第四章彈性力學(xué)有限元概述§4-1引言§4-2連續(xù)體的離散化§4-3單元位移函數(shù)§4-4單元分析與單剛§4-5單元等效結(jié)點(diǎn)荷載§4-6有限元法分析步驟§4-1引言一、彈性力學(xué)的研究對(duì)象：二維、三維結(jié)構(gòu)。如板殼結(jié)構(gòu)、水壩等。

解析法（精確法）二、彈性力學(xué)的分析方法數(shù)值法（近似法）

解析法只能解少數(shù)形狀規(guī)則、邊界條件簡(jiǎn)單、荷載簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)。

數(shù)值近似（如差分法）近似法物理近似（如反彎點(diǎn)法等）:抓住問(wèn)題的主要力學(xué)特征作某些近似假設(shè)。

將數(shù)值近似與物理近似結(jié)合，并使用計(jì)算機(jī)作為計(jì)算工具，便產(chǎn)生了有限單元法。三、有限單元法（有限元法）

——是一種運(yùn)用計(jì)算機(jī)求解工程和科學(xué)問(wèn)題的近似數(shù)值方法。有限元法的分析思路（步驟）：1、單元?jiǎng)澐謱⑦B續(xù)體劃分為有限個(gè)有限大小的單元。單元之間通過(guò)結(jié)點(diǎn)相連。

懸臂深梁：

jk

j

單元與單元間k

通過(guò)結(jié)點(diǎn)相連：

每個(gè)單元的尺寸為有限大（不是無(wú)限小）——稱為有限單元，即有限元。

假設(shè)單元內(nèi)部分布的位移場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)或應(yīng)力—位移混合場(chǎng)。

以后僅討論假設(shè)位移場(chǎng)的情況——稱有限元位移法，簡(jiǎn)稱有限元法。

2、單元分析將單元內(nèi)各種量（如任一點(diǎn)的位移、應(yīng)力、應(yīng)變等）均表示為單元結(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)。然后求單元?jiǎng)偠染仃嚒?、將各單元集合成整體即形成結(jié)點(diǎn)平衡方程[K]｛D｝=｛F｝。[K]、｛F｝的形成方式同矩陣位移法。4、解方程組[K]｛D｝=｛F｝，求｛D｝。5、計(jì)算單元內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變等。并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行整理分析?？梢?jiàn)，有限元法的步驟與矩陣位移法基本相同。不同處：矩陣位移法得精確解，而有限元法得近似解?！?-2連續(xù)體的離散化

將連續(xù)體離散為有限個(gè)單元的集合。一、單元形狀

二維單元（用于平面問(wèn)題）

三維單元（用于空間問(wèn)題）

平面問(wèn)題等參數(shù)單元（模擬曲線邊界）二、單元的大小

將實(shí)際結(jié)構(gòu)劃分為若干單元的分割線稱為網(wǎng)格。一般，網(wǎng)格越密（即單元數(shù)越多），計(jì)算結(jié)果越精確，但計(jì)算量增大。計(jì)算結(jié)果

精確值

單元數(shù)

可見(jiàn)，當(dāng)網(wǎng)格加密到一定程度，對(duì)計(jì)算結(jié)果的精度提高已有限。故不應(yīng)盲目加密網(wǎng)格。對(duì)較規(guī)則的問(wèn)題，可均勻劃分網(wǎng)格。應(yīng)力較大（如應(yīng)力集中）處，應(yīng)加密網(wǎng)格。如下圖結(jié)構(gòu)，可取四分之一計(jì)算：三、劃分單元時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題1、任意一個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)，必須同時(shí)也是相鄰單元的結(jié)點(diǎn)，而不能是相鄰單元邊界上的內(nèi)點(diǎn)。下圖中，應(yīng)在虛線處增加一根桿件。2、避免病態(tài)單元（如下圖所示）

會(huì)造成總剛[K]中主元不占優(yōu)。3、可將集中力的作用點(diǎn)或分布荷載的突變點(diǎn)設(shè)置為結(jié)點(diǎn)。4、在結(jié)構(gòu)的厚度或材料性質(zhì)有突變處，應(yīng)把突變線作為單元的分界線。四、單元編號(hào)、結(jié)點(diǎn)編號(hào)

結(jié)點(diǎn)編號(hào)時(shí)，應(yīng)使每個(gè)結(jié)點(diǎn)與相鄰結(jié)點(diǎn)的編號(hào)之差盡可能小，以便使[K]的帶寬盡可能小。五、結(jié)點(diǎn)與單元的自由度

結(jié)點(diǎn)自由度：平面（2個(gè)）、空間（3個(gè)）

單元自由度=結(jié)點(diǎn)自由度×單元結(jié)點(diǎn)數(shù)§4-3單元位移函數(shù)假定一種連續(xù)函數(shù)來(lái)描述單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移——稱單元位移函數(shù)（模式）。位移函數(shù)選取的好壞直接影響計(jì)算的收斂性與精度。通常選取多項(xiàng)式作為位移函數(shù)。一、選取位移函數(shù)的方法1、廣義坐標(biāo)法——利用帕斯卡(Pascal)三角形。

1常數(shù)項(xiàng)

xy線性項(xiàng)

x2xyy2二次項(xiàng)

x3x2yxy2y3三次項(xiàng)

x4x3yx2y2xy3y4

四次項(xiàng)

……………（1）對(duì)于一維單元（2）對(duì)于二維單元

應(yīng)依次選取常數(shù)項(xiàng)、線性項(xiàng)、二次項(xiàng)、……。并應(yīng)注意坐標(biāo)軸方向的對(duì)稱性?！纠?-1】選取圖示二結(jié)點(diǎn)軸力元的位移函數(shù)。ujuiu(x)xE,A,I,l解：因有2個(gè)結(jié)點(diǎn)位移，可取u(x)=a1+a2x

將a1、a2代入，并整理得：由得：

其中，Ni

、Nj

稱為形函數(shù)，[N]稱為形函數(shù)矩陣。形函數(shù)的性質(zhì)：本結(jié)點(diǎn)上取值1、其它結(jié)點(diǎn)上取值0。寫(xiě)成矩陣形式，為

ui

i

j

uj

1Ni

Nj

1

形函數(shù)Ni表示:當(dāng)?shù)趇個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量發(fā)生單位位移,而其它結(jié)點(diǎn)位移分量為零時(shí)整個(gè)單元的變形形狀,故稱為“形狀函數(shù)”,簡(jiǎn)稱形函數(shù)。2、插值函數(shù)法一維單元：

u(x)=N1u1+N2u2+…+Nnun=SNiui=[N]｛d｝(e)

形函數(shù)矩陣：[N]=[N1N2…

Nn]

｛d｝(e)=｛u1u2…

un

｝T

二維單元：

u(x,y)=N1u1+N2u2+…+Nnun=SNiui

v(x,y)=N1v1+N2v2+…+Nnvn=S

Nivi寫(xiě)成矩陣形式為｛u｝=[N]｛d｝(e)其中二維單元：

u(x,y)=N1u1+N2u2+…+Nnun=S

Niui

v(x,y)=N1v1+N2v2+…+Nnvn=SNivi寫(xiě)成矩陣形式為｛u｝=[N]｛d｝(e)二、有限元解答的收斂性為了保證解答的收斂性，須使假設(shè)的位移函數(shù)滿足：（1）包含常數(shù)項(xiàng)——反映單元的剛體位移。（2）包含線性項(xiàng)——反映單元常應(yīng)變。（3）除在單元內(nèi)連續(xù)外，還應(yīng)在相鄰單元的公共邊界上連續(xù)。

分

C0連續(xù)（位移連續(xù)）等。

C1連續(xù)（位移的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)）

一般要求C0連續(xù)。上述條件（1）、（2）是收斂的必要條件，加上條件（3）就是收斂的充分條件。把滿足條件（1）、（2）的單元稱為完備單元，滿足條件（3）的單元稱為協(xié)調(diào)單元。對(duì)于完備且協(xié)調(diào)的單元，具有單調(diào)收斂性?！?-4單元分析與單剛

yFyi

iFxi

sy

txy

Fyj

sxFym

FxmFxjmjx

對(duì)三結(jié)點(diǎn)三角形單元：｛d｝(e)

=｛uiviujvjumvm

｝T

｛F｝(e)=｛FxiFyiFxjFyjFxmFym

｝T

單元分析：A、確定單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移｛u｝、應(yīng)力｛e｝、應(yīng)變｛s｝，并建立它們與｛d｝(e)間的關(guān)系。

B、求[k](e)

，即｛F｝(e)與｛d｝(e)之間的變換矩陣。對(duì)于平面問(wèn)題：｛u｝=｛uv｝T

｛e｝=｛exeygxy

｝T

｛s｝=｛sxsytxy

｝T對(duì)于空間問(wèn)題：｛u｝=｛uvw｝T

｛e｝=｛exeyezgxy

gyz

gzx

｝T

｛s｝=｛sxsysztxy

tyz

tzx｝T一、單元位移函數(shù)

｛u｝=[N]｛d｝(e)如對(duì)于三結(jié)點(diǎn)三角形單元：

u=Niui+Njuj+Nmum

v=Nivi+Njvj+Nmvm[N]=

Ni0Nj0Nm00Ni

0Nj

0Nm二、單元應(yīng)變｛e｝=[L]｛u｝,[L]—微分算子矩陣。對(duì)于平面問(wèn)題：寫(xiě)成矩陣形式：

0

e

x

u

｛e｝=ey=0

gxy

v

0

e

x

u

｛e｝=ey=0

gxy

v即｛e｝=[L]｛u｝對(duì)于空間問(wèn)題：｛e｝=[L]｛u｝:000000000[L]=｛u｝=uvw

將｛u｝=[N]｛d｝(e)代入｛e｝=[L]｛u｝，得：｛e｝=[L][N]｛d｝(e)=[B]｛d｝(e)

其中[B]=[L][N]——稱為應(yīng)變矩陣或幾何矩陣?！啵鹐｝=[B]｛d｝(e)三、單元應(yīng)力以平面應(yīng)力為例：（m為泊松比）

E

sx=(ex+mey)1－m2

E

sy=(ey+mex)1－m2

E

1-m

txy=·

gxy

1－m22寫(xiě)成矩陣形式｛s｝=[D]｛e｝，則

1m0

E

m10[D]=1－m21－m

002若為平面應(yīng)變問(wèn)題，將E

、m

分別替換為：

E

1－m

1－m22

[D]——彈性矩陣。將｛e｝=[B]｛d｝(e)代入｛s｝=[D]｛e｝得：｛s｝=[S]｛d｝(e)其中[S]=[D][B]=[D][L][N]——稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣。四、單元?jiǎng)偠确匠膛c單剛[k](e)

——利用虛功原理推導(dǎo)設(shè)單元結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移列陣為：｛F｝(e)=｛F1F2F3…

Fn｝T

｛d｝(e)=｛d1

d2

d3…

dn｝T

給一虛位移｛d*｝(e)，則單元內(nèi)任一點(diǎn)的虛位移｛u

*｝=[N]｛d*｝(e)

，虛應(yīng)變｛e*｝=[B]｛d*｝(e)

。由虛功原理：（外力虛功）W=U

（虛變形能）

W=d1*F1+d2*F2+…+dn*Fn

=(｛d*｝(e))T

｛F｝(e)

U=∫V(ex*

sx+ey*

sy+…+

gzx*tzx)dxdydz=∫V｛e*｝T｛s｝dxdydz=(｛d*｝(e))T∫V

[B]T｛s｝dxdydz

由W=U，得：｛F｝(e)=∫V

[B]T｛s｝dxdydz

將｛s｝=[S]｛d｝(e)=[D][B]｛d｝(e)代入，得

｛F｝(e)=[k](e)｛d｝(e)

其中，[k](e)=∫V

[B]T[D][B]dxdydz

§4-5單元等效結(jié)點(diǎn)荷載

單元上非結(jié)點(diǎn)荷載（靜力等效）單元等效結(jié)點(diǎn)荷載｛FE｝(e)靜力等效：原荷載與｛FE｝(e)在任何虛位移上作的虛功都相等。1、集中荷載

設(shè)有｛F｝=｛Fx

Fy

Fz

｝T作用在單元內(nèi)(含單元邊界上)某點(diǎn)C｛x，y，z｝。設(shè)有虛位移｛u

*｝=[N]｛d*｝(e)

，則C點(diǎn)虛位移為｛uC*｝=[NC]｛d*｝(e)

。其中[NC]為[N]在C點(diǎn)的取值?！撸鸉E｝(e)作虛功：(｛d*｝(e))T

｛FE｝(e)；｛F｝作虛功：｛uC*｝T

｛F｝=(｛d*｝(e))T[NC]T

｛F｝∴｛FE｝(e)=[NC]T

｛F｝2、分布面荷載

設(shè)有分布面荷載｛f｝=｛fx

fy

fz

｝T作用在單元某一邊界面積A上。

取一微元dA上的分布力作為集中力，即d{F}=｛f｝dA

，代入上式得：｛FE｝(e)=∫A[N]Td{F}∴｛FE｝(e)=∫A[N]T

｛f｝dA

3、分布體力

設(shè)單元內(nèi)有一分布體力｛f｝=｛fxfyfz

｝T

將一微元dV上的體力d{F}=｛f｝dV作為一集中力，則有：｛FE｝(e)=∫V[N]Td{F}∴｛FE｝(e)=∫V[N]T

｛f｝dV

§4-6有限元法分析步驟一、結(jié)構(gòu)離散化二、單元分析：

1、確定位移模式｛u｝=[N]｛d｝(e)

2、分析應(yīng)變和應(yīng)力｛e｝=[B]｛d｝(e)

｛s｝=[D][B]｛d｝(e)3、計(jì)算單剛

[k](e)=∫V

[B]T[D][B]dxdydz

4、計(jì)算單元等效結(jié)點(diǎn)荷載｛FE｝(e)=∫A[N]T

｛f｝dA(分布面力)｛FE｝(e)=∫V[N]T

｛f｝dV(分布體力)三、整體分析結(jié)點(diǎn)平衡方程組

[K]｛D｝=｛F｝=｛FJ｝+｛FE｝

[k](e)

｛FE｝(e)

由直接剛度法集成“對(duì)號(hào)入座，同號(hào)累加”四、引入支承條件

—主1副0法或乘大數(shù)法。五、解方程組[K]｛D｝=｛F｝，求｛D｝六、計(jì)算單元應(yīng)力｛s｝=[D][B]｛d｝(e)

｛d｝(e)由｛D｝中取出。對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析整理。[例]平面梁?jiǎn)卧挠邢拊治?/p>

qi(Mi)qj(Mj)

E,I,l

x

vi(FQi)i

v(x)j

vj(FQj)

y

x

圖示平面梁?jiǎn)卧慕Y(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力為：｛d｝(e)=｛vi

qi

vj

qj

｝T

｛F｝(e)=｛FQi

Mi

FQj

Mj｝T1、單元位移

v(x)=a1+a2x+a3x2+a4x3a1、a2、a3

、a4由邊界條件：

x=0，v=vi；

x=0，q=dv/dx=qi；

x=l

，v=vj；

x=l

，q=dv/dx=qj。求得。

a1=via2=qi

a3=

3(－vi

＋vj)/l2

－(2qi＋qj)/l

a4=2(vi