湖北省武漢市湘鄉(xiāng)市第四中學高二數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.橢圓的焦點為F1、F2，AB是橢圓過焦點F1的弦，則△ABF2的周長是（）A．20 B．12 C．10 D．6參考答案：A【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)橢圓的標準方程，求出a的值，由△ABF2的周長是（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a求出結(jié)果．【解答】解：橢圓，∴a=5，b=3．△ABF2的周長是（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=20，故選A．2.閱讀下列程序：輸入x；if

x＜0，

then

y＝；else

if

x＞0，

then

y＝；else

y＝0；輸出y．

如果輸入x＝－2，則輸出結(jié)果y為(

)A．－5

B．－－5

C．

3＋

D．3－參考答案：D無3.兩條不重合的直線l1和l2的方向向量分別為v1＝(1，－1,2)，v2＝(0,2,1)，則l1與l2的位置關系是()A．平行B．相交

C．垂直

D．不確定參考答案：C略4.復數(shù)滿足，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C5.設，曲線在點處切線的斜率為2,則(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B6.設為拋物線的焦點，為該拋物線上三點，若，則（

）A．9

B．6

C．4

D．3參考答案：B7.在復平面內(nèi)，復數(shù)（i是虛數(shù)單位）對應的點在（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：B8.設l，m，n均為直線，其中m，n在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；直線與平面垂直的性質(zhì)．【專題】閱讀型．【分析】由題意可知：l⊥α時，由線面垂直性質(zhì)定理知，l⊥m且l⊥n．但反之不能成立，由充分必要條件概念可獲解．【解答】解：l，m，n均為直線，m，n在平面α內(nèi)，l⊥α?l⊥m且l⊥n（由線面垂直性質(zhì)定理）．反之，如果l⊥m且l⊥n推不出l⊥α，也即m∥n時，l也可能平行于α．由充分必要條件概念可知，命題中前者是后者成立的充分非必要條件．故選：A．【點評】本題主要考查線面垂直和充分必要條件的有關知識．主要注意兩點：（1）線面垂直判定及性質(zhì)定理．（2）充分必要條件的判定，要注意方向性，即誰是誰的．9.已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若的可能取值為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D10.某人上班途中要經(jīng)過三個有紅綠燈的路口，設遇到紅燈的事件相互獨立，且概率都是0.3，則此人上班途中遇到紅燈的次數(shù)的期望為（）A．0.3 B．0.33 C．0.9 D． 0.7參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則

參考答案：略12.若復數(shù)z滿足|z|=1（i為虛數(shù)單位），則|z﹣2i|的最小值是．參考答案：1【考點】復數(shù)求模．【分析】復數(shù)z滿足|z|=1（i為虛數(shù)單位），設z=cosθ+isinθ，θ∈[0，2π）．利用復數(shù)模的計算公式與三角函數(shù)求值即可得出．【解答】解：∵復數(shù)z滿足|z|=1（i為虛數(shù)單位），設z=cosθ+isinθ，θ∈[0，2π）．則|z﹣2i|=|cosθ+i（sinθ﹣2）|==≥1，當且僅當sinθ=1時取等號．故答案為：1．【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則、模的計算公式及其三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．13.拋物線y=4x2的焦點坐標是．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】先化簡為標準方程，進而可得到p的值，即可確定答案．【解答】解：由題意可知∴p=∴焦點坐標為故答案為【點評】本題主要考查拋物線的性質(zhì)．屬基礎題．14.已知向量若，則

.參考答案：考點：向量的數(shù)量積的運算．15.點是橢圓上的一個動點，則的最大值為___________。參考答案：

橢圓為，設，16.已知三棱錐中，，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為__________．參考答案：17.在長為的線段上任取一點,則點與線段兩端點、的距離都大于的概率是

.

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.4月23人是“世界讀書日”，某中學在此期間開展了一系列的讀書教育活動，為了解本校學生課外閱讀情況，學校隨機抽取了100名學生對其課外閱讀時間進行調(diào)查，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學生日均課外閱讀時間（單位：分鐘）的頻率分布直方圖，若將日均課外閱讀時間不低于60分鐘的學生稱為“讀書謎”，低于60分鐘的學生稱為“非讀書謎”（1）根據(jù)已知條件完成下面2×2的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認為“讀書謎”與性別有關？

非讀書迷讀書迷合計男

15

女

45合計

（2）將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校大量學生中，用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中的“讀書謎”的人數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X的分布列，期望E（X）和方程D（X）附：K2=n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828參考答案：【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差；BL：獨立性檢驗．【分析】（1）利用頻率分布直方圖，直接計算填寫表格，然后利用個數(shù)求解K2，判斷即可．（2）求出概率的分布列，然后利用超幾何分布求解期望與方差即可．【解答】解：（1）完成下面的2×2列聯(lián)表如下

非讀書迷讀書迷合計男401555女202545合計6040100…≈8.249VB8.249＞6.635，故有99%的把握認為“讀書迷”與性別有關…（2）視頻率為概率．則從該校學生中任意抽取1名學生恰為讀書迷的概率為．由題意可知X～B（3，），P（x=i）=（i=0，1，2，3）…從而分布列為X0123P．…E（x）=np=，D（x）=np（1﹣p）=…19.(本小題滿分13分)為抗擊金融風暴，某工貿(mào)系統(tǒng)決定對所屬企業(yè)給予低息貸款的扶持，該系統(tǒng)先根據(jù)相關評分標準對各個企業(yè)進行了評估，并依據(jù)評估得分將這些企業(yè)分別評定為優(yōu)秀、良好、合格、不合格4個等級，然后根據(jù)評估等級分配相應的低息貸款金額，其評估標準和貸款金額如下表：評估得分[50，60)[60，70)[70，80)[80，90]評定類型不合格合格良好優(yōu)秀貸款金額(萬元)0200400800為了更好地掌控貸款總額，該系統(tǒng)隨機抽查了所屬部分企業(yè)的評估分數(shù)，得其頻率分布直方圖如下：(1)估計該系統(tǒng)所屬企業(yè)評估得分的中位數(shù)及平均；

(2)該系統(tǒng)要求各企業(yè)對照評分標準進行整改，若整改后優(yōu)秀企業(yè)數(shù)量不變，不合格企業(yè)、合格企業(yè)、良好企業(yè)的數(shù)量依次成等差數(shù)列，系統(tǒng)所屬企業(yè)獲得貸款的均值(即數(shù)學期望)不低于410萬元，那么整改后不合格企業(yè)占企業(yè)總數(shù)的百分比的最大值是多少？參考答案：解：(1)因為0.015×10=0.15,

0.04×10=0.4,在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的面積相等,所以中位數(shù)在區(qū)間[60,70)內(nèi),設中位數(shù)為x,則(60-50)×0.015+(x-60)×0.04=0.5,解得x=68.75所以估計該系統(tǒng)所屬企業(yè)評估得分的中位數(shù)是68.75.………………2分平均分為:55×0.15+65×0.4+75×0.2+85×0.25=70.5分.………………4分(2)依題意,整改后優(yōu)秀企業(yè)的頻率為10×0.025=0.25,………………5分不合格企業(yè),合格企業(yè),良好企業(yè)的頻率成等差數(shù)列,設該等差數(shù)列的首項為a,公差為d,則………………7分設該系統(tǒng)所屬企業(yè)獲得貸款的均值為,則………………10分由≥410，得450－400a≥410，即a≤0.1.

………………12分故整改后不合格企業(yè)占企業(yè)總數(shù)的百分比的最大值是10%.

………………13分

略20.（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2sin2+cos2B=1（1）若b=，a=3，求c的值；（2）設t=sinAsinC，當t取最大值時求A的值．參考答案：（1）4；（2）A=時，．（1）∵2sin2+cos2B=1，∴2cos2B+cosB﹣1=0∴cosB=（cosB=﹣1舍去），∴B=由余弦定理，可得∴c2﹣3c﹣4=0∴c=1或c=4c=1時，c＜a＜b，C＜A＜B=，與三角形內(nèi)角和矛盾，舍去，∴c=4；（2）t=sinAsinC=sinAsin（）=sinA（）==，∵，∴∈∴∴當，即A=時，．21.已知數(shù)列滿足：.（1）用數(shù)學歸納法證明：使；（2）求的末位數(shù)字．參考答案：解：⑴當假設當則當時，…其中….所以所以-------6分（2），故的末位數(shù)字是7…………10分22.如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）證明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱錐E﹣ACD的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積．參考答案：【考點】LY：平面與平面垂直的判定；LE：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積．【分析】（Ⅰ）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）根據(jù)三棱錐的條件公式，進行計算即可．【解答】證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴AC⊥BE，則AC⊥平面BED，∵AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED；解：（Ⅱ）設AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，得AG=GC=x，GB=GD=，∵AE⊥EC，△EBG為直角三角形，∴EG=AC=AG=x，則BE==x，∵三棱錐E﹣ACD的體積V===，解得x=2，即AB=2，∵∠ABC=12