇。因此，選項(xiàng)A、B、D是錯(cuò)誤的。由于在5~15秒內(nèi)甲車和乙車的速度相等，所以選項(xiàng)C是正確的。例4中，一輛小汽車以速度vA向東行駛，一位觀光游客從南向北橫穿馬路。司機(jī)在游客經(jīng)過(guò)D處時(shí)緊急剎車，但仍然撞到了游客。警車以法定最高速度vM行駛在同一地段，胎磨損情況與肇事汽車相同。警車在肇事汽車的起始制動(dòng)點(diǎn)A緊急剎車，經(jīng)過(guò)14.0米后停下來(lái)。在事故現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得AB=17.5米，BC=14.0米，BD=2.6米。問(wèn)題是：（1）肇事汽車的初速度vA是多少？（2）游客橫穿馬路的速度是多少？（1）警車和肇事汽車都做勻減速運(yùn)動(dòng)，其加速度大小為a=μg，與車子的質(zhì)量無(wú)關(guān)。因此，警車和肇事汽車做勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度a的大小是相等的。對(duì)于警車，有vM=2as；對(duì)于肇事汽車，有vA=2as'。由AB+BC=17.5+14.0=31.5米，以及vM=21米/秒，可以得到vA=vM=21米/秒。（2）由于肇事汽車至出事點(diǎn)B的速度為vB=14.0米/秒，由vA和vB的速度之和除以2等于游客橫穿馬路的距離BD除以時(shí)間t1，可以得到游客橫穿馬路的速度v'≈1.53米/秒。在解決物體的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，需要先分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，特別是當(dāng)物體有多個(gè)運(yùn)動(dòng)階段時(shí)，必須明確問(wèn)題所研究的是運(yùn)動(dòng)的哪一個(gè)階段。當(dāng)問(wèn)題涉及多個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)先分別獨(dú)立研究各個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，然后找出它們之間的聯(lián)系。1、在十字路口，汽車以0.5m/s2的加速度從停車線啟動(dòng)做勻加速運(yùn)動(dòng)，恰好有一輛自行車以5m/s的速度勻速駛過(guò)停車線與汽車同方向行駛，求：①什么時(shí)候它們相距最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離是多少？②在什么地方汽車追上自行車？追到時(shí)汽車的速度是多大？解析：①設(shè)相遇時(shí)兩車距離為x，此時(shí)汽車行駛的時(shí)間為t，自行車行駛的時(shí)間為t+x/5。根據(jù)相遇時(shí)兩車距離的公式可得：x=0.5t2+2.5t兩車相距最遠(yuǎn)時(shí)，它們的相對(duì)速度為0，即汽車的速度等于自行車的速度。因此，此時(shí)汽車的速度為5m/s，代入上述公式可得：t=5s，x=37.5m。所以它們相距最遠(yuǎn)時(shí)的距離為37.5m。②當(dāng)汽車追上自行車時(shí)，它們的距離為0，即0.5t2+2.5t=5t，解得t=5s。此時(shí)汽車行駛的距離為0.5×52=12.5m，因此汽車追上自行車的位置為停車線后12.5m的地方，汽車的速度為5+0.5×5=7.5m/s。綜上所述，答案為：①它們相距最遠(yuǎn)的時(shí)間為5秒，最遠(yuǎn)距離為37.5米。②汽車追上自行車的位置為停車線后12.5米的地方，汽車的速度為7.5米/秒。2、甲和乙在直跑道上練習(xí)4×100m接力。他們擁有相同的最大速度。乙需要跑25m才能達(dá)到最大速度，這個(gè)過(guò)程可以視為勻變速運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)在甲持棒以最大速度向乙奔來(lái)，乙在接力區(qū)等待時(shí)機(jī)全力奔跑。如果要求乙在接力區(qū)接棒時(shí)奔跑達(dá)到最大速度的80%，那么：（1）乙需要在接力區(qū)奔跑多少距離？（2）乙應(yīng)該在距離甲多遠(yuǎn)的地方起跑？3、甲和乙兩輛車同向行駛，相距為s。乙在前面做加速度為a1，初速度為0的勻加速運(yùn)動(dòng)。甲在后面做加速度為a2，初速度為v的勻加速運(yùn)動(dòng)。討論兩輛車在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相遇次數(shù)與加速度的關(guān)系。4、在水平直軌道上有兩列火車A和B相距s。A車在后面做初速度為v、加速度大小為2a的勻減速直線運(yùn)動(dòng)；而B車同時(shí)做初速度為0、加速度大小為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，兩車運(yùn)動(dòng)方向相同。要使兩車不相撞，求A車的初速度v應(yīng)滿足的條件。5、甲和乙兩輛車在同一條平直公路上行駛。甲車以v1=10m/s的速度做勻速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)車站A時(shí)關(guān)閉油門以a1=4m/s2的加速度勻減速前進(jìn)。2秒后，乙車從車站A出發(fā)，以a2=1m/s2的加速度從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，與甲車同方向行駛。問(wèn)乙車出發(fā)后經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間追上甲車？6、高速公路給人們出行帶來(lái)了方便，但是因?yàn)樵诟咚俟飞闲旭偟能囕v速度大，霧天往往出現(xiàn)多車追尾相撞的車禍。已知轎車在高速公路正常行駛速率為120km/h。轎車剎車產(chǎn)生的最大加速度為28m/s2。如果某天有霧，能見度（觀察者與能看見的最遠(yuǎn)目標(biāo)間的距離）約為37m，司機(jī)反應(yīng)時(shí)間為0.6秒。為了安全行駛，轎車行駛的最大速度應(yīng)該是多少？7、小球1從高處H自由落下，同時(shí)小球2從下方以速度v豎直上拋，兩球可以在空中相遇。在以下兩種情況下，討論v的取值范圍：（1）小球2上升過(guò)程中兩球在空中相遇；（2）小球2下降過(guò)程中兩球在空中相遇。8、如圖所示，AB、CO為互相垂直的丁字形公路，CB為一斜直小路，CB與CO成60°角，CO間距300m。一名逃犯騎著摩托車以45km/h的速度正沿AB公路逃竄。當(dāng)逃犯途徑路口O處時(shí)，守候在C處的公安干警立即發(fā)現(xiàn)逃犯，開始追趕。求公安干警需要多長(zhǎng)時(shí)間才能追上逃犯？警車以1.2m/s的加速度啟動(dòng)，能夠達(dá)到的最大速度為120km/h?，F(xiàn)在有兩種情況需要考慮：一是公安干警沿COB路徑追捕逃犯，需要計(jì)算多長(zhǎng)時(shí)間以及在何處能將逃犯截獲；二是公安干警抄CB近路到達(dá)B處時(shí)，逃犯又以原速率掉頭向相反方向逃竄，公安干警則繼續(xù)沿BA方向追趕，需要計(jì)算總共經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間以及在何處能將逃犯截獲。不考慮摩托車和警車轉(zhuǎn)向的時(shí)間。對(duì)于第一種情況，假設(shè)兩車速度相等時(shí)相距最遠(yuǎn)，設(shè)所用時(shí)間為t。根據(jù)速度和位移的關(guān)系式，有25m=(v自-v汽)t/2，又因?yàn)槠嚨募铀俣葹?.2m/s2，所以t=10s。此時(shí)兩車相距100m，且速度均為10m/s。對(duì)于第二種情況，假設(shè)汽車追上自行車所用時(shí)間為t。根據(jù)速度和位移的關(guān)系式，有x汽=v自*t，又因?yàn)槠嚨募铀俣葹?.2m/s2，所以t=20s。此時(shí)自行車已經(jīng)走了200m，汽車速度為10m/s，距停車線的距離為100m。對(duì)于第三題，提供兩種解法。解法一（物理方法）：由于兩車同時(shí)同向運(yùn)動(dòng)，故有v甲=v+1.2t，v乙=1.2t。當(dāng)警車的加速度比逃犯的速度大時(shí)，警車必然追上逃犯。當(dāng)加速度相等時(shí)，警車只能追上逃犯一次。當(dāng)逃犯的速度比加速度大時(shí)，警車永遠(yuǎn)無(wú)法追上逃犯。解法二（數(shù)學(xué)方法）：設(shè)警車追上逃犯所需時(shí)間為t，那么有120t-0.6t2=100，解得t=16s。此時(shí)警車行駛的距離為120*16-0.6*162=1728m，逃犯行駛的距離為16*100=1600m，因此警車在距離起點(diǎn)1728m的地方追上了逃犯。文章中存在的格式錯(cuò)誤已被修正。以下是修改后的文章：車輛相遇問(wèn)題是初中物理中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題。當(dāng)兩輛車從相距一定距離的地方同時(shí)出發(fā)，且它們的速度不同，我們想知道它們是否會(huì)相遇，以及相遇幾次。下面我們介紹幾種解決這個(gè)問(wèn)題的方法。方法一（圖像法）：當(dāng)甲車和乙車同時(shí)出發(fā)時(shí)，它們的距離為s，速度分別為v甲和v乙，加速度分別為a1和a2。速度和加速度的大小關(guān)系會(huì)隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間的增大而發(fā)生變化。剛開始，a1t和a2t相差不大且甲有初速度v，所以v甲v乙。隨著時(shí)間的推移，a1t和a2t相差越來(lái)越大，當(dāng)a1ta2tv時(shí)，v甲v乙，接下來(lái)a1ta2tv，則有v甲v乙。若在v甲v乙之前，甲車還沒有超過(guò)乙車，隨后由于v甲v乙，甲車就沒有機(jī)會(huì)超過(guò)乙車，即兩車不相遇；若在v甲v乙時(shí)，兩車剛好相遇，隨后由于v甲v乙，甲車又要落后乙車，這樣兩車只能相遇一次；若在v甲v乙之前，甲車已超過(guò)乙車，即已相遇一次，隨后由于v甲v乙，甲、乙距離又縮短，直到乙車反超甲車時(shí)，再相遇一次，則兩車能相遇兩次。方法二（數(shù)學(xué)方法）：設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t兩車能夠相遇，由于，s甲＝vt1/2a1t2，s乙＝1/2a2t2，兩車相遇時(shí)有s甲s乙s，則(a1a2)t2vt2s0，所以ts/(a1a2)。（1）當(dāng)a1a2時(shí)，t只有一個(gè)解，則相遇一次。（2）當(dāng)a1a2時(shí)，s甲s乙vt1/2a2t21/2a1t2vts，所以ts/v，t只有一個(gè)解，則相遇一次。（3）當(dāng)a1a2時(shí)，若v2(a1a2)s，t無(wú)解，即不相遇；若v2(a1a2)s，t只有一個(gè)解，即相遇一次；若v2(a1a2)s，t有兩個(gè)正解，即相遇兩次。方法三（位移公式和速度公式）：要使兩車不相撞，A車追上B車時(shí)其速度最多只能與B車速度相等。設(shè)A、B兩從相距s到A車追上B車時(shí)，A車的位移為xA，末速度為vA，所用時(shí)間為t；B車的位移為xB，末速度為vB，運(yùn)動(dòng)過(guò)程如圖所示?，F(xiàn)用四種方法求解。對(duì)A車有xAvt1/2(2a)t2，vav(2a)t。對(duì)B車有xB1/2at2，vBat。兩車有ssAsB，追上時(shí)，兩車剛好不相撞的條件是vAvB，由以上各式聯(lián)立解得v6as。故要使兩車不相撞，A車的初速度v應(yīng)滿足的條件是，v6as。解法二（利用速度公式和速度-位移關(guān)系式求解）：假設(shè)甲車的速度為v，那么甲車追上乙車前的時(shí)間為t甲=v甲-v乙/a甲-2a乙，乙車的時(shí)間為t乙=v乙/a乙。由于兩車在追上時(shí)速度相等，所以可以得到v=6as。因此，要使兩車不相撞，甲車的初速度v應(yīng)滿足v≤6as。解法三（利用判別式解）：根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，兩車追上的時(shí)間t可以表示為一個(gè)關(guān)于t的一元二次方程，即3at^2-2vt+s=0。當(dāng)判別式Δ=2v^2-4×3a×s<0時(shí)，t無(wú)實(shí)數(shù)解，即兩車不會(huì)相撞。根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以得到甲車的初速度v=10m/s-2×4m/s=2m/s，離甲車停止運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t'=v/1=2s，停止時(shí)離車站A的距離x甲=m=12.5m。因此，乙車需要在5s內(nèi)走完這段路程才能追上甲車。小改寫：解法二：假設(shè)甲車的速度為v，那么甲車追上乙車前的時(shí)間為t甲=v甲-v乙/（a甲-2a乙），乙車的時(shí)間為t乙=v乙/a乙。由于兩車在追上時(shí)速度相等，所以可以得到v=6as。因此，要使兩車不相撞，甲車的初速度v應(yīng)滿足v≤6as。解法三：根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，兩車追上的時(shí)間t可以表示為一個(gè)關(guān)于t的一元二次方程，即3at^2-2vt+s=0。當(dāng)判別式Δ=2v^2-4×3a×s<0時(shí)，t無(wú)實(shí)數(shù)解，即兩車不會(huì)相撞。根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以得到甲車的初速度v=2m/s，離甲車停止運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t'=2s，停止時(shí)離車站A的距離x甲=12.5m。因此，乙車需要在5s內(nèi)走完這段路程才能追上甲車。解法二：圖像法兩車同時(shí)從車站A出發(fā)，且乙車速度大于甲車速度，因此乙車會(huì)追上甲車。乙車追上甲車的條件是它們?cè)陔x開車站A后行駛的距離相等，也就是圖線和時(shí)間軸所圍成的面積相等。加速度可以用直線的斜率表示。從速度圖象中可以得到甲車和乙車的加速度分別為a1和a2。因此，乙車出發(fā)后經(jīng)過(guò)5秒追上甲車。在這個(gè)問(wèn)題中，轎車司機(jī)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)后需要反應(yīng)一段時(shí)間才能開始剎車。假設(shè)轎車的最大速度為v，反應(yīng)時(shí)間為t，加速度為a。在反應(yīng)時(shí)間內(nèi)，轎車行駛的距離為s1=vt。在剎車后至停下來(lái)的過(guò)程中，轎車行駛的距離為s2=v^2/2a。為了保證行駛安全，轎車行駛的總距離必須小于等于37米。代入數(shù)值可得，v≤20m/s=72km/h。當(dāng)兩個(gè)小球相遇時(shí)，小球1下落的高度h1與小球2上升的高度h2的算術(shù)和等于一個(gè)常量H。小球1的高度可以表示為h1=g*t1^2/2，小球2的高度可以表示為h2=v*t2-g*t2^2/2。假設(shè)小球2的速度