2020年全國(guó)1卷理科數(shù)學(xué)真題(word版、精校版)

2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國(guó)Ⅰ卷）本試卷共5頁(yè)，23題（含選考題），全卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1.答題前，請(qǐng)將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4.選考題的作答：先把所選題目的題號(hào)在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑。答案寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若z=1+i，則z2-2z=（B）。改寫：若z=1+i，則z2-2z=（B）。2.設(shè)集合A={x|x2-4≤0}，B={x|-2≤x≤1}，且A∩B={-2,1}，則a=（C）。改寫：設(shè)集合A={x|x2-4≤0}，B={x|-2≤x≤1}，且A∩B={-2,1}，則a=（C）。3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐。以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（B）。改寫：埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐。以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（B）。二、非選擇題：本題共11小題，共90分?？忌仨氂煤谏炞止P作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡的非指定區(qū)域內(nèi)均無(wú)效。4.已知A為拋物線C：y2=2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（C）。改寫：已知A為拋物線C：y2=2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（C）。5.某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：℃）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（xi,yi）（i=1,2,…,20）得到下面的散點(diǎn)圖。由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（A）。改寫：某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：℃）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（xi,yi）（i=1,2,…,20）得到下面的散點(diǎn)圖。由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（A）。6.函數(shù)f(x)=x4-2x3的圖像在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為（D）。改寫：函數(shù)f(x)=x4-2x3的圖像在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為（D）。7.設(shè)函數(shù)f(x)=cos(πx/4)，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（D）。改寫：設(shè)函數(shù)f(x)=cos(πx/4)，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（D）。8.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+b在x=-1和x=2處的函數(shù)值相等，且在x=0處取得極值，則a+b=（-1）。改寫：已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+b在x=-1和x=2處的函數(shù)值相等，且在x=0處取得極值，則a+b=（-1）。9.已知函數(shù)f(x)=2x2-2x+1，g(x)=ax+b，且f[g(x)]=x2-1，則a+b=（1）。改寫：已知函數(shù)f(x)=2x2-2x+1，g(x)=ax+b，且f[g(x)]=x2-1，則a+b=（1）。10.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x-1，g(x)為f(x)的反函數(shù)，則g(2)=（1）。改寫：已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x-1，g(x)為f(x)的反函數(shù)，則g(2)=（1）。11.已知等差數(shù)列{an}的公差為d，若an+1-an=3d，則a1+a3+a5的值為（5a2+2d）。改寫：已知等差數(shù)列{an}的公差為d，若an+1-an=3d，則a1+a3+a5的值為（5a2+2d）。1.將文章格式規(guī)范化，刪除無(wú)用信息。2.對(duì)每段話進(jìn)行簡(jiǎn)潔明了的改寫。1.根據(jù)函數(shù)$f(x)$在$[-\pi,\pi]$上的圖像，求其最小正周期。答案：C.$f(x)$的最小正周期為$4\pi/3$。2.求展開式$(x+y)^5$中$x^3y^3$的系數(shù)。答案：D.$209$。3.已知$3\cos^2\alpha-8\cos\alpha=5$，求$\sin\alpha$。答案：C.$\sin\alpha=3/5$。4.已知球面上三個(gè)點(diǎn)$A,B,C$，以及外接圓$O_1$的面積為$4\pi$，$AB=BC=AC=OO_1$，求球面的面積。答案：C.$36\pi$。5.已知$M$滿足$x^2+y^2-2x-2y-2=0$，$l:2x+y+2=0$，$P$為$l$上的動(dòng)點(diǎn)，$PA,PB$為$M$的切線，求使得$PM\cdotAB$最小的直線$AB$的方程。答案：A.$2x-y-1=0$。6.已知$2a+\log_2a=4b+2\log_4b$，求$a$與$b$的大小關(guān)系。答案：D.$a<b^2$。7.若$x-y-1\geq0$，$y+1\geq0$，則$z=x+7y$的最大值為多少？答案：$6$。8.設(shè)$a,b$為單位向量，且$a+b=1$，求$a-b$。答案：$0$。9.已知雙曲線$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的右焦點(diǎn)為$F$，右頂點(diǎn)為$A$，$B$為$C$上的點(diǎn)，且$BF$垂直于$x$軸。若$AB$的斜率為$3$，求$C$的離心率。答案：$2$。10.如圖，在三棱錐$P-ABC$的平面展開圖中，$AC=1$，$AB=AD=3$，$AB\perpAC$，$AB\perpAD$，$\angleCAE=30^\circ$，求$\cos\angleFCB$。答案：$1/2$。17.設(shè)$\{a_n\}$是公比不為$1$的等比數(shù)列，$a_1$為$a_2,a_3$的等差中項(xiàng)。(1)求$\{a_n\}$的公比；(2)若$a_1=1$，求數(shù)列$\{na_n\}$的前$n$項(xiàng)和。答案：(1)公比為$-1$或$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；(2)前$n$項(xiàng)和為$\frac{a_1}{\ln(1-r)}+\frac{na_n}{1-r}$，其中$r$為公比。18.如圖，$D$為圓錐的頂點(diǎn)，$O$是圓錐底面的圓心，$AE$為底面直徑，$AE=AD$，$\triangleABC$是底面的一部分，$DO=6$，$AC=12$，$BC=8$，求$\triangleABC$的面積。答案：$24\sqrt{3}$。內(nèi)接正三角形ABC中，P為DO上一點(diǎn)，且PO=BC/2。（1）證明：PA⊥平面PBC；證明：連接PA，交BC于點(diǎn)M，則PM=MC=BC/2，且∠PMA=∠PBA=60°，∠MPC=∠BCP=30°，因此△PMA和△PBC全等，故PA⊥平面PBC。（2）求二面角B-PC-E的余弦值。解：連接BE，交PC于點(diǎn)N，則PN=NC=BC/2，且∠BNE=∠BCE=90°，∠BEN=∠BCA=60°，因此△BNE和△BCA全等，故BE=BC。又因?yàn)镻A⊥平面PBC，所以∠BPC=90°，故△BPC是直角三角形，由勾股定理可得BP=√3/2BC，EP=√3/2BE，故cos(B-PC-E)=cos∠BPE=BP/BE=√3/2。甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰。比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空。每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰。當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束。經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空。設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為p。（1）求甲連勝四場(chǎng)的概率；（2）求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率。解：設(shè)甲、乙、丙分別用A、B、C表示，輪空用O表示，比賽結(jié)果用字母表示，例如AB表示甲勝乙。則比賽情況如下：第一輪：ABO或BAO（A和B的概率均為1/2）第二輪：A或B與C比賽，另一人輪空第三輪：勝者與O比賽，敗者輪空第四輪：勝者與剩余的人比賽，獲勝者獲勝由于每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為p，因此每種比賽結(jié)果的概率如下：AbeatsB:pBbeatsA:pAbeatsC:pCbeatsA:1-pBbeatsC:pCbeatsB:1-pAbeatsO:pObeatsA:1-pBbeatsO:pObeatsB:1-pCbeatsO:pObeatsC:1-p（1）甲連勝四場(chǎng)的概率為p^4。（2）需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為1-p^4。（3）丙最終獲勝的概率為(p^2+(1-p)^2)p+p(1-p)^2=p(2p-2p^2+1-p+p^2)=p(3p^2-2p+1)。已知A,B分別為橢圓E:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>1)的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，AG×GB=8。P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D。（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn)。解：（1）由于A、B為E的左、右頂點(diǎn)，因此A、B關(guān)于y軸對(duì)稱。設(shè)E的中心為O，則O為y軸上的點(diǎn)，且OG是E的長(zhǎng)軸。設(shè)E的長(zhǎng)軸為2a，短軸為2b，則AG=a-OG，GB=a+OG。由AG×GB=8可得(a-OG)(a+OG)=8，即a^2-OG^2=8。又因?yàn)镺在E上，所以O(shè)滿足方程(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1，代入y=OG可得x^2/a^2+OG^2/b^2=1，聯(lián)立兩式可得x^2/a^2+(a^2-8)/b^2=1，即E的方程為(x^2/a^2)+((a^2-8-y^2)/b^2)=1。（2）設(shè)CD與E交于點(diǎn)F，證明F為定點(diǎn)。由于E對(duì)x軸對(duì)稱，不妨設(shè)P在x軸上方，則C在x軸下方。設(shè)E的中心為O，交x軸于點(diǎn)M，則OM=a，OC=OM+MC=a-b，因此PC=OC-OP=a-b-6。設(shè)CD的方程為