第六節(jié)空間(kōngjiān)幾何體及其表面積和體積第一頁，共55頁。內(nèi)容要求ABC柱、錐、臺(tái)、球及其組合體√柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積√…………高考(ɡāokǎo)指數(shù):★第二頁，共55頁。1.空間(kōngjiān)幾何體(1)多面體定義性質(zhì)棱柱由一個(gè)__________沿某一方向_____形成的空間幾何體①兩個(gè)底面是____________，且對應(yīng)邊互相_____②側(cè)面都是____________平面(píngmiàn)多邊形平移(pínɡyí)全等的多邊形平行平行四邊形第三頁，共55頁。棱錐棱柱的一個(gè)底面________________時(shí)，得到的幾何體①底面是_________②側(cè)面是_________________________棱臺(tái)棱錐被___________的一個(gè)平面所截后，____和______之間的部分①上下底面_____②側(cè)棱延長后_________收縮(shōusuō)為一個(gè)點(diǎn)多邊形有一個(gè)(yīɡè)公共頂點(diǎn)的三角形平行(píngxíng)于底面截面底面相似交于一點(diǎn)第四頁，共55頁。(2)旋轉(zhuǎn)體①旋轉(zhuǎn)面：一條(yītiáo)平面曲線繞它所在平面內(nèi)的一條(yītiáo)定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.②旋轉(zhuǎn)體：封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體.③圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球第五頁，共55頁。圖形平面圖形軸圓柱圓錐矩形(jǔxíng)矩形(jǔxíng)的一邊所在的直線o′oos直角三角形所在(suǒzài)的直線一直角邊第六頁，共55頁。圖形平面圖形軸圓臺(tái)球oo′o直角(zhíjiǎo)梯形半圓(bànyuán)垂直于底邊(dǐbiān)的腰______所在的直線直徑所在的直線第七頁，共55頁?！炯磿r(shí)應(yīng)用】(1)思考：柱體、錐體(zhuītǐ)、臺(tái)體三者之間有怎樣的關(guān)系？提示:柱體臺(tái)體椎體第八頁，共55頁。(2)判斷下列命題是否正確.(請?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)填“√”或“×”)①用一個(gè)平面去截棱錐(léngzhuī)，棱錐(léngzhuī)底面和截面之間的部分是棱臺(tái)；()②兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；()③有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱；()④有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐.()第九頁，共55頁。【解析】①中的平面不一定平行于底面，故①錯(cuò)；②可畫圖檢驗(yàn)(jiǎnyàn)，如圖1，錯(cuò)誤.第十頁，共55頁。③錯(cuò)，如圖2，面ABC∥面A1B1C1，其余各面都是平行四邊形，但圖中的幾何體每相鄰(xiānɡlín)兩個(gè)四邊形的公共邊并不都互相平行，故不是棱柱.④錯(cuò)，如圖3，每個(gè)面都是三角形，但形成的幾何體不是棱錐.答案：①×②×③×④×第十一頁，共55頁。2.空間幾何體的表面積、體積(1)表面積公式(gōngshì)①S直棱柱側(cè)＝ch,S正棱錐側(cè)＝ch′,S正棱臺(tái)側(cè)＝(c+c′)h′；②S圓柱側(cè)＝2πrl,S圓錐側(cè)＝πrl,S圓臺(tái)側(cè)＝π(r+r′)l；③S球＝4πR2.(2)體積公式(gōngshì)①V柱體＝Sh,V錐體＝Sh,V臺(tái)體＝h(S++S′)；②V球＝πR3.第十二頁，共55頁?！炯磿r(shí)應(yīng)用】(1)思考：對于不規(guī)則的幾何體應(yīng)當(dāng)如何求其體積？提示:對于不規(guī)則的幾何體的體積常用割補(bǔ)法或是轉(zhuǎn)化成已知幾何體積公式的幾何體來解決.(2)棱長為2的正四面體的表面積為______．【解析(jiěxī)】正四面體的表面積為4×(×22)=4.答案：4第十三頁，共55頁。(3)已知正方體外接球的體積是π，那么正方體的棱長為___.【解析(jiěxī)】設(shè)正方體的棱長為a,外接球的半徑為R，則2R=a,∴R=a,由題意知，V球=πR3=π，∴R=2，∴a=2,∴a=.答案：第十四頁，共55頁。幾何體的展開與折疊【方法點(diǎn)睛】1.求解幾何體表面上兩點(diǎn)間的最短距離的方法常用方法是選擇(xuǎnzé)恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱將幾何體展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離來解，是將空間幾何體展開成平面圖形的應(yīng)用．第十五頁，共55頁。2.解決折疊問題的技巧(jìqiǎo)解決折疊問題時(shí)，要分清折疊前后兩圖形(折疊前的平面圖形和折疊后的空間圖形)的各元素間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系哪些發(fā)生了變化，哪些沒有發(fā)生變化．【提醒】對折疊問題中的前后兩個(gè)圖形，在折線同側(cè)的元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化；在折線異側(cè)的元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化．第十六頁，共55頁?！纠?】(1)(2012·南京模擬)如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2cm，高為5cm，則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著正三棱柱的側(cè)面(cèmiàn)繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線的長為_______cm.第十七頁，共55頁。(2)如圖，已知一個(gè)(yīɡè)多面體的平面展開圖由一個(gè)(yīɡè)邊長為1的正方形和4個(gè)邊長為1的正三角形組成，則該多面體的體積是_____.第十八頁，共55頁?！窘忸}指南】(1)將正三棱柱的側(cè)面展開轉(zhuǎn)化為平面問題來解決；(2)將平面圖形折疊后得到一個(gè)四棱錐，用相關(guān)(xiāngguān)公式可求得體積．【規(guī)范解答】(1)將正三棱柱沿棱AA1兩次展開，得到如圖所示的矩形，可知最短路線長為矩形的對角線長，從而所求最短路線的長為答案：13第十九頁，共55頁。(2)由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長為1，側(cè)棱長為1，斜高為，連結(jié)頂點(diǎn)和底面中心(zhōngxīn)即為高，可得高為，所以體積為V=×1×1×=.答案：第二十頁，共55頁?！净?dòng)探究(tànjiū)】本例(2)中條件不變，求該多面體的表面積．【解析】由題意知，該四棱錐的側(cè)面為邊長為1的等邊三角形，底面為邊長為1的正方形，故其表面積為第二十一頁，共55頁。【反思·感悟】1.求幾何體表面上兩點(diǎn)間的最短距離是常見題型之一，這類問題的特點(diǎn)是：圖形的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系分散在立體圖形的幾個(gè)平面上或旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上．為了便于發(fā)現(xiàn)圖形間性質(zhì)與數(shù)量上的相互關(guān)系，需將圖中的某些平面旋轉(zhuǎn)到同一平面上，或者將曲面(qūmiàn)展開為平面，使問題得到解決．2.折疊問題是立體幾何中常見的題型，幾何體的展開與平面圖形的折疊，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，也是解決立體幾何問題時(shí)常用的方法．第二十二頁，共55頁?！咀兪絺溥x】如圖，在三棱柱ABC-A′B′C′中，△ABC為等邊三角形，AA′⊥平面ABC，AB=3,AA′=4，M為AA′的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC′到M的最短路線長為，設(shè)這條路線與CC′的交點(diǎn)(jiāodiǎn)為N．(1)求該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長；(2)求PC與NC的長．第二十三頁，共55頁。【解題指南】(1)三棱柱側(cè)面展開圖為矩形，利用勾股定理求解.(2)在展開圖中結(jié)合(jiéhé)兩點(diǎn)之間線段最短，可以利用勾股定理，列出方程，求出PC的長度.利用平行的性質(zhì)求出NC的值.第二十四頁，共55頁?！窘馕觥?1)該三棱柱的側(cè)面展開(zhǎnkāi)圖是邊長分別為4和9的矩形，故對角線長為(2)將該三棱柱的側(cè)面沿棱BB′展開(zhǎnkāi)，如圖所示．設(shè)PC=x,則MP2=MA2+(AC+x)2.∵M(jìn)P=，MA=2，AC=3，∴x=2,即PC=2.又NC∥AM，∴，即，∴NC=.第二十五頁，共55頁。幾何體的表面積【方法點(diǎn)睛】1.幾何體表(tǐbiǎo)面積的求法(1)若所給的幾何體是規(guī)則的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解；(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；旋轉(zhuǎn)體的表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和．第二十六頁，共55頁。2.旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積的求法計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)行，即將側(cè)面展開化為平面圖形來解決，因此要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法．【提醒】解題中要注意表面積與側(cè)面積的區(qū)別(qūbié)，對于組合體的表面積還應(yīng)注意重合部分的處理.第二十七頁，共55頁?！纠?】(1)(2011·北京高考(ɡāokǎo)改編)某四棱錐的底面是邊長為4的正方形，高為2，頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面正方形的中心，該四棱錐的表面積是________.第二十八頁，共55頁。(2)某幾何體由上、下兩個(gè)(liǎnɡɡè)長方體組合而成，下面長方體的長、寬、高分別為8，10，2；上面長方體的長、寬、高分別為6，2，8(如圖)，該幾何體的表面積為______.第二十九頁，共55頁?！窘忸}指南】(1)求四棱錐的表面積的關(guān)鍵(guānjiàn)是求側(cè)面積，而求側(cè)面積的關(guān)鍵(guānjiàn)是求斜高.(2)分析幾何體的組合方式，分別計(jì)算出兩個(gè)長方體的表面積，要注意重合表面的面積.第三十頁，共55頁?！疽?guī)范解答(jiědá)】(1)該四棱錐的斜高為，表面積為4×(×4×2)+42=16+16.答案：16+16(2)S表=2×10×8+2×(8+10)×2+2×(2+6)×8=360.答案：360第三十一頁，共55頁?！痉此肌じ形颉?.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將曲面展為平面(píngmiàn)圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．2.注意對面積公式的討論都是利用展開圖進(jìn)行的,解題中要注意將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面(píngmiàn)圖形這一方法的運(yùn)用.第三十二頁，共55頁。3.扇形和扇環(huán)的面積類比(lèibǐ)三角形的面積公式得：弧長為l，半徑為r的扇形的面積為S=lr；類比(lèibǐ)梯形的面積公式得：內(nèi)弧長為l′，外弧長為l，外半徑減內(nèi)半徑為r的扇環(huán)面積為S=(l′+l)r．第三十三頁，共55頁。【變式訓(xùn)練】如圖所示，某幾何體由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組成．球半徑和圓錐底面半徑都等于(děngyú)3，圓錐的母線長等于(děngyú)5，該幾何體的表面積為_______.【解析】S＝2π×32＋π×3×5＝33π.答案：33π第三十四頁，共55頁。【變式備選】如圖所示，以圓柱(yuánzhù)的下底面為底面，并以圓柱(yuánzhù)的上底面圓心為頂點(diǎn)作圓錐，則該圓錐與圓柱(yuánzhù)等底等高．若圓錐的軸截面是一個(gè)正三角形，則圓柱(yuánzhù)的側(cè)面積與圓錐的側(cè)面積之比為______.【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，則母線長為2r，高為r，∴圓柱(yuánzhù)的底面半徑為r，高為r，∴答案：∶1第三十五頁，共55頁。幾何體的體積【方法點(diǎn)睛】1.求幾何體體積的思路(1)若所給定的幾何體是規(guī)則的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行(jìnxíng)求解；(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行(jìnxíng)求解.第三十六頁，共55頁。2.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式(gōngshì)之間的關(guān)系,可表示為【提醒】在立體幾何的計(jì)算問題中，不要忘記必要的推理過程．S′=SS′=0v柱體=Shv椎體=Sh第三十七頁，共55頁?！纠?】(1)(2011·新課標(biāo)全國(quánɡuó)卷)已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上,且AB=6,BC=2,則棱錐O-ABCD的體積為________.(2)如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，且AB=8，BC=6，高為4，頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是矩形的中心.①求該四棱錐的體積V；②求該四棱錐的側(cè)面積S．第三十八頁，共55頁?！窘忸}指南】(1)解題的關(guān)鍵是定準(zhǔn)球心的位置，求出棱錐的高.(2)解題的關(guān)鍵是解直角三角形求棱錐的高、斜高.【規(guī)范解答】(1)如圖所示，OO′垂直于矩形ABCD所在的平面，垂足為O′，連結(jié)(liánjié)O′B，OB，則在Rt△OO′B中，由OB=4，O′B=2,可得OO′=2,∴VO-ABCD=·S矩形ABCD·OO′=×6×2×2=8.答案：8第三十九頁，共55頁。(2)①V=×(8×6)×4=64.②該四棱錐(léngzhuī)有兩個(gè)側(cè)面PAD、PBC是全等的等腰三角形，且BC邊上的高為h1=，另兩個(gè)側(cè)面PAB、PCD也是全等的等腰三角形，AB邊上的高為，因此S=2×(×6×4＋×8×5)=40＋24．第四十頁，共55頁?！净?dòng)探究】在本例(2)中的四棱錐P-ABCD中,分別取AB、CD的中點(diǎn)F、E，試求四棱錐P-BCEF的表面積.【解析(jiěxī)】由本例(2)知PE=PF=5，EF=BC=6，S△PCE=S△PBF=S△PAB=××8×5=10，S△PBC=×6×4=12，S矩形BCEF=×8×6=24,S△PEF=×6×4=12.∴四棱錐P-BCEF的表面積S=10×2+12+12+24=56+12.第四十一頁，共55頁。【反思·感悟】求錐體體積的關(guān)鍵求錐體體積的關(guān)鍵是找(或作)錐體的高，所以求錐體體積通常與線面垂直的證明聯(lián)系(liánxì).對于三棱錐的體積計(jì)算，要遵循哪個(gè)面的垂線易找(或易作)就以哪個(gè)面為底面的原則.第四十二頁，共55頁?！咀兪絺溥x】如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE、△BCF均為正三角形(zhènɡsānjiǎoxínɡ)，EF∥AB，EF=2，則該多面體的體積為________.第四十三頁，共55頁。【解析】如圖所示，過A、B兩點(diǎn)分別作AM、BN垂直于EF，垂足分別為M、N，連結(jié)DM、CN，可得DM⊥EF、CN⊥EF，多面體可分為三部分(bùfen)，故多面體的體積為VABCDEF=VAMD-BNC+VE-AMD+VF-BNC，∵NF=，BF=1，∴BN=．作NH⊥BC于點(diǎn)H，則H為BC的中點(diǎn)，則NH=．∴S△BNC=·BC·NH=×1×=．∴VAMD-BNC=S△BNC·MN=，第四十四頁，共55頁。VF-BNC=·S△BNC·NF=VE-AMD=VF-BNC=.∴VABCDEF=答案(dáàn)：第四十五頁，共55頁。

【易錯(cuò)誤區(qū)】球的組合體中求體積時(shí)的常見錯(cuò)誤【典例】(2011·遼寧高考改編)已知球的直徑SC=4，A、B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=2,∠ASC=∠BSC=45°，則棱錐S-ABC的體積為________.【解題指南】根據(jù)(gēnjù)所給條件畫出圖形，將三棱錐S-ABC分為兩部分，結(jié)合三棱錐的體積公式求解.第四十六頁，共55頁。【規(guī)范解答】如圖，由題意可知，在三棱錐S-ABC中，△SAC和△SBC都是等腰直角三角形，其中AB=2，SC=4，SA=SB=AC=BC=2.取SC的中點(diǎn)D，易得SC⊥平面ABD.故所求棱錐S-ABC的體積等于以△ABD為底的兩個(gè)小三棱錐的體積(tǐjī)的和，其高的和即為球的直徑SC，故答案：第四十七頁，共55頁?！鹃喚砣它c(diǎn)撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考(bèikǎo)建議：誤區(qū)警示在解答本題時(shí)容易出錯(cuò)的主要原因有：(1)不能合理地畫出圖形、不能將所給條件轉(zhuǎn)化到三棱錐中；(2)不能將三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三棱錐的體積之和來處理.第四十八頁，共55頁。備考建議由于近幾年的高考加強(qiáng)了對幾何體體積、面積的考查，在備考時(shí)要注意：(1)加強(qiáng)對常見幾何體的有關(guān)計(jì)算的訓(xùn)練，熟練掌握常見幾何體的面積及體積的求法；(2)對于一些復(fù)雜的幾何體，要善于將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體進(jìn)行求解；(3)要重視對計(jì)算能力的訓(xùn)練與培養(yǎng)，以適應(yīng)高考的需要.第四十九頁，共55頁。1.(2011·新課標(biāo)全國卷)已知兩個(gè)圓錐有公共(gōnggòng)底面，且兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上，若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為________.第五十頁，共