弧、弦、圓心角(答案版)弧、弦、圓心角定義如圖所示，∠AOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．

定理：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．

推論：

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦也相等．

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧也相等．注意：

(1)一個(gè)角要是圓心角，必須具備頂點(diǎn)在圓心這一特征；

(2)注意定理中不能忽視“同圓或等圓”這一前提.題型1：弧、弦、圓心角的概念1.1．下列命題中，正確的命題是（）A．三角形的外心是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)B．三點(diǎn)確定一個(gè)圓C．平分一條弦的直徑一定重直于弦D．相等的兩個(gè)圓心角所對(duì)的兩條弧相等【答案】A【解析】【解答】解：A、符合外心的定義，故原命題正確；B、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故原命題錯(cuò)誤；C、平分一條弦（非直徑）的直徑一定垂直于弦，故原命題錯(cuò)誤；D、在同圓或等圓中，相等的兩個(gè)圓心角所對(duì)的兩條弧相等，故原命題錯(cuò)誤.故答案為：A.【分析】根據(jù)外心的定義、確定一個(gè)圓的條件，垂徑定理的推論，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系逐一判斷即可.【變式1-1】下列語(yǔ)句中，正確的有()①相等的圓心角所對(duì)的弧相等；②等弦對(duì)等?。虎坶L(zhǎng)度相等的兩條弧是等?。虎芙?jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對(duì)稱軸.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【解析】【解答】解：①相等的圓心角所對(duì)的弧相等，錯(cuò)誤，條件是同圓或等圓中.②等弦對(duì)等弧，錯(cuò)誤，弦所對(duì)的弧有兩條，不一定相等.③長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧，錯(cuò)誤，等弧是完全重合的兩條弧.④經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對(duì)稱軸.正確.故答案為：A.【分析】根據(jù)同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等可判斷A；根據(jù)弦所對(duì)的弧有兩條可判斷B；根據(jù)等弧的概念可判斷C；根據(jù)圓的對(duì)稱性可判斷D.【變式1-2】下列有關(guān)圓的一些結(jié)論：①平分弧的直徑垂直于弧所對(duì)的弦；②平分弦的直徑垂直于弦；③在同圓或等圓中，相等的弦對(duì)應(yīng)的圓周角相等；④同弧或等弧所對(duì)的弦相等.其中正確的有（）A．①③ B．①④ C．②④ D．①②④【答案】B【解析】【解答】解：①平分弧的直徑垂直于弧所對(duì)的弦，選項(xiàng)正確，符合題意；②如果平分的弦是直徑的話，平分這條弦的直徑不一定垂直于弦，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；③在同圓或等圓中，相等的弦對(duì)應(yīng)的圓周角不一定相等，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；④同弧或等弧所對(duì)的弦相等，選項(xiàng)正確，符合題意.∴正確的有：①④.故答案為：B.【分析】根據(jù)垂徑定理可判斷①②；根據(jù)弧、圓周角的關(guān)系可判斷③；根據(jù)弧、弦的關(guān)系可判斷④.題型2：弧、弦、圓心角求角度2.如圖，以AB為直徑的半圓上有一點(diǎn)C，∠C＝25°，則BC的度數(shù)為()A．25° B．30° C．50° D．65°【答案】C【解析】【解答】解：∵OC＝OA，∴∠A＝∠C＝25°，∴∠BOC＝2∠A＝50°，∴BC的度數(shù)為50°.故答案為：C.【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得∠A＝∠C＝25°，利用同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍可得∠BOC＝50°，據(jù)此可得BC的度數(shù).【變式2-1】如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、D是BE的三等分點(diǎn)，∠AOE=60°，則∠BODA．40° B．60° C．80° D．120°【答案】C【解析】【解答】解：∵∠AOE=60°∴∠BOE=180°-∠AOE=120°∴BE的度數(shù)是120°∵C、D是BE上的三等分點(diǎn)∴弧CD與弧BC的度數(shù)都是40度∴∠BOD=80°．故答案為：C．

【分析】先利用平角求出∠BOE=180°-∠AOE=120°，再根據(jù)C、D是BE上的三等分點(diǎn)，得到弧CD與弧BC的度數(shù)都是40度，即可得到答案?！咀兪?-2】如圖，在⊙O中，AC=BD，∠AOD=150°，∠BOC=80°，則∠AOBA．20° B．25° C．30° D．35°【答案】D【解析】【解答】∵AC=BD∴AC-∴AB=∴∠AOB=∠∵∠AOD=150°，∠BOC=80°，∴∠AOB=故答案為：D．【分析】先求出AB?=CD?題型3：弧、弦、圓心角求線段3.如圖，在⊙O中，若AB=CD，且AD＝3，求CB的長(zhǎng)度．【解題思路】根據(jù)AB=CD，得到BC=AD，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得到CB【解答過程】解：∵AB=CD∴AB-AC=CD∴CB＝AD＝3．【變式3-1】如圖，已知⊙O的半徑為5，AB⊥CD，垂足為P，且AB=CD=8，則OPA．3 B．4 C．32 D．【答案】C【解析】【解答】作OF∵∴在RtΔOBE中，OB∴∴∴故答案為：C.【分析】作OF⊥CD，OE⊥AB，由在同圓或等圓中，如果圓心角、弦、弧三組量中，有其中一組量相等，那么其余各組量也分別相等可得OE=OF，在RtΔOBE中，用勾股定理可求OE的長(zhǎng)，則OF=OE可求，根據(jù)有三個(gè)角是直角且有一組鄰邊相等的四邊形是正方形可得OFPE是正方形，所以可得PF=OF，用勾股定理可求得OP的長(zhǎng)。

【變式3-2】如圖，MN是⊙O的直徑，點(diǎn)A是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)B是AN的中點(diǎn)，點(diǎn)B'是點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)，⊙O的半徑為1，則AB'的長(zhǎng)等于（）A．1 B．2 C．3 D．2【解題思路】連接OB、OB′，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得到∠AOB′＝90°，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【解答過程】解：連接OB、OB′，∵點(diǎn)A是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，∴∠AON＝60°，∵點(diǎn)B是AN的中點(diǎn)，∴∠BON＝30°，∵點(diǎn)B'是點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)，∴∠B′ON＝30°，∴∠AOB′＝90°，∴AB′=12故選：B．題型4：弧、弦、圓心角與比較問題4.如圖，在同圓中，弧AB等于弧CD的2倍，試判斷AB與2CD的大小關(guān)系是（）A．AB>2CD B．AB<2CD C．【答案】B【解析】【解答】連接OA、OB、OC、OD，取弧AB的中點(diǎn)E，連接AE、BE∴弧AE=BE∵弧AB=弧CD∴∠AOB=2∠COD∴弧AE=弧BE=弧CD∴AE=BE=CD∵AE∴2∴AB故答案為：B【分析】先畫圖，再根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系得出∠AOB=2∠COD，取弧AB的中點(diǎn)E，連接AE、BE,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得出AB<AE+BE,從而得出AB<2CD．【變式4-1】如圖，在⊙O中，AB=2AC，AD⊥OC于點(diǎn)D，比較大小AB2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．【答案】=【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)E，交⊙O∴AF=∵∴∠∵AD⊥OC，AE∴即AB故答案為：=【分析】先求出∠AOF=∠AOC【變式4-2】如圖，AC=BC，D、E分別是半徑OA和OB的中點(diǎn)，試判斷CD與CE【答案】解：CD=CE.理由：連接OC，∵D、E分別是OA、OB的中點(diǎn)，∴OD=12OA，OE=12∵OA=OB，∴OD=OE，又∵AC=BC，∴∠DOC=∠EOC，在△OCD和△OCE中，，∴△CDO≌△CEO（SAS），∴CD=CE.【解析】【分析】首先連接OC，由AC=BC，根據(jù)弧與圓心角的關(guān)系，可得∠COD=∠COE，又由D、E分別是半徑OA和OB的中點(diǎn)，可得OD=OE，則可利用SAS，判定△COD≌△COE題型5：弧、弦、圓心角與證明問題5.如圖，已知⊙O的兩條弦AB、CD，且AB＝CD．求證：AD＝BC．【答案】證明：∵⊙O的兩條弦AB、CD，AB＝CD，∴∴∴∴【解析】【分析】先求出AB?-【變式5-1】如圖，A，B是⊙O上的兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)．求證：∠A=∠B【答案】證明：連接OC．∵C是AB的中點(diǎn)，∴AC=BC∴∠AOC=∠BOC，∵OA=OB，OC=OC，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴∠A=∠B．【解析】【分析】先求出AC=BC，再利用【變式5-2】如圖，⊙O的弦AB、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，且EA＝EC．求證：AB＝CD．【答案】證明：如圖，連接AC，∵EA＝EC，∴∠A=∠C，由圓周角定理，由AD=∴AD-即AB=∴AB=CD【解析】【分析】利用圓周角定理可得AD=BC，再利用弧的運(yùn)算可得AB=題型6：弧、弦、圓心角綜合問題6.如圖，MB，MD是⊙O的兩條弦，點(diǎn)A，C分別在MB，MD上，且AB=CD，M是求證：（1）MB=（2）過O作OE⊥MB于點(diǎn)E.當(dāng)OE=1，MD=4時(shí)，求【答案】（1）證明：∵M(jìn)為AC的中點(diǎn)

∴AM=CM，

∵AB=CD，

∴AB=CD

∴AM+AB=（2）解：連接OM，∵OE⊥MB，∴ME=1∵OE根據(jù)勾股定理得：OM∴半徑為5【解析】【分析】（1）由中點(diǎn)的概念可得AM=CM，根據(jù)弦、弧的關(guān)系可得AB=CD，進(jìn)而推出BM=DM，據(jù)此證明；

（2）連接OM，由垂徑定理可得ME=【變式6-1】如圖，過⊙O的直徑AB上兩點(diǎn)M，N，分別作弦CD，EF，若CD∥EF，AC=BF．求證：（1）弧BC=弧AF；（2）AM=BN．【答案】（1）解：連接OC、OF，∵AC=BF，∴∠COA=∠BOF，∴∠COB=∠FOA．

∴弧BC=弧AF（2）解：∵∠COA=∠BOF，OC=OF=OA=OB∴∠A=∠OCA=∠BFC=∠B，∴∠BFC=∠ACF．∵CD∥EF，∴∠AMC=∠ANE．又∵∠BNF=∠ANE．∴∠AMC=∠BNF．在△AMC和△BNF中∠∴△AMC≌△BNF（AAS）∴AM=BN．【解析】【分析】（1）連接OC、OF，利用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理，可證得∠COA=∠BOF，從而可證得∠COB=∠FOA，就可得出它們所對(duì)的弧相等。

（2）利用等邊對(duì)等角及等量代換，可證得∠BFC=∠ACF．再利用平行線的性質(zhì)及等量代換證明∠AMC=∠BNF，然后利用全等三角形的判定和性質(zhì)，可證得結(jié)論?！咀兪?-2】如圖，在⊙O中，弦AD，BC相交于點(diǎn)E，連接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB.（1）求證：AB＝CD；（2）如果⊙O的直徑為10，DE＝1，求AE的長(zhǎng).【答案】（1）證明：如圖，∵AD=BC，∴AD=BC，∴AD﹣BD=BC﹣BD，即AB=CD，∴AB=CD；（2）解：如圖，過O作OF⊥AD于點(diǎn)F，作OG⊥BC于點(diǎn)G，連接OA、OC.則AF=FD，BG=CG.∵AD=BC，∴AF=CG.在Rt△AOF與Rt△COG中，AF=CG∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF=OG，∴四邊形OFEG是正方形，∴OF=EF.設(shè)OF=EF=x，則AF=FD=x+1，在直角△OAF中.由勾股定理得到：x2+（x+1）2=52，解得x=5.則AF=3+1=4，即AE=AF+3=7.【解析】【分析】（1）根據(jù)弧、弦的關(guān)系可得AD=BC，進(jìn)而推出AB=CD，據(jù)此證明；

（2）過O作OF⊥AD于點(diǎn)F，作OG⊥BC于點(diǎn)G，連接OA、OC，則AF=FD，BG=CG，利用HL證明Rt△AOF≌Rt△COG，得到OF=OG，推出四邊形OFEG是正方形，得到OF=EF，設(shè)OF=EF=x，則AF=x+1，在Rt△OAF中，由勾股定理可得x，進(jìn)而得到AF、AE的值.弧、弦、圓心角練習(xí)一、單選題1．已知AB、CD是兩個(gè)不同圓的弦，如AB=CD，那么AB與CD的關(guān)系是（）A．AB=CD B．AB＞CDC．AB＜CD D．不能確定【答案】D【解析】【解答】解：在同圓和等圓中相等的弦所對(duì)的弧才會(huì)相等，要注意同圓和等圓的條件，本題是兩個(gè)不同的圓，所以無法判斷兩弦所對(duì)的弧的大小，故答案為：D【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，如果圓心角、弦、弧三組量中，有其中一組量相等，那么其余各組量也分別相等可知，題目中缺少了條件“在同圓或等圓中”。2．如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，AD∥BC．那么AB與CD的數(shù)量關(guān)系是（）A．AB=CD B．AB＞CDC．AB＜CD D．無法確定【答案】A【解析】【解答】證明：連接AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴AB^=CD^故答案為：A．【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DAC=∠ACB，再根據(jù)在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等進(jìn)行判斷。3．如圖所示，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠A=30°，則∠B=

A．150° B．75° C．60° D．15°【答案】B【解析】【分析】∵在⊙O中，弧AB=弧AC，∴AB=AC。∴∠B=∠C。

又∵∠A=30°，∴根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠B=180°-4．下列說法正確的個(gè)數(shù)有（）①一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c＝0②平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。弁一虻认宜鶎?duì)的圓周角相等④方程x2＝x的解是x＝1．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】【解答】解：①一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c＝0（a≠0），所以①不符合題意；②平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，所以②不符合題意；③同弦或等弦所對(duì)的圓周角相等或互補(bǔ)，所以③不符合題意；④方程x2＝x的解是x＝1或x＝0，所以④不符合題意；故答案為：A．【分析】根據(jù)有關(guān)性質(zhì)與定理，分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．5．如圖，在⊙O中，AB∧=2CDA．AB＞2CD B．AB=2CDC．AB＜2CD D．以上都不正確【答案】C【解析】【解答】取AB∧的中點(diǎn)E，連接AE，BE，∵在⊙O中，AB∧=2CD∧，∴AE∧=BE∧=CD∧，∴AE=BE=CD，∵AE+BE＞AB，∴【分析】首先取AB∧的中點(diǎn)E，連接AE，BE，由在⊙O中，AB∧=2CD∧，可證得AE∧=BE∧6．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB=40°，則∠A的度數(shù)為（）A．60° B．50° C．40° D．30°【答案】B【解析】【解答】解：∵OB=OC

∴∠OBC=∠OCB=40°

∴∠BOC=180°-40°-40°=100°

∴∠A=100°÷2=50°故答案為：B.

【分析】根據(jù)圓的半徑相等，由三角形的內(nèi)角和定理，即可得到∠O的度數(shù)，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，即可得到答案。二、填空題7．如圖，AB是⊙O的直徑，∠AOE＝78°，點(diǎn)C、D是弧BE的三等分點(diǎn)，則∠COE＝．【答案】68°【解析】【解答】∵∠AOE=78°，∴劣弧AE的度數(shù)為78°．∵AB是⊙O的直徑，∴劣弧BE的度數(shù)為180°﹣78°=102°．∵點(diǎn)C、D是弧BE的三等分點(diǎn)，∴∠COE=23故答案為：68°．【分析】根據(jù)∠AOE的度數(shù)求出劣弧AE的度數(shù)，得到劣弧BE的度數(shù)，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理解答即可．8．如圖，在⊙O中，若弧AB＝BC＝CD，則AC與2CD的大小關(guān)系是：AC2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【答案】＜【解析】【解答】解：連接AB、BC，如圖，∵AB=BC∴AB=BC=CD，∵AB+BC＞AC，∴2CD＞AC，即AC＜2CD．故答案為：＜．

【分析】連接AB、BC，根據(jù)題意知：ABBCCD，又由三角形三邊得到AB+BC>AC得到：AC＜2CD．9．將一個(gè)圓分成四個(gè)扇形，它們的圓心角的度數(shù)比為2：4：5：7，則最大扇形的圓心角是．【答案】140°【解析】【解答】解：設(shè)四個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是2x，4x，5x，7x，得出方程2x+4x+5x+7x=360，解得：x=20，故7×20°=140°．故答案為：140°【分析】將一個(gè)圓分成四個(gè)扇形，可知道四個(gè)圓心角的度數(shù)之和為360°，根據(jù)它們的圓心角的度數(shù)比為2：4：5：7，設(shè)未知數(shù)建立方程，求解即可知道最大圓心角的度數(shù)。10．如圖，C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，連結(jié)AC，BC，分別以AC，BC為底邊向外作高為AC，BC長(zhǎng)的等腰△ACM，等腰△BCN，AC∧，BC∧的中點(diǎn)分別是P，Q．若MP+NQ=12，AC+BC=15，則AB的長(zhǎng)是【答案】10.5【解析】【解答】解：連接OP，OQ，∵AC∧，BC∧的中點(diǎn)分別是P，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BD的中點(diǎn)，∴OH+OI=12（AC+BC）=15∵M(jìn)H+NI=AC+BC=15，MP+NQ=12，∴PH+QI=15﹣12=3，∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=152+3=21故答案為：10.5．【分析】連接OP，OQ，根據(jù)AC∧，BC∧的中點(diǎn)分別是P，Q得到OP⊥AC，OQ⊥BC，從而得到H、I是AC、BD的中點(diǎn)，利用中位線定理得到OH+OI=12（AC+BC）=152和三、解答題11．如圖，AD、BC是⊙O的兩條弦，且AB＝CD，求證：AD＝BC．【答案】證明：∵AB，CD是⊙O的兩條弦，且AB=CD，∴AB=∴AB-∴AD=∴AD=BC．【解析】【分析】根據(jù)同圓中等弦所對(duì)的優(yōu)弧與劣弧分別相等得AB=CD，然后根據(jù)弧的和差關(guān)系得出AD=12．已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD為⊙O的弦，∠1＝∠2，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求證：BE＝CF.【答案】證明：連接DB、DF，∵∠A的平分線AD交圓于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，∠DBE＝∠DFC＝90°，∠BAD＝∠CAD，∴DB＝DC，∴在Rt△BED和Rt△CFD中，DE∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF.【解析】【分析】連接DB、DF，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到DE和DF的關(guān)系，弦DB和DC的關(guān)系，再根據(jù)三角形全等的知識(shí)可以得到BE和CF的關(guān)系.13．如圖，∠AOB=90°，C、D是AB∧的三等分點(diǎn)，AB分別交OC、OD于點(diǎn)E、F，求證：AE=CD【答案】證明：連接AC，∵∠AOB=90°，C、D是AB∧∴∠AOC=∠COD=30°，∴AC=CD，又OA=OC，∴∠ACE=75°，∵∠AOB=90°，OA=OB，∴∠OAB=45°，∠AEC=∠AOC+∠O