第二章遠(yuǎn)期合約和期貨合約

價格的性質(zhì)套利機(jī)會的定義利用套利確定：遠(yuǎn)期價格與標(biāo)的物現(xiàn)貨價格之間的關(guān)系遠(yuǎn)期價格與標(biāo)的物現(xiàn)貨價格之間的關(guān)系依賴于：標(biāo)的物是投資型資產(chǎn)還是消費型資產(chǎn)標(biāo)的物的儲藏成本期貨價格與標(biāo)的物現(xiàn)貨價格之間的關(guān)系遠(yuǎn)期價格和期貨價格之間的關(guān)系?對標(biāo)的資產(chǎn)未來價格的分布不作任何假設(shè)。?1.套利機(jī)會套利機(jī)會：不花錢就能掙到錢。具體地說，有兩種類型的套利機(jī)會。如果一種投資能夠立即產(chǎn)生正的收益而在將來不需要有任何支付（不管是正的還是負(fù)的），我們稱這種投資為第一類的套利機(jī)會。如果一種投資有非正的成本，但在將來，獲得正的收益的概率為正，而獲得負(fù)的收益（或者說正的支出）的概率為零，我們稱這種投資為第二類的套利機(jī)會。?任何一個均衡的市場，都不會存在這兩種套利機(jī)會。如果存在這樣的套利機(jī)會，人人都會利用，從而與市場均衡矛盾。所以我們假設(shè)市場上不存在任何套利機(jī)會。?無套利證券市場的性質(zhì)首先，證券的定價滿足線性性質(zhì)。其次，有零的終端支付的證券組合，其價格一定為零。最后，證券的定價滿足占優(yōu)性質(zhì)。?

例子：假設(shè)經(jīng)濟(jì)環(huán)境由四個狀態(tài)和兩種證券構(gòu)成，證券組合甲由11份證券1構(gòu)成。相關(guān)的信息特征如下表所示。狀態(tài)證券組合甲

15355 25655

3103110 4103110假設(shè)事件的概率為P({1})=0.2，P({2})=0.3，P({34})=0.5。兩種證券的價格為P1=4，P2=2，證券組合甲的價格為P甲=40。

?在這個經(jīng)濟(jì)中是否存在套利機(jī)會。第一，P甲=4011P1=44，這屬于第一類套利機(jī)會。第二，我們把證券組合甲當(dāng)作第三種證券。構(gòu)造新的證券組合乙：賣空11份證券1，買入1份證券3。則證券組合乙的價格為11（4）+1（40）0?證券組合乙在期末的支付為

狀態(tài) 證券組合乙 概率

1 00.2 2 00.3 3、400.5

因此，P(證券組合乙的支付=0)=1，這是第一類的套利機(jī)會。?第三，定義證券組合丙：賣空10份證券1，買入一份證券3。則證券組合丙的價格為10（4）+1（40）=0。證券組合丙在期末的支付為

狀態(tài) 證券組合概率

1 50.2 250.3 3、4100.5

因此，P(證券組合丙的支付0)=1且P(證券組合丙的支付0)=10。這是第二類套利機(jī)會。?套利機(jī)會導(dǎo)致交易發(fā)生和價格的調(diào)整，直到經(jīng)濟(jì)達(dá)到均衡，經(jīng)濟(jì)中不再存在套利機(jī)會。經(jīng)濟(jì)中無套利機(jī)會是衍生證券定價的基礎(chǔ)。證券的無套利價格與經(jīng)濟(jì)均衡和金融市場的有效性一致。?Economicdisequilibriumisasituationinwhichtradersareunsatisfiedwiththeircurrentportfoliopositions,andtheytrade.??衍生證券定價理論假設(shè)假設(shè)1：市場無摩擦（無交易成本，無買賣差價bid-askspread，無抵押需求，無賣空限制，無稅收）假設(shè)2：無違約風(fēng)險假設(shè)3：市場是完全競爭的。市場參與者是價格接受者。假設(shè)4：價格一直調(diào)整到市場無套利?任何理論的質(zhì)量依賴于假設(shè)的質(zhì)量。假設(shè)決定理論適應(yīng)于實際的程度。假設(shè)1-4的合理性?假設(shè)1：對于大的市場參與者，例如金融機(jī)構(gòu)，這是合理的一階近似。研究無摩擦市場是研究摩擦市場的基礎(chǔ)。本課程不放寬該條件?假設(shè)2：一階近似在假設(shè)1下，假設(shè)2意味著借貸利率應(yīng)該相等對于在交易所交易的期權(quán)和期貨，由于有結(jié)算室，這是一個合理假設(shè)，但對于柜下交易的衍生產(chǎn)品，這個假設(shè)不一定成立，所以必須有抵押品本課程不放寬該條件?假設(shè)3：放寬該假設(shè)是現(xiàn)在研究的主要領(lǐng)域，包括策略交易和市場操縱的研究不放寬?假設(shè)4：標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)假設(shè)4稱為可變假設(shè)，而其余的稱為固定假設(shè)：我們將在假設(shè)1-4下研究遠(yuǎn)期合約、期貨和期權(quán)的公平或者理論價格，再與實際市場價格作比較。如果有區(qū)別，則把該差別歸因于可變假設(shè)而不是固定假設(shè)。因此我們把這作為套利機(jī)會存在的證據(jù)，發(fā)展理論來利用這種價格差別獲利。如果確實發(fā)現(xiàn)不是假設(shè)4的原因，我們再加入更現(xiàn)實的固定假設(shè)來修改理論。?2.期貨價格和現(xiàn)貨價格決定遠(yuǎn)期合約和期貨合約價格的一個關(guān)鍵變量是標(biāo)的資產(chǎn)的市場價格?2.1期貨價格和現(xiàn)貨價格的趨同性當(dāng)期貨合約的交割日臨近時，期貨價格逼近標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價格。時間期貨價格現(xiàn)貨價格現(xiàn)貨價格期貨價格?如果在交割期期貨價格高于現(xiàn)貨價格，則存在如下套利機(jī)會賣空期貨合約買入資產(chǎn)交割如果在交割期期貨價格低于現(xiàn)貨價格，則存在如下套利機(jī)會買入期貨合約賣出資產(chǎn)交割?2.2期貨價格和期望現(xiàn)貨價格futurespricesandtheexpectedfuturespotprice當(dāng)期貨價格小于期望現(xiàn)貨價格時，稱為現(xiàn)貨溢價(normalbackwardation)當(dāng)期貨價格大于期望現(xiàn)貨價格時，稱為期貨溢價（contango)?期貨頭寸中的風(fēng)險一個投機(jī)者持有期貨合約多頭頭寸，希望在到期日資產(chǎn)價格將高于期貨價格。假設(shè)他在時間把期貨價格的現(xiàn)值投資在無風(fēng)險債券同時持有期貨合約多頭頭寸。如果把期貨合約當(dāng)作交割日為的遠(yuǎn)期合約，則投機(jī)者的現(xiàn)金流為：：（資產(chǎn)在時間的價格）?該投資的目前值這里是與投資風(fēng)險相關(guān)的折現(xiàn)率，依賴于投資的系統(tǒng)風(fēng)險如果證券市場上所有的投資機(jī)會的凈現(xiàn)值為0，則或者?如果與市場證券組合不相關(guān)，則如果與市場證券組合正相關(guān)，則如果與市場證券組合負(fù)相關(guān)，則?3.遠(yuǎn)期合約的定價注意投資型標(biāo)的物與消費型標(biāo)的物的區(qū)分，投資型標(biāo)的物的遠(yuǎn)期價格和期貨價格能夠確定，而消費型標(biāo)的物的不能確定。投資型資產(chǎn)消費型資產(chǎn)?遠(yuǎn)期合約的定價相對容易，沒有每天結(jié)算對許多標(biāo)的物相同的遠(yuǎn)期合約和期貨合約而言，如果到期日相同，則它們的價格非常接近。先給出遠(yuǎn)期合約一般定價公式，再給出期貨的一般價格公式?首先研究投資型標(biāo)的物的遠(yuǎn)期合約，再研究消費型標(biāo)的物的遠(yuǎn)期合約?投資型標(biāo)的物遠(yuǎn)期合約的一般定價公式分為三步標(biāo)的證券不提供紅利標(biāo)的證券提供確定的現(xiàn)金紅利標(biāo)的證券提供確定的紅利收益率?符號：遠(yuǎn)期合約到期日（年）：現(xiàn)在的時間（年）：標(biāo)的物在時間的價格：標(biāo)的物在時間的價格（在時間未知）：交割價格：遠(yuǎn)期合約在時間的價值?：時間的遠(yuǎn)期價格：時間和之間的利率?3.1投資型標(biāo)的物遠(yuǎn)期合約定價：

標(biāo)的證券不提供紅利例子：假設(shè)一種不支付紅利股票今天的價格是25元，假設(shè)利率是7%（以復(fù)利計算）。確定以該股票為標(biāo)的物，還有6個月到期的遠(yuǎn)期合約的遠(yuǎn)期價格。?構(gòu)造策略：以利率7%借入25元買一份股票，以為交割價格寫一份6個月到期的遠(yuǎn)期合約成本為06個月后股票S(0.5)遠(yuǎn)期合約-[S(0.5)-]還貸-25?在得到遠(yuǎn)期價格的同時，合成構(gòu)造了遠(yuǎn)期合約。(Thecash-andcarrystrategy)(1)buythestockthroughborrowing(cash)(2)holdituntilthedeliverydateoftheforwardcontract(carry)Thisstrategyreplicatestheforwardcontract’scashflowsatthedeliverdate.?Itgeneratestotalownershipofthestockatthedeliverydatewhentheborrowingispaidoff.The“purchaseprice”atmaturityisdeterminedatthestrategyisinitiated.?一般公式遠(yuǎn)期價格和現(xiàn)貨價格之間的關(guān)系為Thisiscalledthecash-and-carryrelationshipbetweenthespotandforwardprice,animplicationofwhichisthatwhentherearenocashflowsontheunderlyingasset,theforwardpriceisneverlessthanthespotprice.?證明：?例子：考慮以不支付紅利股票為標(biāo)的物的遠(yuǎn)期合約，3個月到期。假設(shè)股票價格為40元，3個月的利率為5%（以年為單位表示，連續(xù)復(fù)利），遠(yuǎn)期價格為?如果遠(yuǎn)期價格的報價是41.50元，如何構(gòu)造套利機(jī)會?遠(yuǎn)期合約的價值為原始合約在簽定以后和到期日之前的價值依賴于和它有相同到期日的新的合約的新遠(yuǎn)期價格遠(yuǎn)期合約的價值可正可負(fù)?證明：證券組合A:買入遠(yuǎn)期合約，投資在無風(fēng)險證券證券組合B:買入標(biāo)的物?例子：以1年到期純折現(xiàn)債券為標(biāo)的物的6個月到期的遠(yuǎn)期合約的交割價格為950元，假設(shè)6個月利率為6%（以年為單位表示，連續(xù)復(fù)利），現(xiàn)在債券價格為930元，遠(yuǎn)期合約的價值為?3.2投資型標(biāo)的物遠(yuǎn)期合約定價：

標(biāo)的證券提供確定的現(xiàn)金紅利Iftheunderlyingassethasknowncashflowsoverthelifeoftheforwardcontractsuchasadividendorinterestpayment,itwillaffecttheforwardpricebecauseownershipofaforwardcontractdoesnotentitletheholdertotheasset’scashflows.However,ownershipoftheunderlyingassetdoes.Thecurrentvalueoftheassetreflectsthepresentvaluesofallfuturecashflows.?投資型標(biāo)的物遠(yuǎn)期合約定價：

標(biāo)的證券提供確定的現(xiàn)金紅利例子：12個月到期的國庫券，價格為1021.39，年息率為10%，每半年支付一次。假設(shè)6個月的簡單利率為7.18%，9個月的簡單利率為7.66%，12個月的簡單利率為7.90%，求以此國庫券為標(biāo)的物、9個月到期的遠(yuǎn)期合約的遠(yuǎn)期價格。?時間0策略1：以價格1021.39購買國庫券借入利息的現(xiàn)值，借期6個月總成本=1021.39-50/(1+0.0718*0.5)策略2：買入遠(yuǎn)期價格為F的9個月遠(yuǎn)期合約把遠(yuǎn)期價格的現(xiàn)值投資在無風(fēng)險債券總成本=F/(1+0.0766*0.75)?到期日策略1：國庫券的市值策略2：國庫券的市值?一般結(jié)論假設(shè)現(xiàn)金紅利的現(xiàn)值為遠(yuǎn)期價格和現(xiàn)貨價格之間的關(guān)系為?證明：?例子：10個月到期的遠(yuǎn)期合約，標(biāo)的股票的價格為50元，利率為8%。3個月、6個月、9個月各分紅0.75元。紅利的現(xiàn)值為?證明：證券組合A:買入遠(yuǎn)期合約，投資在無風(fēng)險證券證券組合B:買入標(biāo)的物，以無風(fēng)險利率借入?例子：5年到期債券的價格為900元。假設(shè)以它為標(biāo)的物的遠(yuǎn)期合約的交割價格為910元，1年到期。6個月、12個月各支付利息為60元，6個月、12個月的利率各為9%、10%。?3.3投資型標(biāo)的物遠(yuǎn)期合約定價：

標(biāo)的證券提供確定的紅利收益率假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)支付已知紅利收益率（dividendyield)，即，當(dāng)把紅利表示成資產(chǎn)價格的百分比時，這個比例是已知的。?首先假設(shè)紅利收益率以年率連續(xù)支付例如：假設(shè)為5%，即紅利收益率為每年5%，當(dāng)資產(chǎn)價格為10元時，在下一個小時間區(qū)間以每年50分的比例支付。?例子：6個月遠(yuǎn)期合約，標(biāo)的證券的連續(xù)紅利率為4%。無風(fēng)險利率為10%。股票價格為25元。?考慮如下的策略：（1）買入份資產(chǎn)，把在到期日前任何時間獲得的紅利重投資在標(biāo)的資產(chǎn)上（2）賣空一份以一份標(biāo)的資產(chǎn)為標(biāo)的物的遠(yuǎn)期合約時間0的成本到期日的收入?一般情形假設(shè)紅利以年率連續(xù)支付遠(yuǎn)期價格和現(xiàn)貨價格之間的關(guān)系為?Whenthedividendyieldiscontinuous,butvariesthroughoutthelifeoftheforwardcontract,shouldbesettotheaveragedividendyieldduringthelifeofthecontract.Theequationcanalsobeusedinsituationwherethereisaknowndividendyield,butitispaidatdiscretepointsintime.Itisnecessarytofindthecontinuousdividendyieldthatisequivalenttothediscretedividendyield.?股票指標(biāo)期貨的價格大多數(shù)指標(biāo)可以看成支付紅利的證券，證券是組成指標(biāo)的所有證券形成的證券組合，紅利為持有該證券組合所獲得的紅利。假設(shè)是紅利收益率，期貨價格為?例子：以S&P500為標(biāo)的物的三個月到期的遠(yuǎn)期合約。假設(shè)指標(biāo)每年的紅利收益率為3%，指標(biāo)現(xiàn)在的值為900，連續(xù)復(fù)利的無風(fēng)險年利率為8%?外匯遠(yuǎn)期合約Aforeigncurrencyhasthepropertythattheholderofthecurrencycanearninterestattheriskfreeinterestrateprevailingintheforeigncountry.Aforeigncurrencycanberegardedasaninvestmentassetpayingaknowndividendyield.The‘dividendyield’istheriskfreerateofinterestintheforeigncurrency.?例子：假設(shè)美元和日元的國內(nèi)六個月利率各為5%和1%（以年利率表示）。現(xiàn)在日元/美元的匯率為100。求美國國內(nèi)投資者持有的遠(yuǎn)期合約的價格?策略：以利率5%借入美元利用該筆現(xiàn)金購買日元，以日元利率投資賣空以1日元為標(biāo)的物的遠(yuǎn)期合約成本為0到期日收入為0?

假設(shè)是現(xiàn)在1美元的人民幣價格，是遠(yuǎn)期合約的交割價格，是國內(nèi)利率，是美國利率，遠(yuǎn)期合約的價值為遠(yuǎn)期價格為interestrateparityrelationship近似的期貨合約價格?證明：證券組合A:買入遠(yuǎn)期合約，投資在無風(fēng)險證券證券組合B:買入數(shù)量為的美元?其次，假設(shè)紅利收益率是已知的，但不是常數(shù)，這時，等于遠(yuǎn)期合約有效期內(nèi)平均紅利收益率。?最后，公式適用于任何紅利收益率已知的環(huán)境，不管是連續(xù)還是離散。如果是時間0和T之間的離散紅利，定義等價的連續(xù)紅利為?例子：考慮以某股票為標(biāo)的物的6個月到期的遠(yuǎn)期合約，股票在第1、4個月的紅利收益率為4%，無風(fēng)險利率為6%，股票現(xiàn)在的價格為80元?3.4投資型標(biāo)的物遠(yuǎn)期合約定價：一般結(jié)果遠(yuǎn)期合約價值和交割價格以及現(xiàn)在的遠(yuǎn)期價格之間的關(guān)系為Wecanvaluealongforwardcontractonanassetbyassumingthatthepriceoftheassetatthematurityofaforwardcontractistheforwardprice,F.?證明：?3.5商品遠(yuǎn)期合約的遠(yuǎn)期價格投資型商品：黃金、白銀消費型商品：石油Arbitrageargumentscanbeusedtoobtainexactfuturespricesinthecaseofinvestmentcommodities,butcanonlygiveanupperboundtofuturespricesinthecaseofconsumption.?投資型商品黃金和白銀：假設(shè)為儲藏成本的現(xiàn)值，儲藏成本可以視為負(fù)的收入，遠(yuǎn)期價格為?策略：?例子：考慮1年的黃金遠(yuǎn)期合約。假設(shè)每年的儲藏成本為2美元/盎司，在每年的年末支付。黃金的現(xiàn)貨價格為450美元/盎司，利率為7%。?

如果遠(yuǎn)期價格為480美元，如何構(gòu)造套利機(jī)會借錢450元買1盎司黃金，賣一份遠(yuǎn)期合約。在到期日黃金價值S(T)遠(yuǎn)期合約 -(S(T)-480)支付儲藏成本-2還債-450凈利潤?消費型商品一般商品的遠(yuǎn)期合約?證明：?便利收益(convenienceyields)Usersofthecommoditymustfeelthattherearebenefitsfromownershipofthephysicalcommoditythatarenotobtainedbytheholderofaforwardcontract.Thesebenefitsmayincludetheabilitytokeepaproductionprocessrunning.?Aconsumptionassetbehaveslikeaninvestmentassetthatprovidesareturnequaltotheconvenienceyield.Theconvenienceyieldreflectsthemarket’sexpectationsconcerningthefutureavailabilityofthecommodity.Thegreaterthepossibilitythatshortageswilloccurduringthelifeofthefuturescontract,thehighertheconven