2023/7/291第五章速度運動學2023/7/292本章將進一步討論運動的幾何學及與時間有關(guān)的量，即討論機器人的速度運動學問題。速度運動學問題重要是因為操作機不僅需要達到某個（或一系列的）位置，而且常需要它按給定的速度達到這些位置。主要內(nèi)容：

5.1微分關(guān)系

5.2操作機的微分移動

5.3微分轉(zhuǎn)動的兩個定理

5.4微分算子

5.5雅可比矩陣及其變換

5.6雅可比矩陣的力學意義

5.1微分關(guān)系2023/7/292023/7/292023/7/292023/7/2965.2

操作機的微分移動

所謂微分運動指的是無限小的運動，即無限小的移動和無限小的轉(zhuǎn)動。它既可以用指定的當前坐標系來描述，也可以用基礎坐標系來描述。

對于微分移動（平動）的齊次變換矩陣T可表示為

式中是微分位移矢量在基礎坐標系或當前坐標系的分量。

2023/7/2975.3

微分轉(zhuǎn)動的兩個定理

若繞x軸轉(zhuǎn)微小角表示為，并考慮，則對x,y,z多軸微分轉(zhuǎn)動的齊次變換矩陣R應該有如下形式：

2023/7/298上面的近似等式是在略去二階與三階無窮小量的條件下獲得的。

2023/7/299定理1

繞任意單位向量轉(zhuǎn)動的微分轉(zhuǎn)動等效于繞軸x，y，z的3個微分轉(zhuǎn)動，，，并有于是總的轉(zhuǎn)動微分可由如下的齊次矩陣描述2023/7/2910證明：取以下的兩個相繼微分轉(zhuǎn)動，則有

略去二階無窮小量后得：

定理2

微分轉(zhuǎn)動與微分轉(zhuǎn)動的次序無關(guān)2023/7/29112023/7/29125.4

微分算子

已知坐標系下操作機的手部位姿可用齊次矩陣T來描述，經(jīng)過微分運動后變?yōu)門+dT。應用相對于基礎坐標系的左乘法則，T+dT可以表示為：

得2023/7/2913定義微分算子

得2023/7/2914例：設操作機的位姿為，求先實施轉(zhuǎn)動，再實施移動的微分運動dT，以及其后操作機的新位姿T+dT。

解：由于=0.1，dx=1；=0，dy=0；=0，dz=0.5由定義式得：2023/7/2915則操作機實施微分運動后的新位姿為：

2023/7/29162023/7/29172023/7/2918操作機實施微分運動后的新位姿為：5.4.2微分變換的解釋矩陣表示由于微分運動所引起的坐標系的變化，這個矩陣中的各元素為：

（5-22）dA意味著該x坐標系沿軸移動了-1.5個單位的微小量，沿y軸移動了0.8個單位的微小量，沿z軸移動了1.1個單位的微小量。同時它也意味著坐標系的旋轉(zhuǎn)使得在n向量的nx分量上改變了-0.3，在分量nz上改變了0.2，而在向量o的分量ox上改變了0.1，分量oy上改變了-0.2，在向量a的分量ay上改變了0.3，在其分量az上改變了-0.1。

2023/7/29225.5

雅可比矩陣及其變換

5.5.1

雅可比矩陣

即為著名的雅可比矩陣。通過可以實現(xiàn)從關(guān)節(jié)速度到基坐標速度的變換。

考慮操作機的手爪位姿r

和關(guān)節(jié)變量的關(guān)系用正運動學方程表示的情況。

對于6關(guān)節(jié)的操作機，有

，……，

2023/7/2923展開為：同樣對于m×n維的空間的機器人，其雅可比矩陣

2023/7/2924雅可比矩陣的一般形式：

一般地,對于n個自由度的機械手末端手爪的角速度和線速度，在基坐標系中的描述記為,。如果寫成一個向量具體的推導結(jié)果可表示為一個雅可比矩陣形式其中,Θ為n×1的機械手關(guān)節(jié)(旋轉(zhuǎn)或平移關(guān)節(jié))的位移向量。雅可比矩陣J(Θ)表明了機械手關(guān)節(jié)速度與末端(手爪)直角坐標速度之間的線性變換關(guān)系。2023/7/29255.5.2

雅可比逆矩陣當機械手有六個自由度時,雅可比矩陣J(Θ)為6×6方陣。如果J(Θ)可逆,那末只要給定機械手末端的直角坐標速度,就可以求得相應的關(guān)節(jié)速度

但是,雅可比矩陣J(Θ)是隨著機械手的形態(tài)變化的,某些形態(tài)下的Θ值就可能使J(Θ)成為奇異,這時的機械手末端位置稱之為機械手的奇異點。當機械手處于奇異形態(tài)時,它在直角坐標空間的自由度就有所減少,這意味著在直角坐標空間的某些方向上,無論選取什么樣的關(guān)節(jié)速度,機械手都不能沿著那些方向運動。奇異點可能處于機械手工作空間的邊界或工作空間內(nèi)部。2023/7/29265.5.3

操作機的雅可比矩陣及其逆矩陣

對于操作機

根據(jù)雅可比矩陣的定義式有：則2023/7/2927由操作機幾何關(guān)系得：

對t求導得

另外，有對t求導得

則求雅可比逆矩陣2023/7/29求雅可比逆矩陣根據(jù)逆矩陣的定義：2023/7/2929解：得例5-1試求圖所示的2自由度機械手的雅可比矩陣2023/7/292023/7/29315.5.4

雅可比矩陣的物理意義

關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2

和分別為和反時針轉(zhuǎn)動而成。

將雅可比矩陣定義為列向量

以上述例題為例：

有如何驗證？2023/7/2934解：已知，則，又知，則由已知矩陣式可知

分析：當x＝0時,。又因為已假設了y＝1，以致，即操作機手臂長度不為零，上式分母不為零，不會出現(xiàn)奇異問題。例5-2：已知：，當手部沿著y=1的直線以勻速運動，試將，表示為x的函數(shù)。2023/7/2935（1）對于，當r趨于0時，操作機出現(xiàn)奇異問題。此時操作機失控，即遇到速度趨于無窮大的困難。此時，若或為有限值時，和趨于無窮大。事實上 的條件是很容易辨別和避免的；（2）由以上操作機的雅可比矩陣及其逆陣的推導可以看出，當操作機具有6關(guān)節(jié)時，雅可比矩陣的推導將會更加復雜。由以上分析可以得出兩點結(jié)論：2023/7/292023/7/292023/7/292023/7/292023/7/292023/7/292023/7/29例5-3計算PUMA560機器人的雅克比矩陣由于PUMA560的6個關(guān)節(jié)都是轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，所以其雅克比矩陣含有6列。2023/7/29475.5

雅可比矩陣的力學意義類似于速度的雅可比矩陣形式,我們也可以得到一個力域中的雅可比矩陣形式,而且可以證明,在此,速度雅可比矩陣是以轉(zhuǎn)置的形式出現(xiàn)的其中,為n×1向量,表示n個關(guān)節(jié)上的平衡力/平衡力矩,而為作用在手爪上的直角坐標力/力矩形成的6×1向量。因此,實際上表示把手爪上的直角坐標力/力矩映射為等價的關(guān)節(jié)力/關(guān)節(jié)力矩。

機器人靜力分析2023/7/292023/7/2