類型二階梯費(fèi)用類問(wèn)題例1．某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規(guī)定每千克售價(jià)不低于成本，且不高于80元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，每天的銷售量y(kg)與每千克售價(jià)x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：售價(jià)x(元/kg)506070銷售量y(kg)1008060(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)商品每天的總利潤(rùn)為W(元)，求W與x之間的函數(shù)表達(dá)式(利潤(rùn)＝收入—成本)；(3)試說(shuō)明(2)中總利潤(rùn)W隨售價(jià)x的變化而變化的情況，并指出售價(jià)為多少元時(shí)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）y＝－2x＋200(40≤x≤80)；（2）w=－2x2＋280x－8000(40≤x≤80)；（3）當(dāng)x＝70時(shí)，利潤(rùn)W取得最大值，最大值為1800元．【解析】(1)根據(jù)題意，設(shè)y＝kx＋b，其中k，b為待定的常數(shù)，由表中的數(shù)據(jù)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50k＋b＝100，,60k＋b＝80，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝200，))∴y＝－2x＋200(40≤x≤80)；(2)根據(jù)題意得W＝y(tǒng)·(x－40)＝(－2x＋200)(x－40)＝－2x2＋280x－8000(40≤x≤80)；(3)由(2)可知：W＝－2(x－70)2＋1800，∴當(dāng)售價(jià)x在滿足40≤x≤70的范圍內(nèi)，利潤(rùn)W隨著x的增大而增大；當(dāng)售價(jià)在滿足70＜x≤80的范圍內(nèi)，利潤(rùn)W隨著x的增大而減?。喈?dāng)x＝70時(shí)，利潤(rùn)W取得最大值，最大值為1800元．例2．襄陽(yáng)市某企業(yè)積極響應(yīng)政府“創(chuàng)新發(fā)展”的號(hào)召，研發(fā)了一種新產(chǎn)品．已知研發(fā)、生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本為30元/件，且年銷售量y(萬(wàn)件)關(guān)于售價(jià)x(元/件)的函數(shù)表達(dá)式為：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋140（40≤x<60），,－x＋80（60≤x≤70）.))(1)若企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤(rùn)為W(萬(wàn)元)，請(qǐng)直接寫(xiě)出年利潤(rùn)關(guān)于售價(jià)x(元/件)的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)該產(chǎn)品的售價(jià)x(元/件)為多少時(shí)，企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？(3)若企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤(rùn)不少于750萬(wàn)元，試確定該產(chǎn)品的售價(jià)x(元/件)的取值范圍．【答案】（1）W＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x2＋200x－4200（40≤x<60），,－x2＋110x－2400（60≤x≤70）；))（2）800萬(wàn)（3）45≤x≤55.【解析】(1)W＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x2＋200x－4200（40≤x<60），,－x2＋110x－2400（60≤x≤70）；))(2)由(1)知，當(dāng)40≤x<60時(shí)，W＝－2(x－50)2＋800.∵－2<0，∴當(dāng)x＝50時(shí)，W有最大值800.當(dāng)60≤x≤70時(shí)，W＝－(x－55)2＋625.∵－1＜0，∴當(dāng)60≤x≤70時(shí)，W隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝60時(shí)，W有最大值為600.∵800>600，∴W最大值為800萬(wàn)元．答：當(dāng)該產(chǎn)品的售價(jià)定為50元/件時(shí)，銷售該產(chǎn)品的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為800萬(wàn)元；(3)當(dāng)40≤x＜60時(shí)，令W＝750，得－2(x－50)2＋800＝750，解得x1＝45，x2＝55.由函數(shù)W＝－2(x－50)2＋800的性質(zhì)可知，當(dāng)45≤x≤55時(shí)，W≥750，當(dāng)60≤x≤70時(shí)，W最大值為600＜750.答：要使企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤(rùn)不少于750萬(wàn)元，該產(chǎn)品的銷售價(jià)x(元/件)的取值范圍為45≤x≤55.例3．荊州市某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進(jìn)行小龍蝦養(yǎng)殖．已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元，在整個(gè)銷售旺季的80天里，銷售單價(jià)p(元/kg)與時(shí)間第t天之間的函數(shù)關(guān)系為p＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)t＋16（1≤t≤40，t為整數(shù)），,－\f(1,2)t＋46（41≤t≤80，t為整數(shù)），))日銷售量y(kg)與時(shí)間第t天之間的函數(shù)關(guān)系如圖3－3－1所示．(1)求日銷售量y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式？(2)哪一天的日銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？(3)該養(yǎng)殖戶有多少天日銷售利潤(rùn)不低于2400元？(4)在實(shí)際銷售的前40天中，該養(yǎng)殖戶決定每銷售1kg小龍蝦，就捐贈(zèng)m(m＜7)元給村里的特困戶．在這前40天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間t的增大而增大，求m的取值范圍．【答案】（1）y＝－2t＋200(1≤t≤80，t為整數(shù))；（2）W＝(p－6)y（3）21天（4）5≤m＜7.圖3－3－1【解析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法求解可得；圖3－3－1(2)設(shè)日銷售利潤(rùn)為W，分1≤t≤40和41≤t≤80兩種情況，根據(jù)“總利潤(rùn)＝每千克利潤(rùn)×銷售”列出函數(shù)表達(dá)式，由二次函數(shù)的性質(zhì)分別求得最值即可判斷；(3)求出W＝2400時(shí)x的值，結(jié)合函數(shù)圖象即可得出答案；(4)依據(jù)(2)中相等關(guān)系列出函數(shù)表達(dá)式，確定其對(duì)稱軸，由1≤t≤40且銷售利潤(rùn)隨時(shí)間t的增大而增大，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．解：(1)設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y＝kt＋b，將(1，198)，(80，40)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(198＝k＋b，,40＝80k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝200，))∴y＝－2t＋200(1≤t≤80，t為整數(shù))；(2)設(shè)日銷售利潤(rùn)為W，則W＝(p－6)y，①當(dāng)1≤t≤40時(shí)，W＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)t＋16－6))(－2t＋200)＝－eq\f(1,2)(t－30)2＋2450，∴當(dāng)t＝30時(shí)，W最大＝2450；②當(dāng)41≤t≤80時(shí)，w＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)t＋46－6))(－2t＋200)＝(t－90)2－100，∴當(dāng)t＝41時(shí)，W最大＝2301，∵2450＞2301，∴第30天的日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2450元；(3)由(2)得當(dāng)1≤t≤40時(shí)，W＝－eq\f(1,2)(t－30)2＋2450，令W＝2400，即－eq\f(1,2)(t－30)2＋2450＝2400，解得t1＝20，t2＝40，由函數(shù)W＝－eq\f(1,2)(t－30)2＋2450的圖象(如答圖)可知，當(dāng)20≤t≤40時(shí)，日銷售利潤(rùn)不低于2400元，第3題答圖而當(dāng)41≤t≤80時(shí)，W最大＝2301＜2400，∴t的取值范圍是20≤t≤40，∴共有21天符合條件；(4)設(shè)日銷售利潤(rùn)為W，根據(jù)題意，得W＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)t＋16－6－m))(－2t＋200)＝－eq\f(1,2)t2＋(30＋2m)t＋2000－200m，其函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為t＝2m＋30，∵W隨t的增大而增大，且1≤t≤40，∴由二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)可知2m＋30≥40，解得m≥5，又∵m＜7，∴5≤m＜7.例4．小慧和小聰沿圖3－3－2①中景區(qū)公路游覽．小慧乘坐車速為30km/h的電動(dòng)汽車，早上7：00從賓館出發(fā)，游玩后中午12：00回到賓館．小聰騎車從飛瀑出發(fā)前往賓館，速度為20km/h，途中遇見(jiàn)小慧時(shí)，小慧恰好游完一景點(diǎn)后乘車前往下一景點(diǎn)，上午10：00小聰?shù)竭_(dá)賓館．圖②中的圖象分別表示兩人離賓館的路程s(km)與時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系．試結(jié)合圖中信息回答：圖3－3－2(1)小聰上午幾點(diǎn)鐘從飛瀑出發(fā)？(2)試求線段AB，GH的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，并說(shuō)明它的實(shí)際意義；(3)如果小聰?shù)竭_(dá)賓館后，立即以30km/h的速度按原路返回，那么返回途中他幾點(diǎn)鐘遇見(jiàn)小慧？【答案】（1）7:30（2）如下（3）11:00【解析】(1)小聰從飛瀑到賓館所用的時(shí)間為50÷20＝2.5(h)，∵小聰上午10：00到達(dá)賓館，∴小聰從飛瀑出發(fā)的時(shí)刻為10－2.5＝7.5，即7：30.答：小聰早上7：30從飛瀑出發(fā)；(2)設(shè)直線GH的函數(shù)表達(dá)式為s＝kt＋b，由于點(diǎn)G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，50))，點(diǎn)H的坐標(biāo)為(3，0)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50＝\f(1,2)k＋b，,0＝3k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－20，,b＝60，))∴直線GH的函數(shù)表達(dá)式為s＝－20t＋60，又∵點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為30，∴當(dāng)s＝30時(shí)，得－20t＋60＝30，解得t＝eq\f(3,2)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，30)).答：點(diǎn)B的實(shí)際意義是上午8：30小慧與小聰在離賓館30km(即景點(diǎn)草甸)處第一次相遇；(3)方法一：設(shè)直線DF的函數(shù)表達(dá)式為s＝k1t＋b1，該直線過(guò)點(diǎn)D和F(5，0)，由于小慧從飛瀑回到賓館所用時(shí)間為50÷30＝eq\f(5,3)(h)，∴小慧從飛瀑準(zhǔn)備返回時(shí)t＝5－eq\f(5,3)＝eq\f(10,3)(h)，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，50)).則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)k1＋b1＝50，,5k1＋b1＝0，,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－30，,b1＝150.))∴直線DF的函數(shù)表達(dá)式為s＝－30t＋150，∵小聰上午10：00到達(dá)賓館后立即以30km/h的速度返回飛瀑，所需時(shí)間為50÷30＝eq\f(5,3)(h)．第4題答圖如答圖，HM為小聰返回時(shí)s關(guān)于t的函數(shù)圖象，第4題答圖∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3＋eq\f(5,3)＝eq\f(14,3)，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,3)，50))，設(shè)直線HM的函數(shù)表達(dá)式為s＝k2t＋b2，該直線過(guò)點(diǎn)H(3，0)和Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,3)，50))，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50＝\f(14,3)k2＋b2，,0＝3k2＋b2，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(解得k2＝30，,b2＝－90.))∴直線HM的函數(shù)表達(dá)式為s＝30t－90，由30t－90＝－30t＋150，解得t＝4，即11：00.答：小聰返回途中上午11：00遇見(jiàn)小慧；方法二：如答圖，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥x軸于點(diǎn)Q，由題意，可得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為兩人相遇時(shí)距賓館的路程，又∵兩人速度均為30km/h，∴該路段兩人所花時(shí)間相同，即HQ＝QF，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為4.答：小聰返回途中上午11：00遇見(jiàn)小慧．例5．月電科技有限公司用160萬(wàn)元，作為新產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用，成功研制出了一種市場(chǎng)急需的電子產(chǎn)品，已于當(dāng)年投入生產(chǎn)并進(jìn)行銷售．已知生產(chǎn)這種電子產(chǎn)品的成本為4元/件，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：每年的年銷售量y(萬(wàn)件)與銷售價(jià)格x(元/件)的關(guān)系如圖3－3－3所示，其中AB為反比例函數(shù)圖象的一部分，BC為一次函數(shù)圖象的一部分．設(shè)公司銷售這種電子產(chǎn)品的年利潤(rùn)為W(萬(wàn)元)．(注：若上一年盈利，則盈利不計(jì)入下一年的年利潤(rùn)；若上一年虧損，則虧損記做下一年的成本)圖3－3－3(1)請(qǐng)求出y(萬(wàn)件)與x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式．(2)求出第一年這種電子產(chǎn)品的年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)與x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出第一年年利潤(rùn)的最大值．(3)假設(shè)公司的這種電子產(chǎn)品第一年恰好按年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)取得最大值時(shí)進(jìn)行銷售，現(xiàn)根據(jù)第一年的盈虧情況，決定第二年將這種電子產(chǎn)品每件的銷售價(jià)格x(元)定在8元以上(x＞8)，當(dāng)?shù)诙甑哪昀麧?rùn)不低于103萬(wàn)元時(shí)，請(qǐng)結(jié)合年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)與銷售價(jià)格x(元/件)的函數(shù)示意圖，求銷售價(jià)格x(元/件)的取值范圍．【答案】（1）y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(160,x)（4≤x≤8），,－x＋28（8＜x≤28）；))（2）當(dāng)每件的銷售價(jià)格定為16元時(shí)，第一年的年利潤(rùn)的最大值為－16萬(wàn)元．（3）當(dāng)11≤x≤21時(shí)，第二年的年利潤(rùn)W不低于103萬(wàn)元．【解析】(1)求y(萬(wàn)件)與x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合圖象，是一個(gè)分段函數(shù)，已知點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法可求；(2)根據(jù)“年利潤(rùn)＝年銷售量×每件的利潤(rùn)－成本(160萬(wàn)元)”，可求出年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)與x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式，但要注意的是和第(1)問(wèn)一樣是分段函數(shù)，根據(jù)每段的函數(shù)特征分別求出最大值，再比較這兩個(gè)數(shù)值的大小，從而確定第一年的年利潤(rùn)的最大值；(3)根據(jù)條件“第二年的年利潤(rùn)不低于103萬(wàn)元”，可得W≥103，這是一個(gè)一元二次不等式，觀察年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)與銷售價(jià)格x(元/件)的函數(shù)示意圖，從而得出結(jié)果．解：(1)當(dāng)4≤x≤8時(shí)，設(shè)y＝eq\f(k,x)，將A(4，40)代入，得k＝4×40＝160.∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\f(160,x).當(dāng)8＜x≤28時(shí)，設(shè)y＝kx＋b，將B(8，20)，C(28，0)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8k＋b＝20，,28k＋b＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝28.))∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x＋28.∴綜上所述，得y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(160,x)（4≤x≤8），,－x＋28（8＜x≤28）；))(2)當(dāng)4≤x≤8時(shí)，W＝(x－4)×y－160＝(x－4)×eq\f(160,x)－160＝－eq\f(640,x).∵W隨著x的增大而增大，∴當(dāng)x＝8時(shí)，Wmax＝－eq\f(640,8)＝－80.當(dāng)8＜x≤28時(shí)，W＝(x－4)×y－160＝(x－4)×(－x＋28)－160＝－x2＋32x－272＝－(x－16)2－16.∴當(dāng)x＝16時(shí)，Wmax＝－16.∵－16＞－80，∴當(dāng)每件的銷售價(jià)格定為16元時(shí)，第一年的年利潤(rùn)的最大值為－16萬(wàn)元．(3)∵第一年的年利潤(rùn)為－16萬(wàn)元．∴16萬(wàn)元應(yīng)作為第二年的成本．第5題答圖又∵x＞8，第5題答圖∴第二年的年利潤(rùn)W＝(x－4)(－x＋28)－16＝－x2＋32x－128，令W＝103，則－x2＋32x－128＝103，解得x1＝11，x2＝21.在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出W與x的函數(shù)示意圖如答圖，觀察示意圖可知：當(dāng)W≥103時(shí)，11≤x≤21.∴當(dāng)11≤x≤21時(shí)，第二年的年利潤(rùn)W不低于103萬(wàn)元．例6．某水果店在兩周內(nèi)，將標(biāo)價(jià)為10元/斤的某種水果，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格為8.1元/斤，并且兩次降價(jià)的百分率相同．(1)求該種水果每次降價(jià)的百分率；(2)從第一次降價(jià)的第1天算起，第x天(x為正數(shù))的售價(jià)、銷量及儲(chǔ)存和損耗費(fèi)用的相關(guān)信息如表所示．已知該種水果的進(jìn)價(jià)為4.1元/斤，設(shè)銷售該水果第x(天)的利潤(rùn)為y(元)，求y與x(1≤x＜15)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出第幾天時(shí)銷售利潤(rùn)最大？時(shí)間x(天)1≤x＜99≤x＜15x≥15售價(jià)(元/斤)第1次降價(jià)后的價(jià)格第2次降價(jià)后的價(jià)格銷量(斤)80－3x120－x儲(chǔ)存和損耗費(fèi)用(元)40＋3x3x2－64x＋400(3)在(2)的條件下，若要使第15天的利潤(rùn)比(2)中最大利潤(rùn)最多少127.5元，則第15天在第14天的價(jià)格基礎(chǔ)上最多可降多少元？【解析】(1)