29七月2023行列式展開定理余子式、代數(shù)余子式行列式按行（列）展開定理Laplace定理＊1.3行列式展開定理

例1.計(jì)算解:(化上三角形法)D－＝57復(fù)習(xí)?！引例計(jì)算下列行列式分析：如何繼續(xù)？1.aij的余子式：在中劃去元素aij所在的第i行和第j列元素，得到的n-1階行列式。記作：Mij2.元素aij的代數(shù)余子式：

例如，在中，M32＝Aij＝(－1)i+jMijA23=(-1)2+3M23=一、余子式和代數(shù)余子式二、行列式按某行(列)展開定理

ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAina1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj行列思路:先證特殊情形再證一般情形；一般情形的證明通過轉(zhuǎn)化為特殊情形完成.證：①先證ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin②次證

i行逐一向下交換經(jīng)n－i次至末行

j列逐一向右交換經(jīng)n－j次至末列思路：化歸為情形①＝(－1)i＋jaijMij＝aijAij＝(－1)i＋jaijMnn￠由①③最后證畢＝ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin由②例1.計(jì)算行列式解法1：化上三角形法解法2：降階法D＝57=(-1)1+1=(-1)3+1利用行列式按行(列)展開定理計(jì)算行列式時(shí),一般利用有較多0的行(列)展開,對(duì)一般的數(shù)字行列式,可將某行(列)化到只剩一非零元時(shí)降階處理.

=10=(-1)2+2=5×(-1)2+3例2：計(jì)算引例（續(xù)）例3計(jì)算行列式首列元素全是1,第一行乘以(－1)加到下面各行只能使下面元素變?yōu)?,其它元素卻沒有規(guī)律，不可取。[分析]利用相鄰兩行元素較接近的特點(diǎn):從首行起,每行加其下行的(－1)倍,按首列展開后再使用該手法解：=(－1)n+1xn-2例4計(jì)算4階范德蒙(Vandermonde)行列式

[分析]

相鄰兩行元素較接近!

末行始,后一行加上其前行的(－

x1)倍,

a11下面元素都變?yōu)?,按首列展開，按首列展開后提取各列公因子得3階范德蒙行列式。再?gòu)哪┬惺?后一行加上其前行的(－

x2)倍，

…

…解：=(x2－x1)(x3－x1)(x4－x1)(x3－x2)(x4－x2)(x4－x3)連乘積記號(hào)可以證明n階“范德蒙行列式”3.推論:行列式某一行(列)的各元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.第s行理解：第s行＝0ai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0(i≠s)綜合定理及推論得“代數(shù)余子式的

重要性質(zhì)”:a1jA1t+a2jA2t+…+anjAnt=0(j≠t)對(duì)于行列式的列，類似地有：行列例5設(shè)=0，計(jì)算A41+A42+A43+A44.=a31A41+a32A42+a33A43+a34A44分析:A41+A42+A43+A44巧用第3行的四個(gè)1[分析]注意到第二、四行元素的特點(diǎn),利用行列式按某行展開定理的推論,將A31+A32+A33與A34+A35分別看成整體，列方程組求解.

解:，求(1)A31+A32+A33(2)A34+A35例6設(shè)a21A31+a22A32+a23A33+a24A34+

a25A35＝0a41A31+a42A32+a43A33+a44A34+

a45A35＝02(A31+A32+A33)+(

A34+A35)

＝0(A31+A32+A33)+2(

A34+A35)

＝0A31+A32+A33=0A34+A35=0思考:如何求

A41+A42+A43?解:例7設(shè)，計(jì)算A41+A42+A43+A44a31A41+a32A42+a33A43+a34A44＝0a41A41+a42A42+a43A43+a44A44＝DA41+A42+2A43+3

A44＝02A41+2A42+3A43+4

A44＝D兩式相減得A41+A42+A43+A44＝D=6思考：

其它解法A41+A42+A43+A441.幾個(gè)概念

(1)k階子式：任選k行k列

k階行列式，記作

M.(aij是行列式的一階子式)(2)k階子式的余子式：劃去k階子式所在的k行k列n－k階行列式，記M￠(3)k階子式的代數(shù)余子式:

三、拉普拉斯定理＊注2:行列式按行(列)展開是拉普拉斯定理k=1的情形2.拉普拉斯定理

的所有k階子式(共個(gè))與各自的代數(shù)余子式的乘積之和等于D.即：行列式D中任意選定k行(1≤k≤n),這k行元素組成D＝M1A1＋M2A2＋…＋MtAt()注1:拉普拉斯定理是將行列式按某k行(列)展開例8用拉普拉斯定理計(jì)算行列式

解：＝1×(－3)＋(－15)(－1)(－4)＋(－9)(－8)＝9例9計(jì)算行列式

解：法二按第五列展開后再按第一列展開(教材例1-11,P17)法一按三、