第第頁(yè)蘇教版選擇性必修第一冊(cè)4.1數(shù)列課件（2份打包）(共48張PPT)

第4章數(shù)列

第二課時(shí)數(shù)列的遞推公式

課標(biāo)要求

1.理解數(shù)列的遞推公式是數(shù)列的表示方法的一種形式.2.掌握由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法.

素養(yǎng)要求

通過由數(shù)列的遞推公式歸納或者推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).

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1

一、數(shù)列的遞推公式

1.思考(1)在{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n，則a4的值為多少？

提示a1＝2，an＋1＝an＋2，故a2＝2＋1＝3，a3＝3＋2＝5，a4＝5＋3＝8.

(2)如圖所示，有三根針和套在一根針上的n個(gè)金屬片，按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.

①每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬片；

②在每次移動(dòng)過程中，每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.

將n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針最少需要移動(dòng)的次數(shù)記為an，你能發(fā)現(xiàn)an與an＋1之間的關(guān)系嗎？

提示其實(shí)把n＋1個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針，只需3步即可完成，第一步：把最大金屬片上面的n個(gè)金屬片移到2號(hào)位，需要an步；第二步：把最大的金屬片移到3號(hào)位，需要1步；第三步：把2號(hào)位上的n個(gè)金屬片移到3號(hào)位，需要an步，故an＋1＝2an＋1.

2.填空一般地，如果已知一個(gè)數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)__________(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫作這個(gè)數(shù)列的遞推公式.遞推公式也是給定數(shù)列的一種方法.

溫馨提醒遞推關(guān)系是數(shù)列任意兩個(gè)或多個(gè)相鄰項(xiàng)之間的推導(dǎo)關(guān)系，需要知道首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，即可求數(shù)列中的每一項(xiàng).

an－1

C

二、數(shù)列的遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系

1.思考利用an＋1＝2an，n∈N*，可以寫出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式嗎？

提示只有給出a1的值，才可以確定數(shù)列{an}.

2.填空數(shù)列的遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系

遞推公式通項(xiàng)公式

區(qū)別表示an與它的前一項(xiàng)__________(或前幾項(xiàng))之間的關(guān)系表示an與____之間的關(guān)系

聯(lián)系(1)都是表示______的一種方法；(2)由遞推公式求出前幾項(xiàng)可歸納猜想出通項(xiàng)公式an－1

n

數(shù)列

溫馨提醒(1)類似bn＝an·an＋1的式子不是遞推公式，它只是說明數(shù)列{bn}中的各項(xiàng)是由數(shù)列{an}中的項(xiàng)an與an＋1的積構(gòu)成的.

(2)理解數(shù)列的遞推公式的注意點(diǎn)

與“不一定所有數(shù)列都有通項(xiàng)公式”一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.

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2

題型一由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)

遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)(或幾項(xiàng))之間的關(guān)系.對(duì)于通項(xiàng)公式，已知n的值即可得到相應(yīng)的項(xiàng)，而遞推公式則要已知首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，才可依次求得其他的項(xiàng).若項(xiàng)數(shù)很大，則應(yīng)考慮數(shù)列是否具有規(guī)律.

思維升華

AD

題型二根據(jù)遞推公式求通項(xiàng)

解由a1＝2，an＋1＝3an，得：

a2＝3a1＝3×2，

a3＝3a2＝3×3×2＝32×2，

a4＝3a3＝3×32×2＝33×2，

a5＝3a4＝3×33×2＝34×2，

…，

思維升華

課堂小結(jié)

1.牢記2個(gè)知識(shí)點(diǎn)

(1)數(shù)列的4種表示方法

①圖象法；②列表法；③通項(xiàng)公式法；

④遞推公式法.

(2)通項(xiàng)公式和遞推公式的區(qū)別.

2.掌握求通項(xiàng)公式的常用方法

(1)觀察法；(2)累加法；(3)累乘法.

3.注意1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)

累加(累乘)法求通項(xiàng)公式時(shí)，易忽略驗(yàn)證n＝1.

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3

D

2.已知數(shù)列{an}中，a2＝1，an＋an＋1＝2n，n∈N*，則a1＋a3的值為()

A.4B.5C.6D.8

A

解析由a2＝1，an＋an＋1＝2n，n∈N*，可得a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，

解得a1＝1，a3＝3,∴a1＋a3＝4.

A

4.已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an等于()

A.n2＋1B.n＋1

C.1－nD.3－n

D

當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2也符合上式.

故數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝3－n(n∈N*).

＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.

ABD

6.數(shù)列{an}中，a1＝2，an＝an＋1－3，則14是{an}的第________項(xiàng).

5

8.數(shù)列{an}中，a1＝2，an＝2an－1(n∈N*，2≤n≤10)，則數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為________.

1024

9.根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列的前四項(xiàng)，并歸納猜想它的通項(xiàng)公式.

10.數(shù)列{an}滿足an＋1＝4an＋3，且a1＝1，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.

法二(迭代法)由an＋1＝4an＋3，可得an＋1＋1＝4(an＋1)，則a2＋1＝4(a1＋1)，a3＋1＝4(a2＋1)，a4＋1＝4(a3＋1)，…，an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，

∴an＋1＝4n－1(a1＋1)(n≥2)，

即an＝2·4n－1－1＝22n－1－1(n≥2).

又a1＝1也滿足上式，∴an＝22n－1－1.

11.如下表定義函數(shù)f(x)：

x12345

f(x)54312

對(duì)于數(shù)列{an}，a1＝4，an＝f(an－1)，n＝2，3，4，…，則a2022的值是()

A.1B.2C.5D.4

A

解析因?yàn)閍1＝4，an＝f(an－1)，

所以a2＝f(a1)＝f(4)＝1，

a3＝f(a2)＝f(1)＝5，a4＝f(a3)＝f(5)＝2，

a5＝f(a4)＝f(2)＝4，a6＝f(a5)＝f(4)＝1，

由上可知，數(shù)列{an}是4，1，5，2，4，1，…，是周期為4的周期數(shù)列，

又2022＝505×4＋2，所以a2022＝a2＝1.

2＋lnn

所以a2－a1＝ln2－ln1，

a3－a2＝ln3－ln2，

a4－a3＝ln4－ln3，…，

an－an－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2).

把以上各式分別相加得an－a1＝lnn－ln1，

則an＝2＋lnn，且a1＝2也適合，

因此an＝2＋lnn(n∈N*).

14.在一個(gè)數(shù)列中，如果對(duì)任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個(gè)數(shù)列叫作等積數(shù)列，k叫作這個(gè)數(shù)列的公積.已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.

28

解析依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，

因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.

本課結(jié)束(共53張PPT)

第4章數(shù)列

4.1數(shù)列

第一課時(shí)數(shù)列的概念與表示

課標(biāo)要求

1.通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和表示方法(表格、圖象、解析法).2.了解數(shù)列是一種特殊函數(shù).

素養(yǎng)要求

從日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例，經(jīng)歷數(shù)列的概念的抽象過程，并在由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式的過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).

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1

一、數(shù)列的概念與分類

1.思考觀察以下幾列數(shù)：

①古埃及“阿默斯”畫了一個(gè)階梯，上面的數(shù)字依次為：7，49，343，2401，16807；

2.填空(1)一般地，我們把按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫作這個(gè)數(shù)列的____.數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫作這個(gè)數(shù)列的第____項(xiàng)，常用符號(hào)a1表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫作這個(gè)數(shù)列的第____項(xiàng)，用a2表示，…，第n個(gè)位置上的數(shù)叫作這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，用______表示.其中第1項(xiàng)也叫作______.

(2)數(shù)列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，簡(jiǎn)記為__________.

項(xiàng)

1

an

2

首項(xiàng)

{an}

(3)

分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義

按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)______的數(shù)列

無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)______的數(shù)列

按項(xiàng)的變化趨勢(shì)遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都______它的前一項(xiàng)的數(shù)列

遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都______它的前一項(xiàng)的數(shù)列

常數(shù)列各項(xiàng)都______的數(shù)列

周期數(shù)列項(xiàng)呈現(xiàn)周期性變化的數(shù)列

擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)______它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)______它的前一項(xiàng)的數(shù)列

有限

無限

大于

小于

相等

大于

小于

溫馨提醒(1)概念中的“一列數(shù)”，即不止一個(gè)數(shù).

(2)概念中的“一定次序”，即數(shù)列中的數(shù)是有序的.

D

3.做一做下列敘述正確的是()

二、數(shù)列的通項(xiàng)公式

1.思考我們發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)1中思考①②③⑤，項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間存在某種聯(lián)系，你能發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系嗎？

2.填空一般地，如果數(shù)列{an}的________與________之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.數(shù)列可以用__________來描述，也可以通過______或______來表示.

第n項(xiàng)

序號(hào)n

通項(xiàng)公式

列表

圖象

溫馨提醒(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N*或它的有限子集{1，2，…，n}為定義域的函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如果知道了數(shù)列的通項(xiàng)公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)；同時(shí)，用數(shù)列的通項(xiàng)公式也可以判斷某數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)，如果是的話，是第幾項(xiàng)；

(3)不一定所有數(shù)列都有通項(xiàng)公式，一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式也不一定唯一.

8

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2

`

例1寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

題型一由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式

用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式的一般規(guī)律

(1)一般數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

思維升華

(2)對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對(duì)值，再用(－1)k處理符號(hào)問題.

(3)對(duì)于周期出現(xiàn)的數(shù)列，可考慮拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列和的形式，或者利用周期函數(shù)，如三角函數(shù)等.

訓(xùn)練1寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：

題型二數(shù)列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用

∴n(n＋2)＝120，∴n2＋2n－120＝0，

∴n＝10或n＝－12(舍)，

判斷某數(shù)值是否為某數(shù)列的項(xiàng)的方法

先假定它是該數(shù)列中的第n項(xiàng)，然后列出關(guān)于n的方程.若方程的解為正整數(shù)，則是該數(shù)列的項(xiàng)；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的項(xiàng).

思維升華

訓(xùn)練2在數(shù)列{an}中，a1＝2，a17＝66，通項(xiàng)公式an是n的一次函數(shù).

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)判斷88是不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)？

題型三數(shù)列的性質(zhì)

例3設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2＋kn(n∈N*)，數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解∵數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的，

∴an即n2＋kn－2n－1對(duì)任意n∈N*恒成立.

∵f(n)＝－2n－1(n∈N*)的最大值為－3，

∴k>－3，即k的取值范圍是(－3，＋∞).

遷移1求本例中k＝－13時(shí)數(shù)列{an}的最小項(xiàng).

遷移2本例中“單調(diào)遞增”改為“單調(diào)遞減”，那么這樣的實(shí)數(shù)k是否存在？如果存在，求實(shí)數(shù)k的取值范圍，若不存在說明理由.

解要使{an}是單調(diào)遞減數(shù)列，

必須an>an＋1恒成立，

即n2＋kn>(n＋1)2＋k(n＋1)對(duì)任意n∈N*恒成立.

整理得k0，

∴an＋1>an，即{an}是遞增數(shù)列.

3.數(shù)列1，3，6，10，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是()

C

4.(多選)下面四個(gè)數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是()

CD

B

6.323是數(shù)列{n(n＋2)}的第________項(xiàng).

17

3

8.在數(shù)列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N*，則該數(shù)列從第________項(xiàng)開始遞增，an的最小值為________.

4

－36

9.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

(1)－1，7，－13，19，…；

解符號(hào)問題可通過(－1)n表示，其各項(xiàng)的絕對(duì)值的排列規(guī)律為：后面的數(shù)的絕對(duì)值總比前面數(shù)的絕對(duì)值大6，故通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(6n－5).

(2)0.8，0.88，0.888，….

10.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－n2＋n＋110.

(1)20是不是{an}中的一項(xiàng)？

解令an＝－n2＋n＋110＝20，

即n2－n－90＝0，∴(n＋9)(n－10)＝0，

∴n＝10或n＝－9(舍).

∴20是數(shù)列{an}中的一項(xiàng)，且為