第7章立體幾何立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題主要包括：空間動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，求軌跡長度及動(dòng)角的范圍及涉及的知識(shí)點(diǎn)，多年來是復(fù)習(xí)的難點(diǎn)．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡(長度)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E為棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)M在正方形BCC1B1內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且直線AM∥平面A1DE，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡長度為()A．eq\f(π,4)B．eq\r(2)C．2D．πB解析：以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(2,0,2)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0,2,1)，則平面A1DE的一個(gè)法向量為n＝(2,1，－2)．設(shè)M(x,2，z)，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x－2,2，z)．由eq\o(AM,\s\up6(→))·n＝0，得2(x－2)＋2－2z＝0?x－z＝1，故點(diǎn)M的軌跡為以BC，BB1的中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段，長為eq\r(12＋12)＝eq\r(2).故選B.已知邊長為1的正方形ABCD與CDEF所在的平面互相垂直，點(diǎn)P，Q分別是線段BC，DE上的動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn))PQ＝eq\r(2).設(shè)線段PQ的中點(diǎn)的軌跡為s，則s的長度為()A．eq\f(π,4)B．eq\f(π,2)C．eq\f(\r(2),2)D．2A解析：如圖，以DA，DC，DE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)P(m,1,0)(0≤m≤1)，Q(0,0，n)(0≤n≤1)，M(x，y，z)．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式易知x＝eq\f(m,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(n,2)，即m＝2x，n＝2z.①因?yàn)閨PQ|＝eq\r(m2＋n2＋1)＝eq\r(2)，所以m2＋n2＝1，②把①代入②得，4x2＋4z2＝1.即x2＋z2＝eq\f(1,4).因?yàn)?≤m≤1,0≤n≤1，所以0≤x≤eq\f(1,2)，0≤z≤eq\f(1,2).所以PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋z2＝\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(1,2)，0≤z≤\f(1,2)))，,y＝\f(1,2).))軌跡s為在垂直于y軸的平面內(nèi)，半徑為eq\f(1,2)的四分之一圓周．所以s的長度為eq\f(1,4)×2π×eq\f(1,2)＝eq\f(π,4).故選A．求線段的范圍問題在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，正四面體P-ABC的頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上移動(dòng)．若該正四面體的棱長是2，則|OP|的取值范圍是()A．[eq\r(3)－1，eq\r(3)＋1] B．[1,3]C．[eq\r(3)－1,2] D．[1，eq\r(3)＋1]A解析：如圖所示，若固定正四面體P-ABC的位置，則原點(diǎn)O在以AB為直徑的球面上運(yùn)動(dòng)．設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則PM＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，所以原點(diǎn)O到點(diǎn)P的最近距離等于PM減去球M的半徑，最大距離是PM加上球M的半徑，所以eq\r(3)－1≤|OP|≤eq\r(3)＋1，即|OP|的取值范圍是[eq\r(3)－1，eq\r(3)＋1]．故選A．設(shè)點(diǎn)M是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面BCC1B1所在的平面內(nèi)．若平面D1PM分別與平面ABCD和平面BCC1B1所成的銳二面角相等，則點(diǎn)P與點(diǎn)C1的最短距離是()A．eq\f(2\r(5),5)B．eq\f(\r(2),2)C．1D．eq\f(\r(6),3)A解析：設(shè)P在平面ABCD上的射影為P′，M在平面BB1C1C上的射影為M′，平面D1PM與平面ABCD和平面BCC1B1所成的銳二面角分別為α，β，則cosα＝eq\f(S△DP′M,Seq\s\do3(△D1PM))，cosβ＝eq\f(Seq\s\do3(△PM′C1),Seq\s\do3(△D1PM)).因?yàn)閏osα＝cosβ，所以S△DP′M＝Seq\s\do3(△PM′C1)設(shè)P到C1M′距離為d，則eq\f(1,2)×eq\r(5)×d＝eq\f(1,2)×1×2，d＝eq\f(2\r(5),5)，即點(diǎn)P到C1的最短距離為eq\f(2\r(5),5).求角的最值問題如圖，平面ACD⊥α，B為AC的中點(diǎn)，|AC|＝2，∠CBD＝60°，P為α內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線BD的距離為eq\r(3)，則∠APC的最大值為()A．30°B．60°C．90°D．120°B解析：因?yàn)辄c(diǎn)P到直線BD的距離為eq\r(3)，所以空間中到直線BD的距離為eq\r(3)的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓柱面，它和平面α相交得一橢圓，即點(diǎn)P在α內(nèi)的軌跡為一個(gè)橢圓，B為橢圓的中心，b＝eq\r(3)，a＝eq\f(\r(3),sin60°)＝2，則c＝1，所以A，C為橢圓的焦點(diǎn)．因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)關(guān)于兩焦點(diǎn)的張角在短軸的端點(diǎn)取得最大值，所以∠APC的最大值為60°.故選B.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，且BM∥平面ACD1，則tan∠DMD1的最大值為()A．eq\f(\r(2),2)