/10/10/一、機(jī)械能守恒的判斷機(jī)械能守恒的條件絕不是合外力的功等于零，更不是合外力為零；“只有重力做功”不等于“只受重力作用”．1．利用機(jī)械能的定義判斷：判斷物體動(dòng)能和勢(shì)能的和即機(jī)械能是否變化，如勻速上升、勻速下降、沿斜面勻速運(yùn)動(dòng)的物體機(jī)械能必定不守恒．2．用做功判斷：看物體或系統(tǒng)是否只有重力(或彈簧的彈力)做功．3．用能量轉(zhuǎn)化來(lái)判斷：看是否存在其他形式的能和機(jī)械能相互轉(zhuǎn)化，如有滑動(dòng)摩擦力做功時(shí)，因摩擦生熱，系統(tǒng)機(jī)械能將有損失．4．對(duì)一些繩子突然繃緊、物體間碰撞等情況，除非題目特別說(shuō)明，否則機(jī)械能必定不守恒．[復(fù)習(xí)過(guò)關(guān)]1．下列運(yùn)動(dòng)的物體，機(jī)械能守恒的是()A．物體沿斜面勻速下滑B．物體從高處以0.9gC．物體沿光滑曲面滑下D．拉著一個(gè)物體沿光滑的斜面勻速上升答案C解析物體沿斜面勻速下滑時(shí)，動(dòng)能不變，重力勢(shì)能減小，所以機(jī)械能減?。矬w以0.9g的加速度豎直下落時(shí)，除重力外，其他力的合力向上，大小為0.1mg，合力在物體下落時(shí)對(duì)物體做負(fù)功，物體機(jī)械能不守恒．物體沿光滑曲面滑下時(shí)，只有重力做功，機(jī)械能守恒．拉著物體沿斜面上升時(shí)，拉力對(duì)物體做功，物體機(jī)械能不守恒．綜上，機(jī)械能守恒的是C項(xiàng)2．如圖1所示，某人以力F將物體沿斜面向下拉，拉力大小等于摩擦力，則下列說(shuō)法正確的是()圖1A．物體做勻速運(yùn)動(dòng) B．合力對(duì)物體做功等于零C．物體的機(jī)械能保持不變 D．物體機(jī)械能減小答案C解析物體在沿斜面方向上除受拉力F和摩擦力f外，還有重力沿斜面方向的分力，拉力大小等于摩擦力，因此物體不可能做勻速運(yùn)動(dòng)，且合力對(duì)物體做功不為零．物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，合力做的功等于重力做的功，機(jī)械能守恒．3．(多選)下列關(guān)于機(jī)械能是否守恒的敘述中正確的是()A．合外力為零時(shí)機(jī)械能一定守恒B．做曲線運(yùn)動(dòng)的物體機(jī)械能可能守恒C．合外力對(duì)物體做功為零時(shí)，機(jī)械能一定守恒D．除重力外，其他力均不做功，物體的機(jī)械能守恒答案BD解析合外力為零時(shí)，做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體，動(dòng)能不變，但機(jī)械能不一定守恒，如：勻速上升的物體，機(jī)械能就不斷增大，選項(xiàng)A錯(cuò)誤．做曲線運(yùn)動(dòng)的物體，若只有重力做功，它的機(jī)械能就守恒，如：做平拋運(yùn)動(dòng)的物體，選項(xiàng)B正確．外力對(duì)物體做的功為零，是動(dòng)能不變的條件，機(jī)械能不變的條件是除重力或彈力外，其他力不做功或做功的代數(shù)和為零，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．二、單個(gè)物體的機(jī)械能守恒問(wèn)題1．判斷單個(gè)物體機(jī)械能是否守恒：物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力做功，物體的機(jī)械能守恒．2．所涉及的題型有四類(lèi)：(1)阻力不計(jì)的拋體類(lèi)(2)固定的光滑斜面類(lèi)(3)固定的光滑圓弧類(lèi)(4)懸點(diǎn)固定的擺動(dòng)類(lèi)[復(fù)習(xí)過(guò)關(guān)]4．如圖2所示，質(zhì)量m＝70kg的運(yùn)動(dòng)員以10m/s的速度，從高h(yuǎn)＝10m的滑雪場(chǎng)A點(diǎn)沿斜坡自由滑下，以最低點(diǎn)B為零勢(shì)能面，一切阻力可忽略不計(jì)．(g＝10m/s圖2(1)在A點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能；(2)到達(dá)最低點(diǎn)B時(shí)的速度大??；(3)能到達(dá)的最大高度．答案(1)10500J(2)10eq\r(3)解析(1)運(yùn)動(dòng)員在A點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能E＝Ek＋Ep＝eq\f(1,2)mv2＋mgh＝eq\f(1,2)×70×102J＋70×10×10J＝10500J；(2)運(yùn)動(dòng)員從A運(yùn)動(dòng)到B過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得E＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)，解得vB＝eq\r(\f(2E,m))＝eq\r(\f(2×10500,70))m/s＝10eq\r(3)m/s；(3)運(yùn)動(dòng)員從A運(yùn)動(dòng)到斜坡上最高點(diǎn)過(guò)程，由機(jī)械能守恒得E＝mgh′，解得：h′＝eq\f(10500,70×10)m＝15m．5．如圖3所示，豎直平面內(nèi)的一半徑R＝0.50m的光滑圓弧槽BCD，B點(diǎn)與圓心O等高，質(zhì)量m＝0.10kg的小球從B點(diǎn)正上方H＝0.75m高處的A點(diǎn)自由下落，由B點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道，從D點(diǎn)飛出，不計(jì)空氣阻力，(取g＝圖3(1)小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能；(2)小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)C的速度大??；(3)小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力大?。鸢?1)0.75J(2)5m/s(3)6解析(1)小球從A點(diǎn)到B點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mgH＝Ek代入數(shù)據(jù)得：Ek＝0.75J．(2)小球從A點(diǎn)到C點(diǎn)，設(shè)經(jīng)過(guò)C點(diǎn)速度為v1，由機(jī)械能守恒定律有：mg(H＋R)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)代入數(shù)據(jù)得v1＝5(3)小球在C點(diǎn)，受到的支持力與重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律有：N－mg＝eq\f(mv\o\al(2,1),R)，代入數(shù)據(jù)解得N＝6N由牛頓第三定律有：小球?qū)壍赖膲毫′＝6N．三、多物體的機(jī)械能守恒問(wèn)題1．對(duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng)要注意選取合適的研究對(duì)象，判斷物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒．2．注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系．3．采用機(jī)械能守恒定律的“守恒觀點(diǎn)”、“轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)”或“轉(zhuǎn)移觀點(diǎn)”列方程求解．[復(fù)習(xí)過(guò)關(guān)]6．如圖4所示，輕繩連接A、B兩物體，A物體懸在空中距地面H高處，B物體放在水平面上．若A物體質(zhì)量是B物體質(zhì)量的2倍，不計(jì)一切摩擦．由靜止釋放A物體，以地面為零勢(shì)能參考面．當(dāng)A的動(dòng)能與其重力勢(shì)能相等時(shí)，A距地面的高度是()圖4A．eq\f(1,5)H B．eq\f(2,5)HC．eq\f(3,5)H D．eq\f(4,5)H答案B解析設(shè)A的動(dòng)能與重力勢(shì)能相等時(shí)A距地面高度為h，對(duì)A、B組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒得：mAg(H－h(huán))＝eq\f(1,2)mAv2＋eq\f(1,2)mBv2 ①又由題意得：mAgh＝eq\f(1,2)mAv2 ②mA＝2mB ③由①②③式解得：h＝eq\f(2,5)H，故B對(duì)．7．如圖5所示，輕質(zhì)彈簧的一端與固定的豎直板P連接，另一端與物體A相連，物體A置于光滑水平桌面上，A右端連接一細(xì)線，細(xì)線繞過(guò)光滑的定滑輪與物體B相連．開(kāi)始時(shí)托住B，讓A處于靜止且細(xì)線恰好伸直，然后由靜止釋放B，直至B下落到最低點(diǎn)．該過(guò)程中A未與定滑輪相碰．下列對(duì)該過(guò)程的分析正確的是()圖5A．B物體的加速度先增大再減小B．物體A與物體B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒C．B物體機(jī)械能的減少量等于彈簧彈性勢(shì)能的增加量D．當(dāng)彈簧的拉力等于B物體所受的重力時(shí)，A物體的動(dòng)能最大答案D解析以A、B組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律有：mBg－kx＝(mA＋mB)a，由于彈簧的伸長(zhǎng)量x逐漸變大，故從開(kāi)始到B速度達(dá)到最大的過(guò)程中B的加速度逐漸減小．對(duì)B，由mBg－T＝mBa可知，在此過(guò)程繩子上拉力逐漸增大，故A錯(cuò)誤；對(duì)于A物體、B物體以及彈簧組成的系統(tǒng)，只有彈簧的彈力和重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，由于彈簧的彈性勢(shì)能不斷增大，所以A物體與B物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能不斷減少，故B錯(cuò)誤；A物體、B物體以及彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故B物體機(jī)械能的減少量等于A物體的機(jī)械能增加量與彈簧彈性勢(shì)能增加量之和，所以B物體機(jī)械能的減少量大于彈簧彈性勢(shì)能的增加量，故C錯(cuò)誤；由于彈簧的拉力先小于細(xì)線的拉力，后大于細(xì)線的拉力，A先加速后減速，當(dāng)彈簧的拉力與細(xì)線的拉力大小相等時(shí)，A的速度最大，動(dòng)能最大，此時(shí)A的加速度為零，B的加速度也為零，細(xì)線的拉力等于B的重力，可知彈簧的拉力等于B物體的重力時(shí)，A物體的動(dòng)能最大．故D正確．8．如圖6所示，物體A質(zhì)量為2m，物體B質(zhì)量為m，通過(guò)輕繩跨過(guò)定滑輪相連．斜面光滑，且與水平面成θ＝30°角，不計(jì)繩子和滑輪之間的摩擦．開(kāi)始時(shí)A物體離地面的高度為h，B物體位于斜面的底端，用手托住A物體，A、B兩物體均靜止．撤去手后，求圖6(1)A物體將要落地時(shí)的速度為多大？(2)A物體落地后，B物體由于慣性將繼續(xù)沿斜面上升，則B物體在斜面上的最遠(yuǎn)點(diǎn)離地的高度為多大？答案(1)eq\r(gh)(2)h解析(1)由題知，物體A質(zhì)量為2m，物體B質(zhì)量為mA、B兩物體構(gòu)成的整體(系統(tǒng))只有重力做功，故整體的機(jī)械能守恒，得：mAgh－mBghsinθ＝eq\f(1,2)(mA＋mB)v2將mA＝2m，mB＝m代入解得：v＝eq\r(gh)．(2)當(dāng)A物體落地后，B物體由于慣性將繼續(xù)上升，此時(shí)繩子松了，對(duì)B物體而言，只有重力做功，故B物體的機(jī)械能守恒，設(shè)其上升的最遠(yuǎn)點(diǎn)離地高度為H，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：eq\f(1,2)mBv2＝mBg(H－h(huán)sinθ)整理得：H＝h．四、應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解決綜合問(wèn)題1．對(duì)于機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，首先應(yīng)判斷機(jī)械能是否守恒，然后要判斷能量是如何轉(zhuǎn)化的，這樣才能從不同的角度靈活運(yùn)用機(jī)械能守恒的表達(dá)式列方程解決問(wèn)題．2．在固定的光滑圓弧類(lèi)和懸點(diǎn)固定的擺動(dòng)類(lèi)兩種題目中，常和向心力公式或平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律結(jié)合使用．[復(fù)習(xí)過(guò)關(guān)]9．一質(zhì)量為m＝2kg的小球從光滑的斜面上高h(yuǎn)＝3.5m處由靜止滑下，斜面底端平滑連接著一個(gè)半徑R＝1m的光滑圓環(huán)，(g取10圖7(1)小球滑到圓環(huán)頂點(diǎn)時(shí)對(duì)圓環(huán)的壓力的大小；(2)小球至少應(yīng)從多高處由靜止滑下才能越過(guò)圓環(huán)最高點(diǎn)？答案(1)40N(2)2.5解析(1)由機(jī)械能守恒定律得mg(h－2R)＝eq\f(1,2)mv2小球在圓環(huán)頂點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律，得N＋mg＝meq\f(v2,R)聯(lián)立上述兩式，代入數(shù)據(jù)得N＝40N由牛頓第三定律知，小球?qū)A環(huán)的壓力大小為40N．(2)小球能越過(guò)圓環(huán)最高點(diǎn)的臨界條件是在最高點(diǎn)時(shí)只有重力提供向心力，即mg＝meq\f(v′2,R) ①設(shè)小球應(yīng)從H高處滑下，由機(jī)械能守恒定律得mg(H－2R)＝eq\f(1,2)mv′2 ②由①②得H＝2.5R＝2.510．如圖8所示，用細(xì)圓管組成的光滑軌道AB部分平直，BC部分是處于豎直平面內(nèi)半徑為R的半圓，圓管截面半徑r?R.有一質(zhì)量為m、半徑比r略小的光滑小球以水平初速度v0射入圓管．圖8(1)若要小球能從C端出來(lái)，初速度v0需多大？(2)在小球從C端出來(lái)的瞬間，管壁對(duì)小球的彈力為eq\f(1,2)mg，那么小球的初速度v0應(yīng)為多少？答案(1)v0≥2eq\r(gR)(2)eq\r(\f(11,2)gR)或eq\r(\f(9,2)gR)解析(1)選AB所在平面為參考平面，從A至C的過(guò)程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律：eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝2mgR＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C) ①在最高點(diǎn)C小球速度滿(mǎn)足vC≥0 ②由①②得v0≥2eq\r(gR)．(2)小球在C處受重力mg和細(xì)管豎直方向的作用力N，根據(jù)牛頓第二定律，得：mg＋N＝eq\f(mv\o\al(2,C),R)， ③由①③解得N＝eq\f(mv\o\al(2,0),R)－5mg， ④討論④式，即得解：a．當(dāng)小球受到向下的彈力時(shí)，N＝eq\f(1,2)mg，v0＝eq\r(\f(11,2)gR)．b．當(dāng)小球受到向上的彈力時(shí)，N＝－eq\f(1,2)mg，v0＝eq\r(\f(9,2)gR)．11．如圖9所示，半徑為R的豎直光滑半圓形軌道BC與光滑水平地面AB相切于B點(diǎn)，彈簧左端固定在豎直墻壁上，用一質(zhì)量為m的小球緊靠彈簧并向左壓縮彈簧，已知彈簧在彈性限度內(nèi)，現(xiàn)由靜止開(kāi)始釋放小球，小球恰好能沿軌道通過(guò)半圓形軌道的最高點(diǎn)C，求：圖9(1)釋放小球瞬間彈簧的彈性勢(shì)能；(2)小球離開(kāi)C點(diǎn)后第一次落地點(diǎn)與B點(diǎn)的距離．答案(1)eq\f(5,2)mgR(2)2R解析(1)小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)C，設(shè)通過(guò)C點(diǎn)的速度為vC，則：mg＝meq\f(v\o\al(2,C),R)得vC＝eq\r(gR)小球從A到C的過(guò)程中，設(shè)所求彈簧的彈性勢(shì)能為Ep，由機(jī)械能守恒定律可得：Ep＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)＋mg·2R解得Ep＝eq\f(5,2)mgR(2)小球從C點(diǎn)拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球的落地點(diǎn)與B的水平距離為s，則2R＝eq\f(1,2)gt2，s＝vCt聯(lián)立解得s＝2R．12．如圖10所示，傾角為45°的光滑斜面AB與豎直的光滑半圓軌道在B點(diǎn)平滑連接，半圓軌道半徑R＝0.40m，一質(zhì)量m＝1.0kg的小物塊在A點(diǎn)由靜止沿斜面滑下，已知物塊經(jīng)過(guò)半圓軌道最高點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力恰好等于零，物塊離開(kāi)半圓軌道后落在斜面上的點(diǎn)為D(D點(diǎn)在圖中沒(méi)有標(biāo)出)．g取10圖10(1)A點(diǎn)距水平面的高度h；(2)物塊從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的時(shí)間t(結(jié)果可用根式表示)．答案(1)2.5R(2)eq\f(\r(5)－1,5)s解析(1)對(duì)物塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)C點(diǎn)的過(guò)程，由機(jī)械能守恒有：mg(h－2R)＝eq\f(1,2)mv2 ①由題意知物塊在C點(diǎn)時(shí)，有mg＝meq\f(v2,R) ②由①②式得：h＝2.5R．(2)設(shè)B、D間距離為L(zhǎng)，物塊從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)過(guò)程做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有：2R－Lsin45°＝eq\f(1,2)gt2 ③Lcos45°＝vt ④由②③④式并代入數(shù)據(jù)得t＝eq\f(\r(5)－1,5)seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＝\f(－1－\r(5),5)s舍去))．13．如圖11所示，豎直平面內(nèi)有一半徑R＝0.50