(完整版)概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點總結(jié)

在相同條件下可以重復(fù)進行的試驗，每次試驗的可能結(jié)果不止一個，但在進行一次試驗之前無法確定結(jié)果的試驗被稱為隨機試驗。試驗的可能結(jié)果稱為隨機事件。在一個試驗下，總可以從事件中找出一組具有以下性質(zhì)的事件：①每次試驗只能發(fā)生這一組中的一個事件；②任何事件都是由這一組中的部分事件組成的。這一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用符號ω來表示。基本事件的全體稱為樣本空間，用符號Ω表示。一個事件是由樣本空間中的部分點（基本事件ω）組成的集合，通常用大寫字母A、B、C等表示，它們是樣本空間Ω的子集。Ω為必然事件，?為不可能事件。不可能事件（?）的概率為零，但概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率為1，但概率為1的事件也不一定是必然事件。事件A的組成部分也是事件B的組成部分，記為A?B，如果同時有A?B和B?A，則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B：A=B。A、B中至少有一個發(fā)生的事件記為A∪B，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者AB，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B同時發(fā)生的事件記為A∩B，或者AB。如果A∩B=?，則表示A與B不可能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為A'，它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙αⅰＴ跇颖究臻gΩ中，事件A的運算包括結(jié)合率、分配率和德摩根率。結(jié)合率：A(BC)=(AB)C，A∪(B∪C)=(A∪B)∪C。分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)，(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)。德摩根率：Ω'=?，?'=Ω，(A∪B)'=A'∩B'，(A∩B)'=A'∪B'。事件A的概率用P(A)表示，滿足以下三個條件：1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=1，3°對于兩兩互不相容的事件A1，A2，…有P(∪Ai)=∑P(Ai)。這被稱為概率的公理化定義。古典概型是指試驗的樣本空間Ω有限且每個基本事件發(fā)生的可能性相等的情況。在這種情況下，事件A的概率可以用P(A)=n(A)/n(Ω)表示，其中n(A)是事件A包含的基本事件的個數(shù)，n(Ω)是樣本空間中基本事件的總數(shù)。則稱它們是相互獨立的。即P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。（11）幾何概型是一種隨機試驗的模型，其中樣本空間是一個有限或無限的幾何區(qū)域，每個基本事件可以用一個有界區(qū)域來描述。對于任意事件A，可以使用幾何度量（長度、面積、體積）L來計算其概率，即P(A)=L(A)/L(Ω)。（1）加法公式是計算兩個事件并集概率的公式，即P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。當AB不相容時，即兩個事件不可能同時發(fā)生，P(AB)=0，此時P(A+B)=P(A)+P(B)。當AB獨立時，即兩個事件的發(fā)生不影響彼此，P(AB)=P(A)P(B)，此時P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)。當B包含于A時，即B發(fā)生必須要A發(fā)生，P(A-B)=P(A)-P(B)。（7）條件概率是指在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，記為P(B/A)=P(AB)/P(A)。減法公式是計算事件補集概率的公式，即P(A')=1-P(A)。當A為必然事件Ω時，P(B)=1-P(B/A)。乘法公式是計算兩個事件同時發(fā)生的概率的公式，即P(AB)=P(A)P(B/A)。對于多個事件A1、A2、...An，若它們兩兩獨立，則它們相互獨立，且有P(A1A2...An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)。（8、10、11）獨立性是指事件A、B滿足P(AB)=P(A)P(B)，即兩個事件的發(fā)生不影響彼此。若事件A、B相互獨立，則有P(B|A)=P(B)，即在已知A發(fā)生的條件下，B發(fā)生的概率等于B發(fā)生的概率。對于三個事件ABC，若它們兩兩獨立，則它們相互獨立，且有P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。（11）必然事件Ω和不可能事件?與任何事件都相互獨立。?與任何事件都互斥。泊松分布是一種離散型概率分布，其隨機變量X的分布律為P(X=k)=λ^k*e^(-λ)/k!，其中λ>0，k=0,1,2,…。如果X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X~π(λ)或者P(λ)。泊松分布是二項分布的極限分布（當np=λ，n趨近于無窮大）。為了更好地理解泊松分布，可以將其視為描述單位時間內(nèi)某事件發(fā)生次數(shù)的概率分布。均勻分布是一種連續(xù)型概率分布，其隨機變量X的值只落在[a,b]內(nèi)，其密度函數(shù)f(x)在[a,b]上為常數(shù)1，其他地方為0。如果X在[a,b]上服從均勻分布，記為X~U(a,b)。分布函數(shù)F(x)為x<a時為0，a≤x≤b時為(x-a)/(b-a)，x>b時為1。當a≤x1<x2≤b時，X落在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)的概率為(x2-x1)/(b-a)。指數(shù)分布是一種連續(xù)型概率分布，其密度函數(shù)為f(x)=λe^(-λx)，x≥0，其中λ>0。如果X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，記為X~Exp(λ)。指數(shù)分布常用于描述等待時間或壽命的概率分布，例如設(shè)備的壽命、顧客到達時間間隔等。正態(tài)分布是一種連續(xù)型概率分布，其密度函數(shù)為f(x)=(1/(2πσ^2))^(1/2)*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ和σ>0為常數(shù)。如果X服從參數(shù)為μ、σ^2的正態(tài)分布，記為X~N(μ,σ^2)。正態(tài)分布在自然界和社會現(xiàn)象中廣泛存在，例如身高、體重、智商等。正態(tài)分布具有對稱性和穩(wěn)定性，因此在統(tǒng)計學中具有重要的地位。分位數(shù)是概率分布函數(shù)的特殊值，它將分布函數(shù)分成若干個部分，每個部分的概率為α。下分位數(shù)是使P(X≤x)=α的最小的x，上分位數(shù)是使P(X>x)=α的最小的x。在實際應(yīng)用中，分位數(shù)經(jīng)常用于描述數(shù)據(jù)的中心趨勢和離散程度。離散型隨機變量的分布列是一張表格，列出了隨機變量X取各個可能值的概率。如果已知X的分布列，可以通過函數(shù)Y=g(X)得到Y(jié)的分布列。其中，yi=g(xi)（i=1,2,…,n）互不相等，pi=P(X=xi)。，Xn）和g（X1，X2,…Xm，Xn）也是相互獨立的。對于函數(shù)F（x，y），滿足以下條件：（1）0≤F（x，y）≤1；（2）對于x和y，F(xiàn)（x，y）是非減的，即當x2>x1時，有F（x2,y）≥F(x1,y);當y2>y1時，有F(x,y2)≥F(x,y1)；（3）對于x和y，F(xiàn)（x，y）是右連續(xù)的，即F(x,y)F(x,y),F(x,y)F(x,y)；（4）F(,)F(,y)F(x,)0，F(xiàn)(,)1；（5）對于x1x2，y1y2，有P(x1<x≤x2,y1<y≤y2)≥F(x2，y2)F(x2，y1)F(x1，y2)F(x1，y1)。這種函數(shù)被稱為二元分布函數(shù)。邊緣分布是指在多維分布中，只考慮其中某一個變量的分布情況。對于離散型分布，邊緣分布可以通過對所有其他變量進行求和得到，而對于連續(xù)型分布，則可以通過對所有其他變量進行積分得到。條件分布是指在已知某一變量的取值的情況下，另一變量的分布情況。對于離散型分布，條件分布可以通過已知條件下的概率計算得到，而對于連續(xù)型分布，則可以通過已知條件下的條件密度函數(shù)計算得到。獨立分布是指多維分布中各個變量之間相互獨立的情況。對于離散型分布，獨立分布可以通過各個變量的概率之積得到，而對于連續(xù)型分布，則可以通過各個變量的概率密度之積得到。二維正態(tài)分布是一種常見的二元連續(xù)型分布，其概率密度函數(shù)可以通過一些參數(shù)來描述。其中，隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ可以用來衡量它們之間的線性相關(guān)程度。若ρ=0，則X和Y相互獨立。1.對于隨機變量X和Y，如果它們的聯(lián)合分布函數(shù)可以分解為它們各自的邊緣分布函數(shù)的乘積，則稱X和Y相互獨立。特別地，如果X和Y獨立，則3X+1和5Y-2也獨立。例如，如果X和Y獨立，那么它們服從二維均勻分布，即密度函數(shù)為在區(qū)域D上均勻分布，記為（X，Y）～U（D）。2.對于隨機向量（X，Y），如果它們服從二維正態(tài)分布，則它們的分布密度函數(shù)為給定的公式。其中，μ1和μ2是均值，σ1和σ2是標準差，|ρ|＜1是相關(guān)系數(shù)。根據(jù)邊緣密度的計算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分布，即X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22）。但是，如果X和Y服從正態(tài)分布，（X，Y）未必是二維正態(tài)分布。3.對于函數(shù)Z=X+Y，其分布函數(shù)可以通過計算概率密度函數(shù)的積分來求得。如果X和Y是獨立的正態(tài)分布，那么Z也是正態(tài)分布，均值為μ1+μ2，方差為σ12+σ22。4.對于n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。具體地，均值為Ciμi的和，方差為Ci2σi2的和，其中Ci是系數(shù)。5.對于隨機變量X1，X2，…，Xn，如果它們相互獨立，則Z=max(X1,X2,…Xn)和Z=min(X1,X2,…Xn)的分布函數(shù)可以通過各自的邊緣分布函數(shù)的乘積或差積來求得。設(shè)X是離散型隨機變量，其分布律為P(X=xk)=pk，數(shù)字特征為期望E(X)=∑xkpk(k=1,2,…,n)，要求絕對收斂。對于連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為f(x)，數(shù)字特征為期望E(X)=∫xf(x)dx（-∞<x<∞），要求絕對收斂。對于函數(shù)的期望，設(shè)Y=g(X)，則E(Y)=∑g(xk)pk(k=1,2,…,n)或者E(Y)=∫g(x)f(x)dx（-∞<x<∞）。方差D(X)=∑[xk-E(X)]^2pk或者D(X)=∫[x-E(X)]^2f(x)dx（-∞<x<∞），標準差σ(X)=√D(X)。期望的性質(zhì)包括：（1）E(C)=C，（2）E(CX)=CE(X)，（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(∑CiXi)=∑CiE(Xi)(i=1,2,…,n)，（4）E(XY)=E(X)E(Y)，充分條件是X和Y獨立，充要條件是X和Y不相關(guān)。方差的性質(zhì)包括：（1）D(C)=0，E(C)=C，（2）D(aX)=a^2D(X)，E(aX)=aE(X)，（3）D(aX+b)=a^2D(X)，E(aX+b)=aE(X)+b，（4）D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2，（5）D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件是X和Y獨立，充要條件是X和Y不相關(guān)。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。常見分布的期望和方差如下：二項分布B(1,p)的期望為p，方差為p(1-p)；二項分布B(n,p)的期望為np，方差為np(1-p)；泊松分布P(λ)的期望和方差均為λ；均勻分布U(a,b)的期望為(a+b)/2，方差為(b-a)^2/12；指數(shù)分布e(λ)的期望為1/λ，方差為1/λ^2；正態(tài)分布N(μ,σ^2)的期望為μ，方差為σ^2。對于二維隨機變量的數(shù)字特征，期望和方差的計算方式類似于一維情況。設(shè)二維隨機變量為(X,Y)，則E(X)=∑xi?pi?或者E(X)=∫xfX,Y(x,y)dxdy，E(Y)=∑y?p?j或者E(Y)=∫yfX,Y(x,y)dxdy，D(X)=∑[xi-E(X)]^2pi?或者D(X)=∫[x-E(X)]^2fX,Y(x,y)dxdy。對于函數(shù)G(X,Y)，E(G(X,Y))=∑∑G(xi,yj)pij或者E(G(X,Y))=∫∫G(x,y)fX,Y(x,y)dxdy。D(Y)=∑[xj-E(Y)]2p(j)D(X)=∫[x-E(X)]2fX(x)dxfrom-∞to+∞D(zhuǎn)(Y)=∫[y-E(Y)]2fY(y)dyfrom-∞to+∞ThecovarianceorcorrelationmomentofXandYistheirsecondmixedcentralmomentμ11ofXandthedifferenceY,denotedasσXYorcov(X,Y),thatis,σXY=μ11=E[(X-E(X))(Y-E(Y))].CorrespondingtothenotationσXY,thevariancesD(X)andD(Y)ofXandYcanalsobedenotedasσXXandσYY,respectively.ThecorrelationcoefficientρXYofXandYisdefinedasσXY/sqrt(D(X)D(Y)),whereD(X)>0andD(Y)>0.|ρ|≤1,andwhen|ρ|=1,XandYaresaidtobeperfectlycorrelated:P(X=aY+b)=1.Ifρ=1,XandYarepositivelycorrelated(a>0);ifρ=-1,XandYarenegativelycorrelated(a<0);andifρ=0,XandYareuncorrelated.Thefollowingfivepropositionsareequivalent:①ρXY=0;②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).(6)Covariancep