第四章根軌跡法§4-2繪制根軌跡圖的基本法則§4-3控制系統(tǒng)根軌跡的繪制§4-4控制系統(tǒng)的根軌跡法分析§4-1根軌跡法的基本概念退出返回其它章1伊萬思（W.R.Evans）提出了一種在復平面上由系統(tǒng)的開環(huán)極、零點來確定閉環(huán)系統(tǒng)極、零點的圖解方法，稱為根軌跡法。

意義：可以分析系統(tǒng)的性能，確定系統(tǒng)應有的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，也可用于校正裝置的綜合。根軌跡法是一種簡便的圖解方法，在控制工程上得到了廣泛的應用?；卣率?§4-1根軌跡法的基本概念

回章首閉環(huán)特征方程兩個根為當增益從Kg=0開始增加取不同值時，可求得相應的特征根s1，s2如表4-1所示。[引例4-1]設一隨動系統(tǒng)如圖4-1所示。閉環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)為3回章首回節(jié)首

由于系統(tǒng)的閉環(huán)極點是連續(xù)變化的，表示在s平面上即為引例系統(tǒng)的根軌跡圖如圖4-2所示。

圖中箭頭方向表示開環(huán)增益Kg增大時閉環(huán)極點移動的方向，粗實線即為開環(huán)增益Kg變化時閉環(huán)極點移動的軌跡。4回章首回節(jié)首

開環(huán)極點用“”來表示，開環(huán)零點用“o”來表示。（引例系統(tǒng)沒有開環(huán)零點）在圖4-2上，Kg＝0時為根軌跡的起點。閉環(huán)特征方程為即所以根軌跡的起點是系統(tǒng)的開環(huán)極點。5當增益Kg=0.25時，方程為方程有兩個重根s1,2=-0.5所以0≤Kg≤0.25時，閉環(huán)極點在實軸上如圖所示。當增益Kg＞0.25后，閉環(huán)極點為共軛復數(shù)根的實部為常數(shù)值-0.5，虛部隨著Kg的增大向兩邊延伸如圖所示。回章首回節(jié)首當Kg→∞時有6回章首回節(jié)首從引例系統(tǒng)的根軌跡圖可以得到，當增益變化時，特征根全部在s的左半平面，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。再之，選擇合適的增益值可以保證滿意的動態(tài)性能。引例系統(tǒng)的根軌跡圖是求解特征方程的根作出的，但是高階系統(tǒng)求根是很麻煩的。那么高階系統(tǒng)的根軌跡是如何作出的？s平面上的哪些點在根軌跡上？如何根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡圖來分析自動控制系統(tǒng)等問題就是本章要解決的問題。7一般控制系統(tǒng)一般系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖4-3所示。開環(huán)傳遞函數(shù)為(4-1)閉環(huán)傳遞函數(shù)為(4-2)回章首回節(jié)首8Kg稱為根軌跡增益，s=-zj，j=1，2，…，m為系統(tǒng)的開環(huán)零點，s=-pi，i=1，2，…，n為系統(tǒng)的開環(huán)極點。

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)以開環(huán)零、極點來表示時可以寫為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)以開環(huán)零、極點因子的環(huán)節(jié)增益歸一表達式來表示時可以寫為(4-3)(3-183)回章首回節(jié)首9根軌跡增益Kg與系統(tǒng)開環(huán)增益Ko的關(guān)系為此算式中，

(a)不計原點處的零值極點；(b)m＝0時，取1計算。(4-4)回章首回節(jié)首10用系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)Go(s)來表示，則有根軌跡方程系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為(4-5)(4-6)(4-7)控制系統(tǒng)的根軌跡

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)(例如增益Kg)變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根在復平面上變化的軌跡稱為根軌跡?；卣率谆毓?jié)首11根軌跡的條件方程

幅值方程

(4-8)幅角方程(4-9)式(4-8)與(4-9)的幅值方程與幅角方程稱為根軌跡的條件方程?；卣率谆毓?jié)首12零、極點表達式分別為(4-10)幅值方程

(4-11)幅角方程回章首回節(jié)首13s平面上的任意點s=sg，如果滿足根軌跡的幅值方程和幅角方程，則該點在根軌跡上。否則，不滿足根軌跡的幅值方程和幅角方程，根軌跡不通過s=sg點?；卣率谆毓?jié)首14控制系統(tǒng)的根軌跡圖

控制系統(tǒng)的根軌跡圖是滿足根軌跡條件方程的。在繪制根軌跡時，并不是毫無目的地在s平面上尋找滿足根軌跡條件方程的所有的s值，而是有一些基本法則可以遵循的。依據(jù)繪制根軌跡圖的一些基本法則，就可以繪制出控制系統(tǒng)的根軌跡草圖。繪制根軌跡草圖的目的:可以在根軌跡圖的基礎上來分析系統(tǒng)的性能，得到系統(tǒng)運動的基本信息，根據(jù)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(以及零點)與系統(tǒng)性能指標間的關(guān)系來分析和設計控制系統(tǒng)。

回章首回節(jié)首15§4-2繪制根軌跡圖的基本法則回章首由于根軌跡增益Kg在由0→變化時是連續(xù)變化的，所以系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根也是連續(xù)變化的，即s平面上的根軌跡是連續(xù)的。4-2-1根軌跡的連續(xù)性4-2-2根軌跡的對稱性線性定常系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的系數(shù)全部是實數(shù)，其根必為實數(shù)或共軛復數(shù)，所以s平面上的根軌跡圖是實軸對稱的。4-2-3根軌跡的分支數(shù)

n階系統(tǒng)對于任意增益值其特征方程都有n個根，所以當增益Kg在由0→變化時，在s平面有n條根軌跡，即根軌跡的分支數(shù)等于n，與系統(tǒng)的階數(shù)相等。164-2-4根軌跡的起點和終點根軌跡的起點：當Kg=0時的根軌跡點。

當Kg=0時，式(4-12)右邊為∞；

左邊必有s=-pi，i=1，2，…，n時才為∞。

所以n條根軌跡起始于系統(tǒng)的n個開環(huán)極點。由根軌跡方程(4-6)可得(4-12)根軌跡的終點：當Kg→∞時的根軌跡點，

當Kg=∞時，式(4-12)右邊為0；

左邊必有s=-zj，j=1，2，…，m時才為0。所以n條根軌跡應該終止于系統(tǒng)的n個開環(huán)零點?；卣率谆毓?jié)首17

一般情況下由于nm，所以n階系統(tǒng)只有m個有限零點，n條根軌跡中的m條根軌跡終止于m個有限零點。對于其余n-m條根軌跡，當Kg→∞時方程右邊有當Kg→∞時，有s→∞，方程左邊有即其余的n-m條根軌跡終止于無窮遠處，即終止于系統(tǒng)的n-m個無窮大零點?；卣率谆毓?jié)首184-2-5根軌跡的漸近線由上一性質(zhì)可知，若nm，則Kg→∞時，有n-m條根軌跡趨于s平面的無窮遠處。這些趨向無窮遠處根軌跡分支的方位是由漸近線確定的。下面舉例說明。jsi

設試驗點si在s平面的無窮遠處，則它到各開環(huán)極點和零點的矢量與實軸正方向的夾角可視為都是相等的，記為。這樣，m個開環(huán)零點指向si點矢量所產(chǎn)生的相角m被m個開環(huán)極點指向si點矢量所產(chǎn)生的相角-m所抵消。余下(n-m)個開環(huán)極點指向si點的矢量實質(zhì)上是一條直線，這條直線就是根軌跡的漸近線?；卣率谆毓?jié)首19漸近線只有n-m條，它對稱于實軸?？梢宰C明，漸近線與實軸的交點為

漸近線與實軸的夾角(稱為漸近線的傾斜角)為(4-15)由于相角的周期為360o，k取到n-m-1即可。-只有一個值，表明各漸近線相交于實軸上的同一點?；卣率谆毓?jié)首20[例4-2]

已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試確定根軌跡的分支數(shù)、起點和終點。若終點在無窮遠處，試確定漸近線和實軸的交點及漸近線的傾斜角。解由于n＝3，所以有3條根軌跡。

起點分別在-p1＝0，-p2＝-1和-p3=-5。由于m＝0，開環(huán)傳遞函數(shù)沒有有限值零點，

三條根軌跡的終點都在無窮遠處?；卣率谆毓?jié)首21當k=0時，1=60°；當k=1時，2=180°；當k=2時，3=300°。根軌跡的起點和三條漸近線如圖所示。其漸近線與實軸的交點-σ及傾斜角分別為回章首回節(jié)首224-2-6實軸上的根軌跡在實軸上選取實驗點si，如果實驗點si的右方實軸上的開環(huán)零點數(shù)和極點數(shù)的總和為奇數(shù)，則實驗點si所在的實驗段是根軌跡，否則該實驗段不是根軌跡。圖中，[-1,0]段和[-∞,-5]段是根軌跡。而(-5,-1)段和(0,+∞)段不是根軌跡。實軸上的根軌跡只決定于實軸上開環(huán)零、極點的分布，開環(huán)共軛復數(shù)零、極點對構(gòu)成實軸上的根軌跡沒有任何影響。實軸上的根軌跡應該是這樣的線段：在它右邊的開環(huán)實數(shù)零點和極點個數(shù)之和應為奇數(shù)?；卣率谆毓?jié)首23[例4-3]

設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試求實軸上的根軌跡。根據(jù)實軸上根軌跡的判別條件可以得到區(qū)間［-4,-1.5］右方的開環(huán)零點數(shù)和極點數(shù)總和為5，以及區(qū)間［-1,-0.5］右方的開環(huán)零點數(shù)和極點數(shù)總和為3，均為奇數(shù)。故實軸上根軌跡在上述兩區(qū)間內(nèi)如圖中粗實線所示。解

系統(tǒng)的開環(huán)零點為-0.5，開環(huán)極點為0,0(二重極點），-1，-1.5，-4，如圖4-5所示?；卣率谆毓?jié)首244-2-7根軌跡的會合點和分離點

若干條根軌跡在復平面上的某一點相遇后又分開，稱該點為分離點或會合點。

由于根軌跡的對稱性，所以分離點或會合點位于實軸上或成對共軛出現(xiàn)在復平面上。常見的分離點或會合點一般都位于實軸上。

當根軌跡分支在實軸上相交后走向復平面時，該相交點稱為根軌跡的分離點。當根軌跡分支由復平面走向?qū)嵼S上的交點時，該相交點稱為根軌跡的會合點。回章首回節(jié)首25實軸上有兩個交點A和B，A為根軌跡在實軸上的分離點，B為根軌跡在實軸上的會合點。回章首回節(jié)首26實軸分離點和會合點的判別

在分離點或會合點上，根軌跡的切線和實軸的夾角稱為分離角。分離角d與相分離的根軌跡的支數(shù)k有關(guān)，即(4-16)如果實軸上相鄰開環(huán)極點之間是根軌跡(由實軸根軌跡的判別得到)，則相鄰開環(huán)極點之間必有分離點；如果實軸上相鄰開環(huán)零點(其中一個可為無窮遠零點)之間有根軌跡，則這兩相鄰零點之間必有會合點。如果實軸上根軌跡在開環(huán)零點與極點之間，則它們中可能既無分離點也無會合點，也可能既有分離點也有會合點?；卣率谆毓?jié)首27分離點或會合點位置的計算

(1)重根法數(shù)條根軌跡在復平面上某點相遇又分開，該點必為特征方程的重根。如兩條根軌跡相遇又分開，該點為二重根。三條根軌跡相遇又分開，該點為三重根等等。重根的確定可以借助于代數(shù)重根法則?；卣率谆毓?jié)首28代數(shù)重根法則已知n次代數(shù)方程為(4-17)回章首回節(jié)首

如果方程(4-17)的n個根全部是單根，則滿足其導數(shù)方程f′(x)=0的根不是原方程f(x)=0的根。

如果方程(4-17)有二重根，則滿足其一階導數(shù)方程f′(x)=0的根仍然含有原方程f(x)=0的根。

……

如果方程(4-17)有m重根，則滿足其一階導數(shù)方程f′(x)=0的根，二階導數(shù)方程f′′(x)=0的根，……直至滿足其m-1階導數(shù)方程f(m-1)(x)=0的根，都含有原方程f(x)=0的根。29回章首回節(jié)首例如:方程有互異單根

x1＝-l，x2=-2。例如:方程有二重根xc2=2。一階導數(shù)方程的根為

x=-2/3，不是原方程f(x)=0的根。一階導數(shù)方程的一個根xc2=2仍然是原方程f(x)=0的根。30根據(jù)代數(shù)重根法則，可以計算根軌跡的分離點。其中N(s)為變量s的分子多項式，方次為m，D(s)為變量s的分母多項式，方次為n。(4-19)方程(4-19)的根即系統(tǒng)的閉環(huán)極點。(4-18)閉環(huán)特征方程可以寫為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為回章首回節(jié)首31回章首回節(jié)首計算結(jié)果是否是分離點，還要作一下判別。如計算所得的值在實軸上，那么要判別該線段是否是根軌跡。如果該線段是根軌跡，則計算結(jié)果就是分離點。否則，不是分離點，要舍去。分離點的計算公式

(4-21)根據(jù)代數(shù)重根法則，如果閉環(huán)極點為二重根，即分離點處為二重根，則有也含有方程(4-19)的根，聯(lián)立式(4-19)和式(4-20)可得(4-20)32(2)極值法由函數(shù)f(x)可以在重根處獲得極值的原理得出。則根軌跡增益為s的函數(shù)。由式(4-18)可以得到(4-22)回章首回節(jié)首其極值計算公式為(4-23)得到

(4-24)對Kg求極值的方法和重根法所得的結(jié)果是一樣的。33回章首回節(jié)首Kg具有極值和具有極值是一樣的。因此式(4-24)也可寫為或34(3)試探法分離點計算公式為式中，m，n分別為開環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點數(shù)，

d為根軌跡的分離點或會合點(書中的-d=d)?；卣率谆毓?jié)首35圖4-7繪出了4支根軌跡在實軸上分離的情況。圖4-8繪出了在復平面上有分離點的情況，復平面上的分離點是實軸對稱的?；卣率谆毓?jié)首36[加例]

設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定實軸上根軌跡和會合點的位置。

整理得解之得顯然為會合點。解

由實軸根軌跡的判別知，實軸上根軌跡位于[-2,-∞]。

由Go(s)可得，在-2與-∞之間有會合點。j-20回章首回節(jié)首37或整理得解之得顯然為會合點?；卣率谆毓?jié)首38回章首回節(jié)首解由實軸根軌跡判別可知，實軸上根軌跡位于[-0.5，-0.1]和[-，-1]區(qū)間。由根軌跡在實軸上的分離點和會合點的方程試確定實軸上根軌跡的分離點和會合點的位置。

[例4-4]

單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為由Go(s)可得39例如回章首回節(jié)首將-d1=-0.33和-d2=-1.67值的代入幅值條件計算式，可得相應的根軌跡增益，Kgd1＝0.06和Kgd2＝2.6。在區(qū)間[-0.5，-0.1]，根軌跡有分離點-d1=-0.33。在區(qū)間[-∞，-1]，根軌跡有會合點-d2=-1.67。404-2-8根軌跡的出射角和入射角

出射角：根軌跡離開共軛復數(shù)極點的出發(fā)角。入射角：根軌跡趨于共軛復數(shù)零點的終止角。根據(jù)根軌跡方程的幅角條件，可求得出射角和入射角?；卣率谆毓?jié)首41j是其他零點到該復數(shù)極點(或復數(shù)零點)的矢量幅角；i是其他極點到該復數(shù)極點(或復數(shù)零點)的矢量幅角?；卣率谆毓?jié)首根軌跡離開復數(shù)極點-px點的出射角xc

為

進入復數(shù)零點-zy的根軌跡的入射角yr為

(4-27)(4-28)42[例4-5]

設開環(huán)傳遞函數(shù)極、零點如圖4-10所示，試確定根軌跡離開共軛復數(shù)極點的出射角。解

利用公式(4-27)，由作圖可得考慮到幅角的周期性，取1c=-26.6o。同理，可得2c=+26.6o。該系統(tǒng)的根軌跡詳見例4-8?；卣率谆毓?jié)首434-2-9根軌跡與虛軸的交點

根軌跡和虛軸交點相應于系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。此時增益Kg稱為臨界根軌跡增益，用Kgp表示。

根軌跡與虛軸相交，交點坐標的ω值及相應的Kg值可按下述方法求得。

由勞斯判據(jù)求得，即

令s1行第一列元素為零，可獲得相應的臨界開環(huán)增益或臨界開環(huán)根軌跡增益；然后由s2行組成的輔助方程式可獲得與虛軸的交點。

也可在特征方程中令s=jω，然后使特征方程的實部和虛部分別為零求得?；卣率谆毓?jié)首44解閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為

即[例4-6]

設開環(huán)傳遞函數(shù)為

試求根軌跡和虛軸的交點，并計算臨界增益。當Kg=Kgp時，根軌跡和虛軸相交，令s=j代入，則特征方程為回章首回節(jié)首45上式分解為實部和虛部，并分別等于零，即

解得ω=0，，相應Kgp=0，6Kgp＝0時，為根軌跡起點。Kgp＝6時，根軌跡和虛軸相交，交點坐標為Kgp＝6為臨界根軌跡增益?？梢杂嬎愠雠R界開環(huán)增益為回章首回節(jié)首46也可利用勞斯判據(jù)確定Kgp和ω值，可列出勞斯陣為當勞斯陣s1行等于0時，特征方程出現(xiàn)共軛虛根。令s1行等于0，則得共軛虛根值可由s2行的輔助方程求得即回章首回節(jié)首474-2-10閉環(huán)系統(tǒng)極點之和與閉環(huán)系統(tǒng)極點之積回章首回節(jié)首系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(4-29)式中48回章首回節(jié)首設系統(tǒng)的閉環(huán)極點為-s1，-s2，…，-sn，則(a)

當n-m≥2時，閉環(huán)系統(tǒng)極點之和等于開環(huán)系統(tǒng)極點之和且為常數(shù)，即上式表明，隨著Kg的增加(或減小)，一些閉環(huán)系統(tǒng)極點在復平面上向右移動，另一些閉環(huán)系統(tǒng)極點必向左移動。對應于任一Kg值，閉環(huán)系統(tǒng)極點之和保持不變。將上兩式比較，可得如下結(jié)論：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為49

利用上述結(jié)論也可以估計Kg增大(或減小)時根軌跡的走向。(b)

閉環(huán)極點之積和開環(huán)零極點具有如下關(guān)系

對應于某一Kg值，若已求得閉環(huán)系統(tǒng)的某些極點，則利用上述結(jié)論可求出其他極點。當開環(huán)系統(tǒng)具有等于零的極點時(即a0=0)，則有(4-33)即閉環(huán)極點之積和根軌跡增益成正比?；卣率谆毓?jié)首50綜上所述，在給出開環(huán)零、極點的情況下，利用以上性質(zhì)可以迅速地確定根軌跡的大致形狀。為準確地繪出系統(tǒng)的根軌跡，可根據(jù)幅角條件利用試探法確定若干點。一般來說靠近虛軸和原點附近的根軌跡是比較重要的，應盡可能精確繪制。回章首回節(jié)首51§4-3控制系統(tǒng)根軌跡的繪制

回章首綜合應用第二節(jié)講述的繪制根軌跡圖的一些基本規(guī)則，可以繪制出控制系統(tǒng)的根軌跡草圖。草圖繪出后，再根據(jù)幅角條件選擇一些試驗點作一些修正，就可以得到滿意的根軌跡圖。524-3-1單回路負反饋系統(tǒng)的根軌跡繪制根軌跡的大致步驟如下：確定實軸上的根軌跡；確定開環(huán)共軛復數(shù)極點(或復數(shù)零點)的出射角(或入射角)；確定實軸上的根軌跡的分離點和會合點；確定根軌跡漸近線,確定漸近線與實軸的交點和交角；確定根軌跡與虛軸的交點，通?？捎脛谒古袚?jù)；按根軌跡的起點、終點、分支數(shù)和對稱等原則，根據(jù)上面的步驟，可作出根軌跡草圖。應用幅角方程，以草圖為依據(jù)找出一些關(guān)鍵的點，用以完善整個根軌跡曲線。關(guān)鍵點在虛軸和原點附近。按幅角方程，用圖解試探法可得到上述一些關(guān)鍵點的值。按幅值方程算出某點相應的開環(huán)根軌跡增益Kg的值?；卣率谆毓?jié)首53[加例]

設一系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的根軌跡圖，并確定使系統(tǒng)的一對閉環(huán)主導共軛極點的阻尼比=0.5的Ko值(此Ko為開環(huán)增益)。解

繪制根軌跡圖的步驟如下：(1)確定根軌跡的起點、終點及分支數(shù)Go(s)的極點為0，-1，-2，無有限零點。

起點由0，-1，-2

開始，終點在無限零點(無窮遠處)，有3條根軌跡分支。(2)確定實軸上的根軌跡在區(qū)間[-1，0]，(-，-2]?；卣率谆毓?jié)首54(3)確定實軸上根軌跡的分離點整理得因，所以分離點為。解之得

如果方程式的次數(shù)3，則在范圍內(nèi)可采用圖解試探法求d。回章首回節(jié)首55(4)確定根軌跡的漸近線確定漸近線與實軸的交角為確定漸近線與實軸的交點為回章首回節(jié)首56(5)確定根軌跡與虛軸的交點——利用勞斯判據(jù)確定可列出勞斯陣為令勞斯陣s1行等于0，則得由s2行的輔助方程式閉環(huán)特征方程式為可求得根軌跡與虛軸的交點為根軌跡在處與虛軸的交點，開環(huán)臨界增益Kop=3回章首回節(jié)首57根據(jù)上面的步驟，可作出根軌跡草圖，如圖所示。回章首回節(jié)首58(6)應用幅角方程，以草圖為依據(jù)找出一些關(guān)鍵的點，作出完善的根軌跡圖。(7)根據(jù)幅值方程，算出各根軌跡分支相應點的Ko值。繼續(xù)上述過程，直到找出足夠數(shù)量的滿足幅角方程的點為止，然后作出完善的根軌跡圖。

在虛軸和原點附近選取一些試驗點，按幅角方程，如果此試驗點在根軌跡上，則相角之和否則，另選試驗點，直到滿足方程為止。j-2si123-10回章首回節(jié)首59(8)確定阻尼比=0.5的一對閉環(huán)主導共軛極點

=0.5的一對閉環(huán)極點位于通過原點且與負實軸夾角為的直線上。這一對閉環(huán)極點相對應的Ko值為由圖可看出，當=0.5時，這一對閉環(huán)極點為回章首回節(jié)首60[例4-7]

設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的根軌跡?；卣率谆毓?jié)首解

繪制根軌跡圖的步驟如下：(1)根軌跡共有2支。起點在開環(huán)極點s＝-0.1，-0.5，終點一支根軌跡在s＝-1，另一支沿負實軸趨向無窮遠處。(2)實軸上的根軌跡在區(qū)間(-，-1]，[-0.5，-0.1]。(3)根軌跡在實軸的分離點和會合點已在例4-4中求得分離點坐標為，Kgd1＝0.06；會合點坐標為，Kgd2＝2.6。61(4)復平面上的根軌跡是圓（證明見教材）。此圓與實軸的交點就是根軌跡在實軸上的分離點和會合點，完整的根軌跡如圖4-11所示。回章首回節(jié)首62解繪制步驟如下：

(1)求得系統(tǒng)的開環(huán)共軛復數(shù)極點為-1±j。(2)根軌跡共有4條，

起點在開環(huán)極點0，-3，-1±j，

終點一條根軌跡終止于開環(huán)零點-2，其余3條終止于無窮遠處。[例4-8]

設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制系統(tǒng)的根軌跡。回章首回節(jié)首63漸近線傾角為當k=0，1，2時分別得傾斜角為60o，180o，300o。(5)實軸上無分離點和會合點。(6)根軌跡離開復數(shù)極點-1±j的出射角，已在例4-5中求得為±26.6o。(4)實軸上根軌跡在區(qū)間(-，-3]和[-2，0]。j-20-3(3)根軌跡的漸近線與實軸的交點為回章首回節(jié)首64列出勞斯陣為(7)計算根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為回章首回節(jié)首65相應的ω值由s2行系數(shù)組成的輔助方程確定，即由于Kg＞0，若勞斯陣第一列的s1行等于零，則系統(tǒng)具有共軛虛根。即當可解得Kg＝7.0可得=±1.6解得回章首回節(jié)首66完整的根軌跡圖如圖4-12所示。回章首回節(jié)首67注意：對于非單位反饋系統(tǒng)如圖4-13(a)所示，

若G(s)的分母和H(s)分子中含有公共因子，則將會出現(xiàn)極點和零點的相消，導致特征方程階數(shù)下降。舉例說明。開環(huán)傳遞函數(shù)為回章首回節(jié)首68例如：設系統(tǒng)如下圖(a)所示，可見，開環(huán)極點s=-1和開環(huán)零點s=-1互相抵消。其中回章首回節(jié)首69

由于Go(s)的開環(huán)極點、零點互相抵消，其組成的閉環(huán)特征方程式為

由上式可見，此閉環(huán)特征方程式消去了因子(s+1)，亦即為消掉了s=-1的根。

顯然，由Go(s)作出的根軌跡圖，不能表示圖(a)的閉環(huán)特征方程式的全部根，只表示開環(huán)零、極點相互抵消后的根。閉環(huán)特征方程式為回章首回節(jié)首70系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為以開環(huán)傳遞函數(shù)Go(s)繪制根軌跡可以得到單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點，因Go(s)極、零點相消所引起極點的減少將由的極點來補充，從而得到閉環(huán)系統(tǒng)的全部極點。

這時，應將圖4-13(a)的一般系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換為圖(b)所示的單位反饋形式。回章首回節(jié)首71圖4-14繪出了常見的一些負反饋系統(tǒng)的零、極點分布及相應的根軌跡圖。j0回章首回節(jié)首72

對于最小相角系統(tǒng)，如果開環(huán)極點比開環(huán)有限零點多三個或三個以上，則必定存在一個開環(huán)臨界增益，當增益值超過此值時，根軌跡將進入s平面的右半部，系統(tǒng)將變?yōu)椴环€(wěn)定的。

最小相角傳遞函數(shù)：對在s平面右半部沒有極點和零點的傳遞函數(shù)稱為~。

非最小相角傳遞函數(shù)：在s平面右半部具有極點和(或)零點的傳遞函數(shù)稱為~。

最小相角系統(tǒng)：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是最小相角傳遞函數(shù)稱為~。

非最小相角系統(tǒng)：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是非最小相角傳遞函數(shù)稱為~。回章首回節(jié)首73§4-4控制系統(tǒng)的根軌跡法分析

(1)由給定參數(shù)確定閉環(huán)系統(tǒng)零、極點的位置，以確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(2)計算系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。(3)根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參數(shù)等?；卣率?/p>

根軌跡法分析是根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖后，利用根軌跡圖來對系統(tǒng)進行性能分析的分析方法。它包括：744-4-1條件穩(wěn)定系統(tǒng)的分析

解

利用繪制根軌跡的法則（過程從略）可繪出K從0變化到時系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。[例4-12]設某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制根軌跡圖，并討論使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍。

由圖可見，當0＜K＜14及64＜K＜195時，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的；但當14＜K＜64及K＞195時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的?；卣率谆毓?jié)首75回章首回節(jié)首

參數(shù)在一定的范圍內(nèi)取值才能使系統(tǒng)穩(wěn)定，這樣的系統(tǒng)叫條件穩(wěn)定系統(tǒng)。

條件穩(wěn)定系統(tǒng)可由根軌跡圖確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍。在右半平面的極點是（1,0）。因此，必有一部分根軌跡在右半平面，它也是一種條件穩(wěn)定系統(tǒng)。

對于非最小相位系統(tǒng)，在右半s平面上具有零點或極點，例如條件穩(wěn)定系統(tǒng)的工作性能往往不能令人滿意。在工程實際上，應注意參數(shù)的選擇或通過適當?shù)男Ｕ椒ㄏ龡l件穩(wěn)定問題。

764-4-2瞬態(tài)性能分析和開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)的確定

例如，典型的二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為當變化時,作出系統(tǒng)根軌跡如圖4-29。閉環(huán)極點的張角，稱為阻尼角。閉環(huán)系統(tǒng)的極點為和有確定的關(guān)系為利用根軌跡法可清楚地看到開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益或其他參數(shù)改變時，閉環(huán)系統(tǒng)極點位置及其動態(tài)性能的改變情況?；卣率谆毓?jié)首77根據(jù)二階系統(tǒng)超調(diào)量Mp和的關(guān)系可求得Mp和β的關(guān)系，如圖4-30所示。

用根軌跡法分析二階系統(tǒng)時，可由閉環(huán)系統(tǒng)的極點的張角β確定系統(tǒng)的超調(diào)量Mp。

也可根據(jù)調(diào)節(jié)時間ts和n的近似關(guān)系式，由閉環(huán)系統(tǒng)極點的實部-確定調(diào)節(jié)時間ts?；卣率谆毓?jié)首78對于二階系統(tǒng)（及具有共軛復數(shù)主導極點的高階系統(tǒng)）通?？筛鶕?jù)性能指標的要求，在復平面上畫出滿足這一要求的閉環(huán)系統(tǒng)極點（或高階系統(tǒng)主導極點）應在的區(qū)域，如圖4-31所示。回章首回節(jié)首79因為超調(diào)量Mp只與有關(guān)，所以

極點位于等線上的系統(tǒng)，具有相同的超調(diào)量Mp，

極點位于區(qū)域的系統(tǒng)，因角小了，大，Mp減小。等線與等ts線

等線因為若在s平