./用均值不等式求最值的方法和技巧桃源縣第九中學(xué)朱梅芳均值不等式是求函數(shù)最值的一個重要工具,同時也是高考?？嫉囊粋€重要知識點。下面談?wù)勥\用均值不等式求解一些函數(shù)的最值問題的方法和技巧。一、幾個重要的均值不等式①當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,"="號成立；②當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,"="號成立；③當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,"="號成立；④,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,"="號成立.注：①注意運用均值不等式求最值時的條件：一"正"、二"定"、三"等"；②熟悉一個重要的不等式鏈：。二、用均值不等式求最值的常見的方法和技巧1、求幾個正數(shù)和的最小值。例1、求函數(shù)的最小值。解析：,當(dāng)且僅當(dāng)即時,"="號成立,故此函數(shù)最小值是。評析：利用均值不等式求幾個正數(shù)和的最小值時,關(guān)鍵在于構(gòu)造條件,使其積為常數(shù)。通常要通過添加常數(shù)、拆項〔常常是拆底次的式子等方式進行構(gòu)造。2、求幾個正數(shù)積的最大值。例2、求下列函數(shù)的最大值：①②解析：①,∴,當(dāng)且僅當(dāng)即時,"="號成立,故此函數(shù)最大值是1。②,則,欲求y的最大值,可先求y2的最大值。,當(dāng)且僅當(dāng),即時,不等式中的"="號成立,故此函數(shù)最大值是。評析：利用均值不等式求幾個正數(shù)積的最大值,關(guān)鍵在于構(gòu)造條件,使其和為常數(shù)。通常要通過乘以或除以常數(shù)、拆因式〔常常是拆高次的式子、平方等方式進行構(gòu)造。3、用均值不等式求最值等號不成立。例3、若x、y,求的最小值。解法一：〔單調(diào)性法由函數(shù)圖象及性質(zhì)知,當(dāng)時,函數(shù)是減函數(shù)。證明：任取且,則,∵,∴,則,即在上是減函數(shù)。故當(dāng)時,在上有最小值5。解法二：〔配方法因,則有,易知當(dāng)時,且單調(diào)遞減,則在上也是減函數(shù),即在上是減函數(shù),當(dāng)時,在上有最小值5。解法三：〔導(dǎo)數(shù)法由得,當(dāng)時,,則函數(shù)在上是減函數(shù)。故當(dāng)時,在上有最小值5。解法四：〔拆分法,當(dāng)且僅當(dāng)時"="號成立,故此函數(shù)最小值是5。評析：求解此類問題,要注意靈活選取方法,特別是單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法具有一般性,配方法及拆分法也是較為簡潔實用得方法。4、條件最值問題。例4、已知正數(shù)x、y滿足,求的最小值。解法一：〔利用均值不等式,當(dāng)且僅當(dāng)即時"="號成立,故此函數(shù)最小值是18。解法二：〔消元法由得,由則。當(dāng)且僅當(dāng)即時"="號成立,故此函數(shù)最小值是18。解法三：〔三角換元法令則有則,易求得時"="號成立,故最小值是18。評析：此類問題是學(xué)生求解易錯得一類題目,解法一學(xué)生普遍有這樣一種錯誤的求解方法：。原因就是等號成立的條件不一致。5、利用均值不等式化歸為其它不等式求解的問題。例5、已知正數(shù)滿足,試求、的范圍。解法一：由,則,即解得,當(dāng)且僅當(dāng)即時取"="號,故的取值范圍是。又,當(dāng)且僅當(dāng)即時取"="號,故的取值范圍是解法二：由,知,則,由,則：,當(dāng)且僅當(dāng),并求得時取"="號,故的取值范圍是。,當(dāng)且僅當(dāng),并求得時取"="號,故的取值范圍是。三、用均值不等式求最值的常見的技巧1、添、減項〔配常數(shù)項例1求函數(shù)的最小值.分析：是二項"和"的形式,但其"積"的形式不為定值.而可與相約,即其積為定積1,因此可以先添、減項6,即,再用均值不等式.當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立.所以的最小值是.評注為了創(chuàng)造條件利用均值不等式,添項是常用的一種變形技巧;為了保證式子的值不變,添項后一定要再減去同一項.2、配系數(shù)〔乘、除項例2已知,且滿足,求的最大值.分析,是二項"積"的形式,但不知其"和"的形式是否定值,而已知是與的和為定值,故應(yīng)先配系數(shù),即將變形為,再用均值不等式.當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立.所以的最大值是.評注本題是已知和為定值,要求積的最大值,可逆用均值不等式,即利用來解決.3、裂項例3已知,求函數(shù)的最小值.分析在分子的各因式中分別湊出,借助于裂項解決問題.當(dāng)且僅當(dāng),即時,取等號.所以.4、取倒數(shù)例4已知,求函數(shù)的最小值.分析分母是與的積,可通過配系數(shù),使它們的和為定值；也可通過配系數(shù),使它們的和為<這是解本題時真正需要的>.于是通過取倒數(shù)即可解決問題.解由,得,.取倒數(shù),得當(dāng)且僅當(dāng),即時,取等號.故的最小值是.5、平方例5已知且求的最大值.分析條件式中的與都是平方式,而所求式中的是一次式,是平方式但帶根號.初看似乎無從下手,但若把所求式平方,則解題思路豁然開朗,即可利用均值不等式來解決.當(dāng)且僅當(dāng),即,時,等號成立.故的最大值是.評注本題也可將納入根號內(nèi),即將所求式化為,先配系數(shù),再運用均值不等式的變式.6、換元〔整體思想例6求函數(shù)的最大值.分析可先令,進行換元,再使分子常數(shù)化,然后運用均值不等式來解決.7、逆用條件例7已知,則的最小值是〔.分析直接利用均值不等式,只能求的最小值,而無法求的最小值.這時可逆用條件,即由,得,然后展開即可解決問題.評注若已知<或其他定值>,要求的最大值,則同樣可運用此法.8、巧組合例8若且,求的最小值.分析初看,這是一個三元式的最值問題,無法利用+b來解決.換個思路,可考慮將重新組合,變成,而等于定值,于是就可以利用均值不等式了.9、消元例9、設(shè)為正實數(shù),,則的最小值是.分析本題也是三元式的最值問題.由題意得,則可對進行消元,用表示,即變?yōu)槎?然后可利用均值不等式解決問題.練習(xí)：1、試填寫兩個正整