空間向量及基本運算一、平面向量復(fù)習(xí)⒈定義：既有大小又有方向的量叫向量．幾何表示法：用有向線段表示；

字母表示法：用字母a、b等或者用有向線段的起點與終點字母表示．相等的向量：

長度相等且方向相同的向量．ABCD⒉平面向量的加減法與數(shù)乘運算⑴向量的加法：aba+b平行四邊形法則aba+b三角形法則⑵向量的減法aba-b三角形法則⑶向量的數(shù)乘aka（k>0）ka（k<0）⒊平面向量的加法與數(shù)乘運算律加法交換律：a＋b＝b＋a

加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

數(shù)乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

推廣⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量．即：⑵首尾相接的若干向量構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量．即：二、空間向量及其加減與數(shù)乘運算⒈空間向量：空間中具有大小和方向的量叫做向量．⑴定義：⑵表示方法：①空間向量的表示方法和平面向量一樣；③空間任意兩個向量都可以用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示．②同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量；⒉空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量a+baaaaOPabABbCOa-

b⒊空間向量加法與數(shù)乘向量運算律⑴加法交換律：a+b=b+a；⑵加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)；⑶數(shù)乘分配律：λ(a+b)

=λa+λb；abca+b+cabca+b+ca+bb+c對空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量的說明⒈空間向量的運算就是平面向量運算的推廣．⒉兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立．⒊空間向量的加法運算可以推廣至若干個向量相加．推廣⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量．即：⑵首尾相接的若干向量構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量．即：平行六面體平行四邊形ABCD平移向量a到A’B’C’D’的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體．記作ABCD—A’B’C’D’．A’B’C’D’ABCDa平行六面體的六個面都是平行四邊形，每個面的邊叫做平行六面體的棱．ABCDA’B’C’D’例1解：ABCDA’B’C’D’始點相同的三個不共面向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所示向量⑶設(shè)M是線段CC’的中點，則解：ABCDA’B’C’D’M⑷設(shè)G是線段AC’靠近點A的三等分點，則GABCDA’B’C’D’M解：例2：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1例2：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1例2：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1解：例2：已知平行六面體

ABCD-A1B1C1D1，求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1解：ABMCGD練習(xí)一：空間四邊形ABCD中,M、G分別是BC、CD邊的中點,化簡：ABMCGD(2)原式練習(xí)一：空間四邊形ABCD中,M、G分別是BC、CD邊的中點,化簡：ABCDDCBAE練習(xí)二：在正方體ABCD-A’B’C’D’中,點E是面AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.AABCDDCBE練習(xí)二：在正方體ABCD-A’B’C’D’中,點E是面

AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.ABCDDCBAE練習(xí)二：在正方體ABCD-A’B’C’D’中,點E是面

AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.平面向量概念加法減法數(shù)乘運算運算律定義表示法相等向量減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量具有大小和方向的量數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負數(shù),零加法交換律加法結(jié)合律數(shù)乘分配律小結(jié)加法交換律數(shù)乘分配律加法結(jié)合律類比、數(shù)形結(jié)合數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負數(shù),零作業(yè)：導(dǎo)航練習(xí):9.19空間向量及其運算棱錐、圓錐的體積復(fù)習(xí)：1、等底面積等高的兩個柱體體積相等。

2、V柱體＝ShV圓柱＝πr2h

3、柱體體積公式的推導(dǎo)：柱體體積公式的推導(dǎo)：等底面積等高的幾個柱體被平行于平面α的平面所截截面面積始終相等體積相等∵V長方體＝abc∴V柱體＝ShV圓柱＝πr2hα問題：對比柱體體積公式的推導(dǎo)及結(jié)論，猜想一下錐體體積是否具有相似的結(jié)論？定理一、等底面積等高的兩個錐體體積相等。αh1S1h1S1hShS取任意兩個錐體，它們的底面積為S，高都是h＋平行于平面α的任一平面去截＋截面面積始終相等＝兩個錐體體積相等定理一、等底面積等高的兩個錐體體積相等。αh1S1h1S1hShS證明：取任意兩個錐體，設(shè)它們的底面積為S，高都是h。

把這兩個錐體放在同一個平面α上，這是它們的頂點都在和平面α平行的同一個平面內(nèi)，用平行于平面α的任一平面去截它們，截面分別與底面相似，設(shè)截面和頂點的距離是h1，截面面積分別是S1、S2，

那么根據(jù)祖搄原理，這兩個錐體的體積相等。與三棱柱相對照，請猜想三棱錐體積公式。ABCA’C’B’與三棱柱相對照，請猜想三棱錐體積公式。ABCA’C’B’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’與三棱柱相對照，請猜想三棱錐體積公式。BCA’B’CA’C’B’ABCA’與三棱柱相對照，請猜想三棱錐體積公式。定理二：如果三棱錐的底面積是S，高是h，那么

它的體積是V三棱錐＝ShABCA’C’B’把三棱錐1以△ABC為底面、AA1為側(cè)棱補成一個三棱柱。定理二：如果三棱錐的底面積是S，高是h，那么

它的體積是V三棱錐＝ShABCA’C’B’連接B’C,然后把這個三棱柱分割成三個三棱錐。

就是三棱錐1

和另兩個三棱錐2、3。１23定理二：如果三棱錐的底面積是S，高是h，那么

它的體積是V三棱錐＝Sh

就是三棱錐1

和另兩個三棱錐2、3。BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’１23定理二：如果三棱錐的底面積是S，高是h，那么

它的體積是V三棱錐＝ShBCA’B’2CA’C’B’3ABCA’1三棱錐1、2的底△ABA’、△B’A’B的面積相等。定理二：如果三棱錐的底面積是S，高是h，那么

它的體積是V三棱錐＝ShCA’C’B’3ABCA’1BCA’B’2BCA’B’2ABCA’1BCA’B’2ABCA’1三棱錐1、2的底△ABA’、△B’A’B的面積相等，高也相等（頂點都是C）。A1BCA’B’2BCA’B’2ABCA’1BCA’B’2ABCA’1高定理二：如果三棱錐的底面積是S，高是h，那么

它的體積是V三棱錐＝ShABCA’1CA’C’B’3BCA’B’2三棱錐2、3的底△BCB’、△C’B’C的面積相等。定理二：如果三棱錐的底面積是S，高是h，那么

它的體積是V三棱錐＝ShABCA’1CA’C’B’3BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2三棱錐2、3的底△BCB’、△C’B’C的面積相等。高也相等（頂點都是A’）。高定理二：如果三棱錐的底面積是S，高是h，那么

它的體積是V三棱錐＝ShABCA’1CA’C’B’3BCA’B’2V1＝V2＝V3＝V三棱錐定理二：如果三棱錐的底面積是S，高是h，那么

它的體積是V三棱錐＝Sh定理證明：已知：三棱錐1（A1-ABC）的底面積S,高是h.求證:V三棱錐＝Sh證明:把三棱錐1以△ABC為底面、AA1為側(cè)棱補成一個三棱柱，然后把這個三棱柱分割成三個三棱錐，就是三棱錐1和另兩個三棱錐2、3。三棱錐1、2的底△ABA1、△B1A1B的面積相等，高也相等（頂點都是C）；三棱錐2、3的底△BCB1、△C1B1C的面積相等，高也相等（頂點都是A1）∵V1＝V2＝V3＝V三棱錐?！遃三棱柱＝Sh?！郪三棱錐＝Sh。ABCA’C’B’１23任意錐體的體積公式：

定理三：如果一個錐體（棱錐、圓錐）的底面積是S，高是h，那么它的體積是

V錐體＝Sh

推論：如果圓錐的底面半徑是r，高是h，那么它的體積是

V圓錐＝πr2h小結(jié)：定理一、等底面積等高的兩個錐體體積相等。定理二：如果三棱錐的底面積是S，高是h，那么

它的體積是V三棱錐＝Sh定理三：如果一個錐體（棱錐、圓錐）的底面積是S，高是h，那么它的體積是

V錐體＝Sh推論：如果圓錐的底面半徑是r，高是h，那么它的體積是

V圓錐＝πr2h例題一：如圖：已知三棱錐A-BCD的側(cè)棱AD垂直于底面BCD，側(cè)面ABC與底面所成的角為θ

求證：V三棱錐＝S△ABC·ADcosθADBCEθ

證明：在平面BCD內(nèi)，作DE⊥BC，垂足為E，連接AE,DE就是AE在平面BCD上的射影。

根據(jù)三垂線定理，AE⊥BC。∴∠AED＝θ。V三棱錐＝S△BCD·AD＝S△ABC

·ADcosθ

＝×BC·ED·AD＝×BC·AEcosθ·AD例題一：如圖：已知三棱錐A-BCD的側(cè)棱AD垂直于底面BCD，側(cè)面ABC與底面所成的角為θ

求證：V三棱錐＝S△ABC·ADcosθADBCEθ

問題1、ADcosθ有什么幾何意義？

F

結(jié)論：V三棱錐＝S△ABC·d

例題一：如圖：已知三棱錐A-BCD的側(cè)棱AD垂直于底面BCD，側(cè)面ABC與底面所成的角為θ

求證：V三棱錐＝S△ABC·ADcosθADBCEθ

結(jié)論：V三棱錐＝VC-AED＋VB-AED

問題2、解答過程中的

×BC·AEcosθ·AD其中

AEcosθ·AD可表示意思？∵AEcosθ＝ED∴S△AED＝ED·AD

又BE與CE都垂直平面AED，故BE、CE分別是三棱錐B-AED、C-AED的高。

分析：練習(xí)1：將長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個三棱錐，這個三棱錐的體積是長方體體積幾分之幾？（請列出三棱錐體積表達式）ABCDA’C’B’D’問題1、你能有幾種解法？

問題2、如果這是一個平行六面體呢？或者四棱柱呢？練習(xí)2:從一個正方體中，如圖那樣截去四個三棱錐，得到一個正三棱錐A-BCD，求它的體積是正方體體積的幾分之幾？C

DAB

問題2、如果改為求棱長為a的正四面體A-BCD的體積。你能有幾種解法？問題1、你能有幾種解法？解一、補形，將三棱錐補成一個正方體。解二、利用體積公式

V四面體＝S△BCD·h

解三、將四面體分割為三棱錐C-ABE和三棱錐D-ABEE小結(jié)：1、錐體體積公式的證明體現(xiàn)了從整體上掌握知識的思想，形象具體地在立體幾何中運用“割補”進行解題的