PAGEPAGE5實(shí)驗(yàn)探究的智慧之花在課堂綻放——一堂高三數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探索課賞析江蘇省蘇州第十中學(xué)吳鍔數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與探究是加速數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移和促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的同化的重要平臺(tái)，數(shù)學(xué)思維的模擬、假設(shè)、觀(guān)察、猜想、驗(yàn)證、逼近等思想是其特點(diǎn)和內(nèi)涵，在高中數(shù)學(xué)課堂里引進(jìn)實(shí)驗(yàn)和探究，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)開(kāi)放式的課堂教學(xué)環(huán)境，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神和創(chuàng)新能力。筆者不久前參加蘇州市教科院在蘇州中學(xué)舉行的高效教學(xué)專(zhuān)題研討活動(dòng)，有幸觀(guān)摩了市教科院院長(zhǎng)祁建新先生的一堂別開(kāi)生面的高三數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究課，享受了一場(chǎng)數(shù)學(xué)之美的精神大餐，祁老師的教學(xué)智慧讓我們深受啟發(fā)．現(xiàn)將部分精彩片段以及本人的一些感悟整理出來(lái)，與大家分享．1．精彩教學(xué)片段回眸與實(shí)時(shí)賞析1.1問(wèn)題1動(dòng)點(diǎn)A(x,y)在圓上，點(diǎn)A繞坐標(biāo)原點(diǎn)O按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，12秒鐘旋轉(zhuǎn)一周，已知t＝0時(shí)，A在點(diǎn)處，則當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．師：請(qǐng)學(xué)生1對(duì)著大屏幕朗讀題目，其他同學(xué)隨著學(xué)生1的讀題思考本題的并試著說(shuō)出解題思路．生2：要求出動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，由于點(diǎn)A在圓上，我想，可以利用正弦函數(shù)．教師根據(jù)學(xué)生2的思路畫(huà)出單位圓，學(xué)生2在黑板上進(jìn)行標(biāo)注，（如圖1），生2：因?yàn)辄c(diǎn)A繞坐標(biāo)原點(diǎn)O按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，12秒鐘旋轉(zhuǎn)一周，所以，此時(shí)函數(shù)的表達(dá)式為，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可知其增區(qū)間為和．師：同學(xué)的想法很好，能很快聯(lián)系三角函數(shù)，說(shuō)明我們對(duì)課本知識(shí)掌握得比較到位．但對(duì)于一個(gè)填空題，要在較短的時(shí)間較快地解決問(wèn)題是我們十分關(guān)心的一個(gè)問(wèn)題．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)A在圓周上運(yùn)動(dòng)，我們把目光盯緊函數(shù)值y的變化，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)呢？這個(gè)問(wèn)題引發(fā)了同學(xué)們的積極思考，紛紛在草稿紙上作出A點(diǎn)的縱坐標(biāo)y，（如圖2）同學(xué)們驚訝的發(fā)現(xiàn)，由于1秒鐘轉(zhuǎn)過(guò)30°，因此當(dāng)和時(shí)，函數(shù)值y隨著時(shí)間t的增大而減小，通過(guò)嘗試與觀(guān)察快速地解決了這個(gè)問(wèn)題．師：從同學(xué)們笑容里，我讀到了同學(xué)們通過(guò)自己的觀(guān)察和模擬而解決問(wèn)題的興奮．其實(shí)同學(xué)2所給出的方法也是很好的，如果我把題目改成“求函數(shù)f(t)的解析式”，那么用剛才實(shí)驗(yàn)的方法就不怎么好處理了．實(shí)時(shí)賞析：?jiǎn)栴}1應(yīng)該是本節(jié)課中起到了拋磚引玉的作用，祁老師的本意應(yīng)該希望學(xué)生上來(lái)就能夠通過(guò)動(dòng)點(diǎn)在單位圓上的運(yùn)動(dòng)而觀(guān)察猜想出結(jié)果，而學(xué)生2的解法游離了教師的預(yù)設(shè)，此時(shí)，教師沒(méi)有立刻拉回來(lái)，而是機(jī)智地順著學(xué)生的思路，讓方法回歸課本，起到了預(yù)料之外的效果．由于有了解法比較，讓同學(xué)們更感受到實(shí)驗(yàn)探究的作用，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情，為后續(xù)問(wèn)題的展開(kāi)奠定了基礎(chǔ)．教師在課堂中讓學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行“讀、想、做、說(shuō)”，既為學(xué)生留足了思考的空間，也為學(xué)生提供了展示的舞臺(tái)，這在當(dāng)今高三復(fù)習(xí)課教學(xué)中是難能可貴的．1.2問(wèn)題2已知，試比較與的大小．有了解決問(wèn)題1的經(jīng)歷，當(dāng)同學(xué)們看到這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，就顯得成熟了很多，臨近的同學(xué)在一起紛紛討論著……，方法有了．生3：在等式兩邊同除以，可以得到，所以，由此猜想．師：這是一個(gè)大膽的猜想，你們能證明嗎？請(qǐng)回答．生4：是不是可以把它看成指數(shù)函數(shù)，利用其單調(diào)性來(lái)證明，就是設(shè)，由條件可知是減函數(shù)，又，所以，同理，即．師：這個(gè)方法突出了函數(shù)的思想和觀(guān)點(diǎn)，能夠如此聯(lián)想和知識(shí)遷移，說(shuō)明這位同學(xué)對(duì)這個(gè)問(wèn)題真正理解了．同學(xué)們掌聲予以鼓勵(lì)和祝賀……師：對(duì)于這一問(wèn)題，同學(xué)們還有沒(méi)有其它的想法和思路？生5：剛才我和邊上的同學(xué)討論，發(fā)現(xiàn)由條件，可以構(gòu)造一個(gè)直角三角形（如圖3），取特殊值a＝3，b＝4，c＝5，嘗試計(jì)算后得出．再聯(lián)想到可以設(shè)，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為證明．師：剛才生5的方法，瞻前顧后，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，“觀(guān)察、猜想、驗(yàn)證”這也是人們思考和解決問(wèn)題的最常見(jiàn)的哲學(xué)觀(guān)點(diǎn)．實(shí)時(shí)賞析：猜想常常是打開(kāi)問(wèn)題大門(mén)的一把鑰匙，它能為解題挖掘出最本質(zhì)的條件，獲得題目的“題眼”，發(fā)現(xiàn)對(duì)解決該問(wèn)題具有啟發(fā)意義的隱含條件．通常當(dāng)單獨(dú)、孤立地審視已知條件已是“山重水腹疑無(wú)路”時(shí)，將幾個(gè)已知條件聯(lián)系起來(lái)審視，就可以出現(xiàn)“柳暗花明又一村”的新境界．祁老師設(shè)計(jì)的這一問(wèn)題，為學(xué)生營(yíng)造了一個(gè)可以展開(kāi)試驗(yàn)——猜想——證明的探究環(huán)境，從課堂觀(guān)察的角度來(lái)看，學(xué)生在教師所營(yíng)造的實(shí)驗(yàn)氛圍中，合作學(xué)習(xí)互相鼓勵(lì)，教師在教學(xué)中不斷的點(diǎn)撥和引導(dǎo)，拓展了學(xué)生的視野；教師的適時(shí)鼓勵(lì)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情；不同的探究角度，催生了不同的解題思路；數(shù)學(xué)的思想和方法在解決問(wèn)題的過(guò)程中得到了有效的滲透．1.3問(wèn)題3數(shù)列中，已知，求數(shù)列的前2013項(xiàng)的和．師：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真讀題、審題，選擇實(shí)驗(yàn)的目標(biāo)，探索其解題的途徑．學(xué)生合作討論，分外熱烈，教師巡視，適時(shí)點(diǎn)撥……生6：我研究了題目的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)兩邊取倒數(shù)就可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)等差數(shù)列．我的解題思路是這樣的：，即，故成等差數(shù)列，我用n＝1，2，3代人計(jì)算后，猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是，其前2013項(xiàng)和為．師：生6兩邊取倒數(shù)是一個(gè)實(shí)驗(yàn)的手段，抓住了題目的結(jié)構(gòu)特征，解法體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，事實(shí)上，像形如的結(jié)構(gòu)就可以猜想它與等比數(shù)列有關(guān)．實(shí)時(shí)賞析：祁老師的講解過(guò)程詳略得當(dāng)，該講的時(shí)候講透，可以放的時(shí)候就一放到底，自始至終在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注題目的結(jié)構(gòu)特征，創(chuàng)設(shè)思維環(huán)境，滲透化歸的思想，幫助學(xué)生尋找和選擇實(shí)驗(yàn)的目標(biāo)，適時(shí)點(diǎn)撥方法，這樣的高三復(fù)習(xí)效果事半功倍．1.4問(wèn)題4已知點(diǎn)為正方形ABCD的二個(gè)頂點(diǎn)，直線(xiàn)l1，l2將正方形ABCD的面積四等分，且l1過(guò)點(diǎn)，求直線(xiàn)l2的方程．師：這題有很多方法可以解，就看同學(xué)們從什么角度選擇怎樣的目標(biāo)去觀(guān)察和分析．生7：（舉手）直線(xiàn)l1，l2將正方形ABCD的面積四等分，我猜想應(yīng)該是直線(xiàn)l1，l2的交點(diǎn)過(guò)正方形的中心P．師：這是一個(gè)非常好的想法，充分利用了正方形中心的對(duì)稱(chēng)性，那么由直線(xiàn)l1的定位，怎樣確定l2呢？生7：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，只要△PEC與△PFB全等就可以利用E點(diǎn)的坐標(biāo)確定F的坐標(biāo)，這樣l2的方程就可以確定了．生8：我的方法比生7的要簡(jiǎn)單一點(diǎn)，是這樣的：實(shí)驗(yàn)操作也是利用正方形的對(duì)稱(chēng)性（如圖所示），只要利用△PEG與△PFH面積相等，同樣利用E點(diǎn)的坐標(biāo)確定H點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣l2的方程就可以確定了．運(yùn)算要比生7的簡(jiǎn)單．生8的方法讓同學(xué)們非常激動(dòng)，報(bào)以熱烈的掌聲……師：講得非常好，對(duì)稱(chēng)是數(shù)學(xué)之美，抓住了對(duì)稱(chēng)這一核心，利用數(shù)形結(jié)合問(wèn)題就順利解決了．實(shí)時(shí)賞析：從課堂觀(guān)察的角度看，祁老師設(shè)計(jì)的這一問(wèn)題給學(xué)生留下了廣闊的思維空間，讓學(xué)生在動(dòng)手操作中享受了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)之美，同時(shí)也讓學(xué)生感受到同樣是數(shù)形結(jié)合，不同的處理方法其效果也大不一樣．學(xué)生創(chuàng)造性研究獲得了滿(mǎn)堂喝彩，我認(rèn)為這就是祁老師所期待的教學(xué)效果．1．5問(wèn)題5（2012·江蘇卷）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別是F1和F2，設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方兩點(diǎn)，且‖，與交于點(diǎn)P．（1）若－＝，求直線(xiàn)的斜率；（2）求證：為定值．師：這是一道江蘇卷的考題，其運(yùn)算量之大難倒了很多優(yōu)秀的考生．大屏幕展示考試中心提供的標(biāo)準(zhǔn)答案，學(xué)生一片驚訝……師：同學(xué)們請(qǐng)先研究第（1）小題，怎樣化難為易，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程呢，同學(xué)們要抓住所給圖形的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行探究．學(xué)生討論……生9：為了求的斜率，我的思路是設(shè)其斜率為k，因?yàn)椤?，?xiě)出和的直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立求出A，B的坐標(biāo)，其中都是關(guān)于k的式子，由－＝，斜率k就出來(lái)了．同學(xué)們議論著，一致認(rèn)為生9的方法運(yùn)算太繁了，沒(méi)有信心做下去．師：生9的方法是一個(gè)常規(guī)解法，確實(shí)運(yùn)算量比較大，特別是在高考所指定的短時(shí)間內(nèi)完成有難度．生10：（舉手，上講臺(tái)講解思路）方法有了，設(shè)，我發(fā)現(xiàn)延長(zhǎng)BF2交橢圓于點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知A與C關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則，易得，所以，這樣我就只要利用得出，將代人就可以快速求得．教室里響起了長(zhǎng)時(shí)間的掌聲，同學(xué)們?yōu)樯?0充滿(mǎn)美感的創(chuàng)新解法而喝彩，興奮之情難以言表．師：想到了對(duì)稱(chēng)，數(shù)學(xué)的美感和魅力猶然而生，生10的解法是通過(guò)對(duì)稱(chēng)性將“松散的，“的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有聯(lián)系的“，”的問(wèn)題了，這是重高質(zhì)量的運(yùn)算和有思維的運(yùn)算，高考非常注重這樣的創(chuàng)新能力．對(duì)于第（2）小問(wèn)，同學(xué)們有什么想法呢？生11：為定值．師：為什么？生11：我令軸，由條件可知軸，與的交點(diǎn)在y軸上，這樣就得出了＝．師：那么同學(xué)們?cè)趺醋C明這一結(jié)論呢？同學(xué)們齊聲回答：要證明點(diǎn)P在橢圓上．下課鈴聲響起，同學(xué)們意猶未盡……師：同學(xué)們，猜想為我們打開(kāi)了解題的大門(mén)，由＝聯(lián)想到證明點(diǎn)P在橢圓上為我們提供了解題的思路與途徑，這一問(wèn)題的證明留給大家課后研究．實(shí)時(shí)賞析：數(shù)學(xué)問(wèn)題的對(duì)象往往具有復(fù)雜性、多變性的特點(diǎn)，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題可謂“橫看成嶺側(cè)成峰”，一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，有時(shí)看起來(lái)困難重重，無(wú)從下手，如果能變換一個(gè)角度審視它卻一目了然，易如反掌．因此，在解題過(guò)程中，如何靈活自如、不失時(shí)機(jī)地調(diào)整視角，不但可以曲徑通幽，使“難”題不難，而且能獨(dú)辟蹊徑，達(dá)奇思妙解之效果．對(duì)同一數(shù)學(xué)表達(dá)式用不同的“眼光”去觀(guān)察，用不同的觀(guān)點(diǎn)去分析在解題過(guò)程中，用不同的眼光審視同一個(gè)表達(dá)式，從不同的角度理解它，聯(lián)想它在不同背景中的含義，就能迅速找到解題“入口”，得到各種解法．因此尋找恰當(dāng)?shù)囊暯牵梢允箶?shù)學(xué)問(wèn)題潛在的價(jià)值得以更充分的發(fā)掘，數(shù)學(xué)解題的視野由此而變得越來(lái)越開(kāi)闊．祁老師選擇了這一經(jīng)典的高考題作為本節(jié)課的高潮，優(yōu)秀試題的“迷人風(fēng)光”和高層次的理性思維給同學(xué)們留下了深刻的印象．在祁老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，同學(xué)們感受到了數(shù)學(xué)解題中化難為易、追求簡(jiǎn)單的思維方式，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)之美有了更高的認(rèn)識(shí)，從情感、直覺(jué)，尤其是審美的角度來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)美（簡(jiǎn)單美、對(duì)稱(chēng)美等），對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)質(zhì)量具有獨(dú)特的意義．2．教學(xué)特色簡(jiǎn)析富有思維和審美品位的數(shù)學(xué)課堂就像一首唱響主旋律的優(yōu)美的歌，祁老師的這節(jié)滲透數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究的高三復(fù)習(xí)課，就是一個(gè)追求簡(jiǎn)約，充滿(mǎn)美感、充滿(mǎn)活力的數(shù)學(xué)課堂，處處閃爍著數(shù)學(xué)思想的光芒，在這個(gè)課堂里，我們感受到了祁老師就是在原野上一位放風(fēng)箏的長(zhǎng)者，感受到了學(xué)生的期盼和躍躍欲試的沖動(dòng)，祁老師的課堂特征可以用24個(gè)字來(lái)概括，即“有疑問(wèn)、有沉思、有猜想、有想象、有聯(lián)想、有爭(zhēng)議、有驚訝、有笑聲”，是一個(gè)具有生命活力的課堂，充滿(mǎn)幸福感的課堂．其主要的教學(xué)特色可歸結(jié)一下幾點(diǎn)．2.1感受數(shù)學(xué)直覺(jué)，適時(shí)回歸課本本節(jié)課祁老師把看似互不關(guān)聯(lián)的幾個(gè)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想和方法把它們串在了一起，從不同的角度引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和探索，處處讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)直覺(jué)，每一個(gè)發(fā)現(xiàn)總是想方設(shè)法盡量讓學(xué)生得出來(lái)，教師的作用這是引導(dǎo)，在關(guān)鍵處導(dǎo)一導(dǎo)、推一推，打造出一幅“涓涓細(xì)流潤(rùn)芬芳”的美好圖景，在學(xué)生的動(dòng)手中自然問(wèn)題的解決，祁老師的預(yù)設(shè)在課堂里產(chǎn)生了許多意外的生成，如問(wèn)題1的研究引發(fā)了如何求三角函數(shù)的解析式；又如問(wèn)題5求弦長(zhǎng)的方法體現(xiàn)了通性通法，而回歸橢圓的定義又回到了課本的原點(diǎn)．這種高三復(fù)習(xí)課的處理方法體現(xiàn)了源于課本，又高于課本的教學(xué)策略．2.2突出學(xué)生主體，培養(yǎng)思維能力如何使課堂始終處在一種研究性學(xué)習(xí)的氛圍之中，單靠一兩個(gè)提問(wèn)是不夠的，需要教師站在高處，從一節(jié)課的整體統(tǒng)一謀劃，設(shè)計(jì)出一組系統(tǒng)的有計(jì)劃、有步驟的提問(wèn)，這樣的提問(wèn)要有一定的思維深度，才能激發(fā)學(xué)生探究的欲望，使課堂在探究性學(xué)習(xí)的氛圍之中從多方位培養(yǎng)學(xué)生的思維能力乃至創(chuàng)造能力．祁老師這節(jié)課所設(shè)計(jì)的所有問(wèn)題，以及圍繞這些問(wèn)題所進(jìn)行的鋪墊，為學(xué)生營(yíng)造了一個(gè)良好的數(shù)學(xué)探索研究的平臺(tái)，學(xué)生的主動(dòng)參與，師生互動(dòng)，生生合作交流，共同探究．在教學(xué)中祁老師留給學(xué)生足夠的體驗(yàn)、實(shí)踐、認(rèn)識(shí)表現(xiàn)的機(jī)會(huì)，讓他們?cè)趯?shí)踐中獲得體會(huì)，學(xué)到知識(shí)，讓學(xué)生在解題過(guò)程中親身經(jīng)歷和實(shí)踐體驗(yàn)，學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)在課堂里得到了有效的提升．2.3追求數(shù)學(xué)本真，滲透數(shù)學(xué)思想有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，不能單純的模仿與記憶，數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟和學(xué)習(xí)過(guò)程更是如此，祁老師在教學(xué)過(guò)程中處處滲透數(shù)學(xué)思想方法，追求數(shù)學(xué)的本真，以問(wèn)題為背景，激發(fā)學(xué)生開(kāi)展活動(dòng)，結(jié)合實(shí)驗(yàn)、觀(guān)察、思考、歸納、抽象、概括、運(yùn)用，力求使學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出理性的判斷，鼓勵(lì)學(xué)生能夠更注重應(yīng)用數(shù)學(xué)的觀(guān)念、方法與語(yǔ)言去提出、分析和解決問(wèn)題．教給學(xué)生必要的思維策略，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)終身受用．2.4拓寬學(xué)生視野，彰顯數(shù)學(xué)美感數(shù)學(xué)活動(dòng),實(shí)際上是一個(gè)探索自然界潛藏奧秘的過(guò)程,這本身就是一個(gè)體驗(yàn)美的過(guò)程經(jīng)歷.讓身為數(shù)學(xué)教師的我們運(yùn)用數(shù)學(xué)美的魅力將我們的學(xué)生凝聚在我們的身旁,去感悟數(shù)學(xué),去學(xué)會(huì)欣賞數(shù)學(xué)文化,那么首先我們就得從課堂開(kāi)始,對(duì)課堂教學(xué)精益求精,讓學(xué)生徜徉在充滿(mǎn)文化氣息的數(shù)學(xué)課堂里,深深地愛(ài)上數(shù)學(xué),主動(dòng)地去學(xué)數(shù)學(xué)．祁老師這節(jié)課，自始至終充滿(mǎn)著美感，在宏觀(guān)上追求數(shù)學(xué)的理性之美、簡(jiǎn)約之美，在問(wèn)題的解決過(guò)程中讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)之美，方法之美．3．關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究的幾點(diǎn)思考3.1“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”與其它理科實(shí)驗(yàn)是否一樣“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”不同于一般的理科實(shí)驗(yàn)，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的目標(biāo)是讓學(xué)生的思維啟動(dòng)有“理”，運(yùn)行有“力”，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”使學(xué)生從“聽(tīng)”數(shù)學(xué)，轉(zhuǎn)變?yōu)樵诮處煹闹笇?dǎo)下“做”數(shù)學(xué)，這是一種學(xué)習(xí)方式的改變，變被動(dòng)地接收“現(xiàn)成”的數(shù)學(xué)知識(shí)，為像“研究者”一樣去發(fā)現(xiàn)探索知識(shí)．事實(shí)證明，通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究，學(xué)生對(duì)有關(guān)知識(shí)的印象比過(guò)去死記硬背要深刻得多，尤其是理性化的認(rèn)識(shí)能力和理解能力得到提高．同時(shí)由于學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)、觀(guān)察、猜想、驗(yàn)證、歸納、表述等活動(dòng)，他們不僅形成對(duì)數(shù)學(xué)新的理解，而且學(xué)習(xí)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到了提升．通過(guò)學(xué)生自己的親身實(shí)踐