2022年內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市巴林右旗大板第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對邊長分別是a，b，c，設(shè)向量，，若，則角B的大小為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】相等向量與相反向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用．【分析】由，利用數(shù)量積運(yùn)算及其正弦定理、余弦定理即可得出．【解答】解：若，則（a+b）（sinB﹣sinA）﹣sinC（a+c）=0，由正弦定理可得：（a+b）（b﹣a）﹣c（a+c）=0，化為a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，∵B∈（0，π），∴B=，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了正弦定理與余弦定理的應(yīng)用、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題．2.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）等于（

）A. B. C. D.參考答案：A3.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，分子分母同時乘以，得出，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出?！驹斀狻拷猓海蔬x：A．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義。若，，，，在進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算時，分子分母同時應(yīng)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)。

4.已知集合，，那么（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D5.已知一個空間幾何體的三視圖及其寸如圖所示，則該空間幾何體的體積是()A.

B.

C．14

D．7參考答案：A6.已知等差數(shù)列{an}中，a2=7，a4=15，則前10項(xiàng)的和S10=（）A．100 B．210 C．380 D．400參考答案：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由第二項(xiàng)和第四項(xiàng)的值可以求出首項(xiàng)和公差，寫出等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，代入n=10得出結(jié)果．【解答】解：d=，a1=3，∴S10=10×3+\frac{10×9×4}{2}=210，故選B【點(diǎn)評】若已知等差數(shù)列的兩項(xiàng)，則等差數(shù)列的所有量都可以求出，只要簡單數(shù)字運(yùn)算時不出錯，問題可解．7.已知正方體的體積為1，點(diǎn)在線段上（點(diǎn)異于兩點(diǎn)），點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若平面截正方體所得的截面為四邊形，則線段的取值范圍為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B依題意，當(dāng)點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)時，由題意可知，截面為四邊形AMND1，從而當(dāng)時，截面為四邊形，當(dāng)時，截面為五邊形，故線段BM的取值范圍為，故選B.8.直線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)把圓的直徑分為兩段，則其長度之比為

（

）

A．或

B．或

C．或

D．或參考答案：B略9.設(shè)是兩個平面向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：A【分析】由，則是成立的；反之，若，而不一定成立，即可得到答案.【詳解】由題意是兩個平面向量，若，則是成立的；反之，若，則向量可能是不同的，所以不一定成立，所以是是成立的充分而不必要條件，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的概念以及向量模的概念的應(yīng)用，以及充分條件與必要條件的判定，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A、B兩點(diǎn)滿足：①點(diǎn)A、B都在函數(shù)f(x)的圖象上；②點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱點(diǎn)(A，B)是函數(shù)f(x)的一個“姊妹點(diǎn)對”．點(diǎn)對(A，B)與(B，A)可看作是同一個“姊妹點(diǎn)對”，已知函數(shù)f(x)＝，則f(x)的“姊妹點(diǎn)對”有(

)A．0個

B．1個

C．2個

D．3個參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四個關(guān)系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數(shù)組（a，b，c，d）的個數(shù)是．參考答案：6【考點(diǎn)】集合的相等．【分析】利用集合的相等關(guān)系，結(jié)合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一個是正確的，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，a=2時，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3時，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4時，b=1，c=3，d=2；∴符合條件的有序數(shù)組（a，b，c，d）的個數(shù)是6個．12.已知函數(shù)，對任意的，總存在，使，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.參考答案：略13.已知定義在上的函數(shù)，給出下列結(jié)論：①函數(shù)的值域?yàn)椋虎陉P(guān)于的方程有個不相等的實(shí)根；③當(dāng)時，函數(shù)的圖象與軸圍成的圖形的面積為,則；④存在，使得不等式成立。其中你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號為____.參考答案：①③14.函數(shù)，設(shè)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____

__．參考答案：略15.已知拋物線，過點(diǎn)任作一條直線和拋物線交于、兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，連接，并延長，分別和拋物線交于點(diǎn)和，則直線過定點(diǎn)

．參考答案：16.已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若存在x∈D，使得y=x+，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．參考答案：[﹣2，2）【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，分類化簡y=x+，然后分x＞0和x＜0兩類求出m的取值范圍，取并集得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，當(dāng)x＞0時，y=x+=x+m；當(dāng)x＜0時，y=x+=x﹣m．作出直線y=x，由圖可知，當(dāng)x＞0時，平移y=x至A，此時y=x+m的截距m最小為﹣2，向上平移y=x，可得y=x+m的截距m＜2；當(dāng)x＜0時，直線y=x+m的縱截距m∈（﹣1，2）．∴若存在x∈D，使得y=x+，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[﹣2，2）．故答案為：[﹣2，2）．17.三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽，若每人都選擇其中兩個項(xiàng)目，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是

（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18..設(shè)函數(shù)。（I）

求的值域；（II）

記的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a，b，c，若=1，b=1,c=，求a的值。參考答案：（1）值域【0,2】

（2）a=1或2

略19.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(1)求點(diǎn)的直角坐標(biāo)，并求曲線的普通方程；(2)設(shè)直線與曲線的兩個交點(diǎn)為，，求的值.參考答案：(1)由極值互化公式知：點(diǎn)的橫坐標(biāo)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以，消去參數(shù)的曲線的普通方程為：.(2)點(diǎn)在直線上，將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程得：，設(shè)其兩個根為，，所以：，，由參數(shù)的幾何意義知：.20.甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（I）若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率；（II）若從報(bào)名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率．參考答案：18．解：（I）甲校兩男教師分別用A、B表示，女教師用C表示；乙校男教師用D表示，兩女教師分別用E、F表示從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名的所有可能的結(jié)果為：（A，D）（A，E），（A，F(xiàn)），（B，D），（B，E），（B，F(xiàn)），（C，D），（C，E），（C，F(xiàn)）共9種。從中選出兩名教師性別相同的結(jié)果有：（A，D），（B，D），（C，E），（C，F(xiàn)）共4種，選出的兩名教師性別相同的概率為

（II）從甲校和乙校報(bào)名的教師中任選2名的所有可能的結(jié)果為：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F(xiàn)），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F(xiàn)），（C，D），（C，E），（C，F(xiàn)），（D，E），（D，F(xiàn)），（E，F(xiàn)）共15種，從中選出兩名教師來自同一學(xué)校的結(jié)果有：（A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（D，F(xiàn)），（E，F(xiàn)）共6種，選出的兩名教師來自同一學(xué)校的概率為

21.在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD＝4，AB＝CD＝．(Ⅰ)證明：BD⊥平面PAC；(Ⅱ)若二面角A－PC－D的大小為60°，求AP的值．

參考答案：(Ⅰ)設(shè)O為AC與BD的交點(diǎn)，作DE⊥BC于點(diǎn)E．由四邊形ABCD是等腰梯形得CE＝＝1，DE＝＝3，所以BE＝DE，從而得∠DBC＝∠BCA＝45°，所以∠BOC＝90°，即AC⊥BD．由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC．

…………4分方法一：

(Ⅱ)作OH⊥PC于點(diǎn)H，連接DH．由(Ⅰ)知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC．所以PC⊥平面DOH，從而得PC⊥OH，PC⊥DH．故∠DHO是二面角A－PC－D的平面角，所以∠DHO＝60°……8分．在Rt△DOH中，由DO＝，得OH＝．在Rt△PAC中，＝．設(shè)PA＝x，可得＝．解得x＝，即AP＝．

…………12分方法二：(Ⅱ)由(Ⅰ)知AC⊥BD．以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，如圖所示．由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：A(0，－，1)，

B(，0，0)，C(0，，0)，

D(－，0，0)．由PA⊥平面ABCD，得PA∥z軸，故設(shè)點(diǎn)P(0，－，t)(t＞0)．設(shè)m＝(x，y，z)為平面PDC的法向量，由＝(－，－，0)，＝(－，，－t)知取y＝1，得m＝(－2，1，)．………….8分又平面PAC的法向量為n＝(1，0，0)，于是|cos<m，n>|＝＝＝．解得t＝，即AP＝．

…………12分

略22.本小題滿分12分）某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)（人）302510結(jié)算時間（分鐘/人）11.522.53已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55％.（Ⅰ）確定x，y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學(xué)期望；[&%中國教育出~版網(wǎng)*#]（Ⅱ）若某顧客到達(dá)收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率.（注：將頻率視為概率）[中%#國教*育^出版網(wǎng)~]參考答案：（1）由已知,得所以該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所以收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量隨機(jī)樣本，將頻率視為概率得

的分布為

X11.522.53PX的數(shù)學(xué)期望為

.（Ⅱ）記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時間不超過