第第頁(yè)高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷（甲卷、乙卷、新課標(biāo)I、新課標(biāo)II）3年（2023-2023）真題分類匯編-空間向量與(1)（含解析）中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)

高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷（甲卷、乙卷、新課標(biāo)I、新課標(biāo)II）3年（2023-2023）真題分類匯編-空間向量與立體幾何（多選題、填空題、雙空題）

一、多選題

1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）

A．直徑為的球體

B．所有棱長(zhǎng)均為的四面體

C．底面直徑為，高為的圓柱體

D．底面直徑為，高為的圓柱體

2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（）．

A．該圓錐的體積為B．該圓錐的側(cè)面積為

C．D．的面積為

3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（）

A．B．

C．D．

4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知正方體，則（）

A．直線與所成的角為B．直線與所成的角為

C．直線與平面所成的角為D．直線與平面ABCD所成的角為

5．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（）

A．B．

C．D．

6．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（）

A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值

B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值

C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得

D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面

二、填空題

7．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有個(gè)公共點(diǎn)．

8．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)均在半徑為2的球面上，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，則．

9．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在正方體中，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是．

10．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在正四棱臺(tái)中，，則該棱臺(tái)的體積為．

11．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為．

12．（2023·全國(guó)·高考真題）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為.

13．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為（寫出符合要求的一組答案即可）．

參考答案：

1．ABD

【分析】根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，即球體的直徑小于正方體的棱長(zhǎng)，

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的面對(duì)角線長(zhǎng)為，且，

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為，且，

所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，

如圖，過(guò)的中點(diǎn)作，設(shè)，

可知，則，

即，解得，

且，即，

故以為軸可能對(duì)稱放置底面直徑為圓柱，

若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點(diǎn)為，

可知：，則，

即，解得，

根據(jù)對(duì)稱性可知圓柱的高為，

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；

故選：ABD.

2．AC

【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性，利用二面角的知識(shí)判斷C、D選項(xiàng)的正確性.

【詳解】依題意，，，所以，

A選項(xiàng)，圓錐的體積為，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，

則，所以是二面角的平面角，

則，所以，

故，則，C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

3．CD

【分析】直接由體積公式計(jì)算，連接交于點(diǎn)，連接，由計(jì)算出，依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】

設(shè)，因?yàn)槠矫妫?，則，

，連接交于點(diǎn)，連接，易得，

又平面，平面，則，又，平面，則平面，

又，過(guò)作于，易得四邊形為矩形，則，

則，，

，則，，，

則，則，，，故A、B錯(cuò)誤；C、D正確.

故選：CD.

4．ABD

【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】如圖，連接、，因?yàn)?，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，

因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，故直線與所成的角為，A正確；

連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，

因?yàn)椋?，所以平面?/p>

又平面，所以，故B正確；

連接，設(shè)，連接，

因?yàn)槠矫妫矫?，則，

因?yàn)?，，所以平面?/p>

所以為直線與平面所成的角，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，

所以，直線與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.

故選：ABD

5．BC

【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.

【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，

對(duì)于A，如圖（1）所示，連接，則，

故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，

在直角三角形，，，故，

故不成立，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，

由正方體可得平面，而平面，

故，而，故平面，

又平面，，而，

所以平面，而平面，故，故B正確.

對(duì)于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，

故，故C正確.

對(duì)于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，

則，

因?yàn)?，故，故?/p>

所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，故，，

，，故不是直角，

故不垂直，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

6．BD

【分析】對(duì)于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；

對(duì)于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；

對(duì)于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

對(duì)于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

【詳解】

易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．

對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．

對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)?，所以，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．

故選：BD．

【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價(jià)替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi)．

7．12

【分析】根據(jù)正方體的對(duì)稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.

【詳解】不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，中點(diǎn)為，取，中點(diǎn)，側(cè)面的中心為，連接，如圖，

由題意可知，為球心，在正方體中，，

即，

則球心到的距離為，

所以球與棱相切，球面與棱只有1個(gè)交點(diǎn)，

同理，根據(jù)正方體的對(duì)稱性知，其余各棱和球面也只有1個(gè)交點(diǎn)，

所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為12.

故答案為：12

8．2

【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運(yùn)算求解.

【詳解】如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為直三棱柱，

設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，

則，可得，

設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，則，

因?yàn)椋?，解?

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問(wèn)題的求解方法

（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解；

（2）若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解；

（3）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長(zhǎng)；

（4）球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)；

（5）利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．

9．

【分析】當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)半徑最大，當(dāng)邊長(zhǎng)為的正方形是球的大圓的內(nèi)接正方形時(shí)半徑達(dá)到最小.

【詳解】設(shè)球的半徑為.

當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)，恰好經(jīng)過(guò)正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會(huì)包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒(méi)有交點(diǎn)，

正方體的外接球直徑為體對(duì)角線長(zhǎng)，即，故；

分別取側(cè)棱的中點(diǎn)，顯然四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，且為正方形的對(duì)角線交點(diǎn)，

連接，則，當(dāng)球的一個(gè)大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑達(dá)到最小，即的最小值為.

綜上，.

故答案為：

10．/

【分析】結(jié)合圖像，依次求得，從而利用棱臺(tái)的體積公式即可得解.

【詳解】如圖，過(guò)作，垂足為，易知為四棱臺(tái)的高，

因?yàn)椋?/p>

則，

故，則，

所以所求體積為.

故答案為：.

11．

【分析】方法一：割補(bǔ)法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺(tái)體的體積公式直接運(yùn)算求解.

【詳解】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，

所以正四棱錐的體積為，

截去的正四棱錐的體積為，

所以棱臺(tái)的體積為.

方法二：棱臺(tái)的體積為.

故答案為：.

12．

【分析】利用體積公式求出圓錐的高，進(jìn)一步求出母線長(zhǎng)，最終利用側(cè)面積公式求出答案.

【詳解】∵

∴

∴

∴.

故答案為：.

13．③