北京市西城區(qū)九年級數(shù)學上冊期末試卷

（含答案）

（時間：120分鐘滿分：100分）

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下列各題均有四個選項，

其中只有一個是符合題意的.

1.如果白，那么呼的結(jié)果是（）

A.-aB,-1C.|D.1

2.將拋物線y=x2的圖象向上平移3個單位后得到新的圖象，那么新

圖象的表達式是（）

A.y=（x-3）*B.y=（x+3）2C.y=x2-3D.y=x2+3

3.如圖，NDCE是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個外角，如果NDCE=75°,

那么NBAD的度數(shù)是（）

A.65°B.75°C.85°D.105°

4.在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（4,-3）,如果射線

0A與x軸正半軸的夾角為a,那么Na的正弦值是（）

5.右圖是某個幾何體，它的主視圖是（)

6.已知AABC,AC=3,CB=4,以點C為圓心r為半徑作圓，如果點A、

點B只有一個點在圓內(nèi)，那么半徑r的取值范圍是（）

A.r>3B.r24C.3VrW4D.3WrW4

7.一個不透明的盒子中裝有20張卡片，其中有5張卡片上寫著“三

等獎”；3張卡片上寫著“二等獎”，2張卡片上寫著“一等獎”，

其余卡片寫著“謝謝參與”，這些卡片除寫的字以外，沒有其他差別，

從這個盒子中隨機摸出一張卡片，能中獎的概率為（）

A-2B-I。?亮D-W

8.李師傅一家開車去旅游，出發(fā)前查看了油箱里有50升油，出發(fā)后

先后走了城市路、高速路、山路最終到達旅游地點，下面的兩幅圖分

別描述了行駛里程及耗油情況，下面的描述錯誤的是（）

A.此車一共行駛了210公里

B.此車高速路一共用了12升油

C.此車在城市路和山路的平均速度相同

D.以此車在這三個路段的綜合油耗判斷50升油可以行駛約525

公里

二、填空題(本題共16分，每小題2分)

9.二次函數(shù)y=-3X2+5X+1的圖象開口方向.

10.已知線段AB=5cm,將線段AB以點A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°

得到線段AB',則點B、點B,的距離為.

11.如圖，在平面直角坐標系xOy中有一矩形，頂點坐標分別為(1,

1)、(4,1)、(4,3)、(1,3),有一反比例函數(shù)y=k(kWO)它的圖

X

象與此矩形沒有交點，該表達式可以為.

12.如圖，在aABC中，DE分另IJ與AB、AC相交于點D、E,且DE〃BC,

13.如圖，在aABC中,ZA=60°,。。為^ABC的外接圓.如果BC=2

加,那么。。的半徑為.

14.下圖是某商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖，其中AB、CD

分別表示一樓、二樓地面的水平線，ZABC=150°,BC的長是8m,

則乘電梯次點B到點C上升的高度h是m.

15.如圖，在平面直角坐標系xOy中，圖形Lz可以看作是由圖形L

經(jīng)過若干次圖形的變化(平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱)得到的，寫出一

種由圖形L得到圖形L2的過程.

16.下面是“作已知圓的內(nèi)接正方形”的尺規(guī)作圖過程.

已知：。0.

求作：。。的內(nèi)接正方形.

作法：如圖，

(1)作。0的直徑AB；

(2)分別以點A,點B為圓心，大于看AB的長為半徑作弧，兩弧分

別相交于M、N兩點；

（3）作直線MN與。0交于C、D兩點，順次連接A、C、B、D.即四

邊形ACBD為所求作的圓內(nèi)接正方形.

請回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是.

C

三、解答題（本題共68分,第17-22題，每小題5分，第23-26題,

每小題6分，第27,28題，每小題7分）解答應寫出文字說明、演算

步驟或證明過程.

17.已知：q=&.求：—.

b3b

18.計算：2cos300-4sin45°+x/8.

19.已知二次函數(shù)尸第一2『3.

（1）將y=x-2x-3化成y=a（x—力）'+k的形式；

（2）求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標.

2。.如圖，在△板中’N方為銳角，止3日降7…隆冬

A

求〃1的長.

BC

21.如圖，在四邊形力比7?中，AD//BC,四，比；點/在/〃上，49=1,

A序2,BO3,止1.5.

求證：/%法90°.

22.下面是小東設計的“在三角形一邊上求作一個點，使這點和三角

形的兩個頂點構(gòu)成的三角形與原三角形相似”的尺規(guī)作圖過程.

已知：比：

求作:在a'邊上求作一點P,使得△用0一△/比;

H

作法:如圖,

①作線段AC的垂直平分線GH；

②作線段AB的垂直平分線EF,交GH于點0；

③以點。為圓心，以0A為半徑作圓；

④以點C為圓心，CA為半徑畫弧，交。。于點D(與點A不重合);

⑤連接線段AD交BC于點P.

所以點P就是所求作的點.

根據(jù)小東設計的尺規(guī)作圖過程，

(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明.

證明：：CD=AC,

/.CD=.

.,.z=z.

又???/=/,

:.XPACSXABC()(填推理的依據(jù)).

6-

5-

4-

23.在平面直角坐標系x勿中，直線y=x+23-

,2-

與雙曲線＞=人相交于點4(勿，3).1.

X

⑴求反比例函數(shù)的表達式；-4-3-2-\O12

(2)畫出直線和雙曲線的示意圖；二：

(3)若尸是坐標軸上一點，當力=為時.]

—6-

直接寫出點尸的坐標.

24.如圖，45是°。的直徑，過點6作OO的切線8%點A,C,D分

別為O。的三等分點，連接4C,AD,DC,延長助交剛于點￡

CD交AB于點F.M

(1)求證：CD/IBM；

(2)連接陽若DE=m,求△〃陽的周長.

25.在如圖所示的半圓中，P是直徑上一動點，過點P作PC±AB

于點P,交半圓于點G連接〃:已知/廬6cm,設兒戶兩點間的距離

為xcm,P,。兩點間的距離為ycm,A,。兩點間的距離為%cm.

小聰根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，分別對函數(shù)力，%隨自變量x的變化而變

化的規(guī)律進行了探究.

下面是小聰?shù)奶骄窟^程，請補充完整:

(1)按照下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量，分別得到了

力，%與X的幾組對應值;

x/cm0123456

Xi/cm02.242.832.832.240

%/cm02.453.464.244.905.486

(2)在同一平面直角坐標系xOy中，描出補全后的表中各組數(shù)值所

對應的點(x,%),

(X，%),并畫出函數(shù)必，%的圖象；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：當△/尸。有一個角是30°時，/尸的

長度約為cm.

26.在平面直角坐標系xOy中，拋物線丫=加+2以+c(其中c為常

數(shù)，且〃<0)與x軸交于點A(-3,O),與y軸交于點B,此拋物線

頂點C到x軸的距離為4.

(1)求拋物線的表達式；

(2)求/c鉆的正切值；

(3)如果點尸是X軸上的一點，且Z4BP=NC4O,直接寫出點P的坐

27.在菱形/仇力中，ZADC=60°,如是一條對角線，點〃在邊切

上(與點C,〃不重合),連接/R平移AWP,使點〃移動到點C,

得到MCQ,在BD上取一點H,使HQ=HD,連接〃。，AH,PH.

(1)依題意補全圖1；

(2)判斷4〃與方的數(shù)量關(guān)系及4處的度數(shù)，并加以證明；

(3)若ZA//Q=141。，菱形/a笫的邊長為1,請寫出求加長的思路.

(可以不寫出計算結(jié)果)

圖1備用圖

28.在平面直角坐標系xOy中，點A(x,0),B(x,y),若線段AB

上存在一點。滿足彩斗則稱點。是線段四的“倍分點”.

(1)若點力(b0),力廬3,點0是線段48的“倍分點”.

①求點0的坐標;

②若點力關(guān)于直線尸x的對稱點為A，,當點B在第一象限時,

求徐

(2)的圓心7(0,t),半徑為2,點0在直線y=*x上，QT

上存在點氏使點0是線段4夕的“倍分點”，直接寫出力的取值范圍.

oi

答案

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下列各題均有四個選項，

其中只有一個是符合題意的.

1.如果言->,那么呼的結(jié)果是（）

b3b

A-■2B*~3C-ID-2

【分析】根據(jù)合分比例性質(zhì)，可得答案.

【解答】解：由合分比性質(zhì)，得

a-b_2-3_1

石一亍一—~39

故選：B.

【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，利用合分比性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.將拋物線y=x2的圖象向上平移3個單位后得到新的圖象，那么新

圖象的表達式是（）

A.y=（x-3）?B.y=（x+3）'C.y=x2-3D.y=x2+3

【分析】根據(jù)“上加下減”的原則進行解答即可.

【解答】解:將拋物線y=x2的圖象向上平移3個單位后得到新的圖象,

那么新圖象的表達式是y=x2+3,

故選：D.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平

移的法則是解答此題的關(guān)鍵.

3.如圖，NDCE是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個外角，如果NDCE=75°,

那么NBAD的度數(shù)是（)

A.65°B.75°C.85°D.105°

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)

對角即可解答.

【解答】解：?.?四邊形ABCD內(nèi)接于。0,

.\ZBAD=ZDCE=75°,

故選：B.

【點評】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟記圓內(nèi)接四邊形的外角

等于它的內(nèi)對角是解題的關(guān)鍵.

4.在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（4,-3）,如果射線

0A與x軸正半軸的夾角為a,那么Na的正弦值是（）

A.|B.4C.|D.4

5453

【分析】畫出圖形，根據(jù)直角三角形的解法解答即可.

過A點作AB_Lx軸,

在RtAOAB中，0A=V42+32=5,

???人的正弦值喂《

故選：A.

【點評】此題考查解直角三角形的問題，關(guān)鍵是畫出圖形，利用勾股

定理解答.

5.右圖是某個幾何體，它的主視圖是（）

【分析】主視圖是從物體正面看，所得到的圖形.

【解答】解：從幾何體的正面看可得等腰梯形，

故選：C.

【點評】本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關(guān)鍵.注意所有

的看到的棱都應表現(xiàn)在三視圖中.

6.已知△ABC,AC=3,CB=4,以點C為圓心r為半徑作圓,如果點A、

點B只有一個點在圓內(nèi)，那么半徑r的取值范圍是（）

A.r>3B.r24C.3（rW4D.3WrW4

【分析】由于AC=3,CB=4,當以點C為圓心r為半徑作圓，如果點A、

點B只有一個點在圓內(nèi)時，那么點A在圓內(nèi)，而點B不在圓內(nèi).當

點A在圓內(nèi)時點A到點C的距離小于圓的半徑，點B在圓上或圓

外時點B到圓心的距離應該不小于圓的半徑，據(jù)此可以得到半徑

的取值范圍.

【解答】解：當點A在圓內(nèi)時點A到點C的距離小于圓的半徑，即:

r>3；

點B在圓上或圓外時點B到圓心的距離應該不小于圓的半徑，即：r

W4；

即3<rW4.

故選：C.

【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確半徑的大

小與位置關(guān)系的關(guān)系.

7.一個不透明的盒子中裝有20張卡片，其中有5張卡片上寫著“三

等獎”；3張卡片上寫著“二等獎”，2張卡片上寫著“一等獎”，

其余卡片寫著“謝謝參與”，這些卡片除寫的字以外，沒有其他

差別，從這個盒子中隨機摸出一張卡片，能中獎的概率為（）

A-2B-IC-20D-W

【分析】能中獎的卡片有5+3+2=10張，根據(jù)概率公式計算即可.

【解答】解：能中獎的卡片有5+3+2=10張，

，能中獎的概率=瑞=*,

故選：A.

【點評】本題考查了概率的求法；用到的知識點為：概率=所求情況

數(shù)與總情況數(shù)之比.

8.李師傅一家開車去旅游，出發(fā)前查看了油箱里有50升油，出發(fā)后

先后走了城市路、高速路、山路最終到達旅游地點，下面的兩幅

圖分別描述了行駛里程及耗油情況，下面的描述錯誤的是（）

A.此車一共行駛了210公里

B.此車高速路一共用了12升油

C.此車在城市路和山路的平均速度相同

D.以此車在這三個路段的綜合油耗判斷50升油可以行駛約525

公里

【分析】找準幾個關(guān)鍵點，走了城市路、高速路、山路最終到達旅游

地點進行分析解答即可.

【解答】解：A、此車一共行駛了210公里，正確；

B、此車高速路一共用了45-33=12升油，正確；

C、此車在城市路的平均速度是30km/h,山路的平均速度是等普

3一2.D

=60km/h,錯誤；

D、以此車在這三個路段的綜合油耗判斷50升油可以行駛約525公里,

正確；

故選：C.

【點評】本題考查了函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)圖

象橫縱坐標表示的意義，理解問題的過程，就能夠通過圖象得到

函數(shù)問題的相應解決.

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.二次函數(shù)y=-3X2+5X+1的圖象開口方向向下

【分析】由拋物線解析式可知，二次項系數(shù)a=-3<0,可知拋物線

開口向上.

【解答】解：???二次函數(shù)y=-3X2+5X+1的二次項系數(shù)a=-3<0,

，拋物線開口向下.

故答案為：向下.

【點評】本題考查了拋物線的開口方向與二次項系數(shù)符號的關(guān)系.當

a>0時，拋物線開口向上，當a<0時，拋物線開口向下.

10.已知線段AB=5cm,將線段AB以點A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°

得到線段AB',則點B、點B'的距離為5亞cm.

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到NBAB'=90°,BA=BA'=5cm,根

據(jù)勾股定理計算即可.

【解答】解:由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，NBAB'=90°,BA=BA/=5cm,

由勾股定理得，BB'=廬討=5后，

故答案為：5&cm.

【點評】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)：

對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾

角等于旋轉(zhuǎn)角.

11.如圖，在平面直角坐標系xOy中有一矩形，頂點坐標分別為（1,

1）、（4,1）、（4,3）、（1,3）,有一反比例函數(shù)y=K（kWO）它

X

的圖象與此矩形沒有交點，該表達式可以為尸比.

----------X-------

【分析】找出經(jīng)過（1,1）與（4,3）兩點的反比例函數(shù)k的值，根

據(jù)反比例與矩形沒有交點確定出k的范圍，寫出一個滿足題意的

解析式即可.

【解答】解：當反比例函數(shù)圖象經(jīng)過（1,1）時，k=l,

當反比例函數(shù)經(jīng)過（4,3）時，k=12,

...反比例函數(shù)（kN。）它的圖象與此矩形沒有交點,

反比例函數(shù)k的范圍是kVl或k>12且kWO,

則該表達式可以為y小

故答案為一中

【點評】此題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，以及矩形的性

質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.

12.如圖,在AABC中，DE分別與AB、AC相交于點D、E,且DE〃BC,

如果黑號那么吃

【分析】由DE〃BC可得出△ADEs^ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)

合黑即可求出界的值.

UDJDL

【解答】解：?.?DE〃BC,

，AADE^AABC,

?DE_AD_2=2

..而一廟一而下

故答案為：

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)黑［找出黑的

UDoAD

值是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在AABC中，ZA=60°,。。為AABC的夕卜接圓.如果BC=2

那么。。的半徑為2.

【分析】連接OC、0B,作ODLBC,利用圓心角與圓周角的關(guān)系得出

ZB0C=120°,再利用含30°的直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：連接0C、0B,作ODLBC,

VZA=60°,

.*.ZB0C=120o,

ZD0C=60°,Z0DC=90°,

DC_V3

?,?0C也近W

~2F

故答案為：2.

【點評】此題考查三角形的外接圓與外心，關(guān)鍵是利用圓心角與圓周

角的關(guān)系得出NB0C=120°.

14.下圖是某商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖，其中AB、CD

分別表示一樓、二樓地面的水平線，NABC=150°,BC的長是8m,

則乘電梯次點B到點C上升的高度h是4m.

【分析】過C作CEJ_AB,交AB的延長線于E,在Rt^BCE中，易求

得NCBE=30°,已知了斜邊BC為8m,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可

求出CE的長，即h的值.

【解答】解：過C作CEJ_AB,交AB的延長線于E；

在Rt^CBE中，ZCBE=180°-NCBA=30°；

已知BC=8m,則CE=yBC=4m,即h=4m.

【點評】正確地構(gòu)造出直角三角形，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求解,

是解決此題的關(guān)鍵.

15.如圖，在平面直角坐標系xOy中，圖形Lz可以看作是由圖形L

經(jīng)過若干次圖形的變化(平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱)得到的，寫出一

種由圖形L得到圖形Lz的過程由圖形L繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90°,

并向左平移7個單位得到圖形L.

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)即可解決問題；

【解答】解：圖形L2可以看作是由圖形L繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90。，

并向左平移7個單位得到圖形L2.

故答案為：由圖形L繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90。，并向左平移7個單位

得到圖形L

【點評】考查了坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，平移，對稱，解題的關(guān)鍵是

理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

16.下面是“作已知圓的內(nèi)接正方形”的尺規(guī)作圖過程.

已知：。0.

求作：。。的內(nèi)接正方形.

作法：如圖，

(1)作。0的直徑AB；

(2)分別以點A,點B為圓心，大于看AB的長為半徑作弧，兩弧分

別相交于M、N兩點；

（3）作直線MN與。0交于C、D兩點，順次連接A、C、B、D.即四

邊形ACBD為所求作的圓內(nèi)接正方形.

請回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是相等的圓心角所對的弦相等，直徑所

對的圓周角是直角.

【分析】根據(jù)作圖知CD為AB的垂直平分線，據(jù)此得NAOC=NBOC=

ZB0D=ZA0D=90°,依據(jù)相等的圓心角所對的弦相等可判斷四邊

形ACBD是菱形，再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得四邊形ACBD

是正方形.

【解答】解：由作圖知CD為AB的垂直平分線，

???AB為。。的直徑，

，CD為的直徑，且NA0C=NB0C=NB0D=NA0D=90°,

則AC=BC=BD=AD（相等的圓心角所對的弦相等），

...四邊形ACBD是菱形，

由AB為。0的直徑知NACB=90°（直徑所對的圓周角是直角），

...四邊形ACBD是正方形，

故答案為：相等的圓心角所對的弦相等，直徑所對的圓周角是直角.

【點評】本題主要考查作圖-復雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓心

角定理和圓周角定理及正方形的判定.

三、解答題(本題共68分，第17-22題，每小題5分,第23-26題,

每小題6分，第27,28題，每小題7分)

17.解：V-=-,.\^=-+1=-+1=-.....................................5分

b3bb33

18.解：原式=2x走一4x變+2&..................................3分

22

=V3-2x/2+2V2.....................................4分

二也.....................................5分

19.解：(1)y=x2-2x-3

=x2-2x+l-l-3...............................................2分

=(x-l)"-4...................................3分

(2)Vy=(x-l)2-4,

.??該二次函數(shù)圖象的頂點坐標是(1,-4)......................................5分

20.解：作4a死于點〃，：?/ADF/ADO9Q0.

..V2A

?sinB----，

2…2」分

ZB=ZBAD=45°..............

BDC

AB=3近,

.\AD=BD=3........................................3分

'：BC=7,.\DC=4.

.?.在H⑦中，

AC^y/AD2+DC2=5.5分

21.(1)證明：'：ABVBC,：.ZB=90°.

'：AD//BC,：.ZA=9Q°.，N/=N

B.2分

??3氏1,A為2,除3,止1.5,

.1_2.ADAE

??=—.?■=

1.53BEBC

：.XADEs△應CN3=N2.........................3分

VZ1+Z3=9O°,.,.Zl+Z2=90°.

:?/DEC的.........................5分

22.(1)補全圖形如圖所示:……

分

(2)AC,ZCAP=ZB,ZACP=ZACB,

有兩組角對應相等的兩個三角形相似............5分

23.解:(1)..?直線y=x+2與雙曲線y相交于

X

點A(加,3).

3=m+2,解得m=l.

：.A(1,3)............................................................1

分

把4(1,3)代入y=&解得k=3,

X

,y=~..........................................................2分

X

(2)如圖...........................4分

(3)戶(0,6)或尸(2,0)..................6分

24.證明:(1);?點A、C、D為0。的三等分點,

.??A。"。"。..-.AD=DC=AC.乂

二3乃是。。的直徑，DJE

???過點方作O。的切線BM,\)

.\BE±AB.

二.CDIIBM....................3分

⑵連接DB.

①由雙垂直圖形容易得出NDBE=30°,在Rt/XDBE中，由DE=m,解得

BE=2m,DB=V3m.

②在RtAADB中利用30°角，解得AB在Gm,0B=Gm..............

4分

③在Rt△OBE中，由勾股定理得出0E=V7

m........................5分

④計算出△0B月周長為2m+百m+V7m........................6分

25.(1)3.001分

456Wc碗;

_±_____i_______i______!

(2)4分

(3)1.50或4.50...........................2分

26.解：(1)由題意得，拋物線y=or?+2or+c的對稱軸是直線

x=-亥=7......1分

2a

拋物線開口向下，又與x軸有交點，.?.拋物線的頂點C在x

軸的上方.

由于拋物線頂點C到x軸的距離為4,因此頂點C的坐標是(-1,4).

可設此拋物線的表達式是y=a(x+iy+4,

由于此拋物線與x軸的交點A的坐標是(-3,0),可得a=—1.

因此，拋物線的表達式是y=_2_2x+3.......................2分

(2)點B的坐標是(0,3).

聯(lián)結(jié)BC.：”2=18,BC-=2,AC2=20,得AB?+比?=4^.

，△ABC為直角三角形，ZABC=90.

所以tanZ.CAB=

即NC46的正切值等于L...........4

3

分

(3)點p的坐標是(1,0)...........

6分

27.(1)補全圖形，如圖所

示............2分

(2)/〃與勿的數(shù)量關(guān)系：A+PH,4仍120°.

證明：如圖，由平移可知，PQ=DC.

?.?四邊形/四是菱形，NADCW0。，

.\AD=DC,NADB=NBD33G。..\AD=PQ,

VHQ=HD,:.NHQ2NHD&3G.：.ZADB^ZDQH,NDHQA2S.

...AADH^APQH.AA由PH,NAHAZPHQ.：.NAHD+NDHP=NPHQ+N

DHP.

：.ZAHP=ZDHQ.'：NDHQA2Q。,：.NAHP=120°.............5分

(3)求解思路如下：

由N%偌=141°,NBHQWG解得N%盼81°.

a.在4ABH中，由4陽=81°,4初=30°,解得/S4斤69°.

b.在aAHP中，由NZ身右120°,AH=PH,解得N切以30°.

c.在4ADB中，由NADB=NABD=3?！?解得N^4〃=120°.

由a、b、c可得N04R21°.

在4DAP中，由/Z加=60°,NDAP夕A°,AD=1,可解ADAP,

從而求得加長..........................7分

28.解:(1),：A(1,0),AB=3

：.B(1,3)或夕(1,-3)

.?.-Q-A=一1

QB2

(1,1)或0(1,-1)...........3分

(2)點/(1,0)關(guān)于直線尸X的對稱點為A'

(0,1)

/.QA

”一1

.*.QB2...........5分

(3)-4WZW4...........7分

三、解答題（本題共68分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明

過程

17.（5分）計算：（n+收°+V12-2sin60°-（1）-2.

【分析】原式利用零指數(shù)累、負整數(shù)指數(shù)幕法則，以及特殊角的三角

函數(shù)值計算即可求出值.

【解答】解：原式=l+2?-2X乎-4=遮-3.

【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

18.（5分）如圖，在AABC中，AB=AC,BD=CD,CE_LAB于E.求證:

△ABD^ACBE.

【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD±BC,然后求出N

ADB=ZCEB=90°,再根據(jù)兩組角對應相等的兩個三角形相似證明.

【解答】證明：在AABC中，AB=AC,BD=CD,

/.AD±BC,

VCE±AB,

ZADB=ZCEB=90°,

又?.?NBmNB,

...AABD^ACBE.

【點評】本題考查了相似三角形的判定，等腰三角形三線合一的性質(zhì),

比較簡單，確定出兩組對應相等的角是解題的關(guān)鍵.

19.(5分)已知二次函數(shù)y=x2+2x-3.

(1)將y=x?+2x-3用配方法化成y=a(x-h)?+k的形式；

(2)求該二次函數(shù)的圖象的頂點坐標.

【分析】(1)利用配方法先加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平

方式，再把一般式轉(zhuǎn)化為頂點式即可；

(2)根據(jù)頂點坐標的求法，得出頂點坐標即可；

【解答】解：⑴y=x+2x-3

=X2+2X+1-4

=(x+1)--4.

(2)Vy=(x+1)2-4,

...該二次函數(shù)圖象的頂點坐標是(-1,-4).

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的三種形式.二次

函數(shù)的解析式有三種形式：

(1)一般式：y=ax2+bx+c(aWO,a、b、c為常數(shù))；(2)頂點式：

2

y=a(x-h)+k；(3)交點式(與x軸)：y=a(x-xD(x-x2).

20.(5分)先化簡，再求值：(m+觸)+嗎，其中m是方程x?+x

min

-3=0的根.

【分析】根據(jù)分式的混合運算法則，化簡后利用整體的思想代入計算

即可.

【解答】解：原式=3色_?三

mm+l

_(nrH產(chǎn).ID2

mnrl-1

=m(m+1)

=m2+.m,

??丁是方程x?+x-3=0的根，

m2+m-3=0,即m2+m=3,

則原式=3.

【點評】本題考查分式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合

運算的法則，需要注意最后結(jié)果化成最簡分式或整式.

21.(5分)在平面直角坐標xOy中的第一象限內(nèi)，直線y,=kx(k^O)

與雙曲丫2=史(mWO)的一個交點為A(2,2).

X

(1)求k、m的值；

(2)過點P(x,0)且垂直于x軸的直線與y產(chǎn)kx、y2=^的圖象分

別相交于點M、N,點MN的距離為&，點MN中的某一點與點

P的距離為ch,如果ch=d2,在下圖中畫出示意圖并且直接寫出點P

的坐標.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題；

(2)構(gòu)建方程即可解決問題；

【解答】解：(1)二?直線y尸kx(k￥0)與雙曲丫2=々(mKO)的一個

交點為A(2,2),

/.k=l,m=4,

(2);?直線y尸x,y2=p

由題意：--x=xx--,

XXX

解得x=±正或±2后，

Vx>0,

x二&或2正，

AP(血，0)或(2加，0).

【點評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關(guān)鍵是

學會利用構(gòu)建方程的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

22.（5分）如圖，小明想知道湖中兩個小亭A、B之間的距離，他在

與小亭A、B位于同一水平面且東西走向的湖邊小道上某一觀測點

M處,測得亭A在點M的北偏東60°,亭B在點M的北偏東30°,

當小明由點M沿小道向東走60米時，到達點N處，此時測得亭A

恰好位于點N的正北方向，繼續(xù)向東走30米時到達點Q處，此時

亭B恰好位于點Q的正北方向.

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請你幫助小明寫出湖中兩個小亭A、B之間距離的思

路.

【分析】如圖，由題意aAMN,ABMO都是直角三角形，作AHJ_BQ于

H,只要求出AH、BH即可利用勾股定理求出AB的長.

【解答】解：如圖，由題意^AMN,aBMO都是直角三角形，作AHJ_

BQ于H,

只要求出AH、BH即可利用勾股定理求出AB的長.

易知四邊形ANQH是矩形，可得AH=NQ=30米，

在Rt^AMN中，根據(jù)AN=QH=MN?tan30°=20?米，

在RSMBQ中，BQ=MQ?tan60°=90?,

可得BH=BQ-QH=70蟲米，由此即可解決問題.

十

乂》1H月y

MNQI

【點評】本題考查勾股定理、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學

會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

23.(5分)已知二次函數(shù)y=kx?+(k+1)x+1(kWO).

(1)求證：無論k取任何實數(shù)時，該函數(shù)圖象與x軸總有交點；

(2)如果該函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標均為整數(shù)，且k為整數(shù)，

求k值.

【分析】(1)根據(jù)根的判別式可得結(jié)論；

(2)利用求根公式表示兩個根，因為該函數(shù)的圖象與x軸交點的橫

坐標均為整數(shù)，且k為整數(shù)，可得k=±l.

【解答】(1)證明：△=(k+1)2-4kXl=(k-1)22。

，無論k取任何實數(shù)時，該函數(shù)圖象與x軸總有交點；

(2)解：當y=0時，kx2+(k+1)x+l=0,

-k-l±V(k-l)2

???該函數(shù)的圖象與X軸交點的橫坐標均為整數(shù)，且k為整數(shù)，

k=±l.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,

b,c是常數(shù)，aWO)的交點與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的

關(guān)系：△=b?-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù).△=￡-4ac>0

時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2-4ac=0時，拋物線與x軸

有1個交點；△=b2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.也考查

了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系.

24.(5分)如圖，在RtaABC中，ZACB=90°，點D是AB邊上一點，

以BD為直徑的。0與邊AC相切于點E,連接DE并延長DE交BC

的延長線于點F.

(1)求證：BD=BF；

(2)若CF=2,tanB=-1?求。。的半徑.

【分析】(1)連接0E,由AC為圓。的切線，利用切線的性質(zhì)得到0E

垂直于AC,再由BC垂直于AC,得到OE與BC平行，根據(jù)。為DB

的中點，得到E為DF的中點，即OE為三角形DBF的中位線，利

用中位線定理得到OE為BF的一半，再由0E為DB的一半，等量

代換即可得證；

(2)設BC=3x,根據(jù)題意得：AC=4x,AB=5x,根據(jù)cosZAOE=cosB,

3x+2

可得翳專即裊4解方程即可;

2

【解答】(1)證明：連接0E,

〈AC與圓。相切，

.*.OE±AC,

VBC±AC,

.,.0E/7BC,

又TO為DB的中點，

.,.E為DF的中點,即OE為△DBF的中位線，

.*.OE=1BF,

又,.,OE=*BD,

則BF=BD；

(2)解：設BC=3x,根據(jù)題意得：AC=4x,AB=5x

XVCF=2,

...BF=3x+2,

由(1)得：BD=BF,

:.BD=3x+l,

.,.OE=OB=^^,AO=AB-OB=5x-

VOE//BF,

，ZAOE=ZB,

3x+2

.,.cosZAOE=cosB,即察=|",

OA57x-25

2

解得：x="|",

J

則圓0的半徑為竿=5.

【點評】此題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，以及圓周角定

理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

25.（6分）如圖1,點C是。0中直徑AB上的一個動點，過點C作

，口，人13交。0于點口，點M是直徑413上一固定點，作射線DM交。

0于點N.已知AB=6cm,AM=2cm,設線段AC的長度為xcm,線段

MN的長度為ycm.

小東根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y隨自變量的變化而變化的規(guī)律進

行了探索.

下面是小東的探究過程，請補充完整：

（1）通過取點、畫圖、測量，得到了與y的幾組值，如下表:

x/cm0123456

y/cm43.32.82.532.12

（說明：補全表格時相關(guān)數(shù)值保留一位小數(shù)）

(2)在圖2中建立平面直角坐標系，描出以補全后的表中各對對應

值為坐標的點，畫出該函數(shù)的圖象；

(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當AC=MN時，x的取值約為

2.7cm.

【分析】(1)如圖1-1中，連接OD,BD、AN.利用勾股定理求出DM,

致力于相似三角形的性質(zhì)求出MN即可；

(2)利用描點法畫出函數(shù)圖象即可；

(3)利用圖象尋找圖象與直線y=x的交點的坐標即可解決問題；

【解答】解：(1)如圖1-1中，連接OD,BD、AN.

VAC=4,0A=3,

.*.oc=i,

在RSOCD中，CD=VoD2H3C2=V3,

22=

在RSCDM中，DM=VDc+CMV7,

由△AMNSADMB,可得DM?MN=AM?BM,

二.MN嶗-3,

故答案為3.

(2)函數(shù)圖象如圖所示,

(3)觀察圖象可知，當AC=MN上，x的取值約為2.7.

故答案為2.7.

【點評】本題考查圓綜合題、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、

描點法畫函數(shù)圖象等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，

構(gòu)造直角三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

26.(7分)在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象

如圖所示.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)函數(shù)圖象上有兩點P(xi,y),Q(X2,y),且滿足x1〈X2,結(jié)合

函數(shù)圖象回答問題；

①當y=3時，直接寫出X2-X1的值；

②當2WX2-XIW3,求y的取值范圍.

【分析】(1)利用圖中信息，根據(jù)待定系數(shù)法即可解決問題;

(2)求出y=3時的自變量x的值即可解決問題；

(3)當X2-Xi=3時，易知Xi=-y,此時y=1-2+3=彳，可得點P坐標,

由此即可解決問題;

【解答】解：(1)由圖象知拋物線與x軸交于點(1,0)、(3,0),

與y軸的交點為(0,3),

設拋物線解析式為y=a(x-1)(x-3),

將(0,3)代入，得：3a=3,

解得：a=l,

???拋物線解析式為y=(x-1)(x-3)=xJ-4x+3；

(2)①當y=3時，x2-4x+3=3,

解得：x,=0,X2=4,

x2-Xi=4；

②當X2-Xi=3時,易知Xi=.,此時y=-1--2+3=-|-

觀察圖象可知當2WX2-XW3,求y的取值范圍OWyW/

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵

是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

27.（7分）如圖1有兩條長度相等的相交線段AB、CD,它們相交的

銳角中有一個角為60°,為了探究AD、CB與CD（或AB）之間的

關(guān)系，小亮進行了如下嘗試：

（1）在其他條件不變的情況下使得AD〃BC,如圖2,將線段AB沿

AD方向平移AD的長度，得到線段DE,然后聯(lián)結(jié)BE,進而利用所

學知識得到AD、CB與CD（或AB）之間的關(guān)系：AD+BC=AB；（直

接寫出結(jié)果）

（2）根據(jù)小亮的經(jīng)驗，請對圖1的情況（AD與CB不平行）進行嘗

試，寫出AD、CB與CD（或AB）之間的關(guān)系，并進行證明；

（3）綜合（1）、（2）的證明結(jié)果，請寫出完整的結(jié)論：A明BC2AB.

【分析】（1）先判斷出BE=AD,