對偶與靈敏度分析第1頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月對偶模型的一般式以例7為例，原問題為（P）（D）這是最常見的對偶模型形式，稱為對稱式對偶模型。二者間具有十分對稱的對應(yīng)關(guān)系：

原問題（P）對偶問題（D）目標(biāo)max型目標(biāo)min型有n個變量（非負(fù)）有n個約束（大于等于）有m個約束（小于等于）有m個變量（非負(fù)）價(jià)格系數(shù)資源向量資源向量價(jià)格系數(shù)技術(shù)系數(shù)矩陣技術(shù)系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置第2頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月此外，還有一種情形

原問題（P）對偶問題（D）第j個變量為自由變量第j個約束為等式約束第i個約束為等式約束第i個變量為自由變量例8：寫出下面線性規(guī)劃的對偶規(guī)劃模型：第3頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月例8：寫出下面線性規(guī)劃的對偶規(guī)劃模型：第4頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月二、對偶的性質(zhì)（P）（D）考慮1.對稱性（P）與（D）互為對偶。證：由（P）、（D）的約束可得幾何意義：CXYb第5頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月4.對偶定理若（P）有最優(yōu)解，則（D）也有最優(yōu)解，

且最優(yōu)值相同。證：對（P）增加松弛變量Xs，化為設(shè)其最優(yōu)基為B，終表為其檢驗(yàn)數(shù)為第6頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月得證。第7頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月問題：(1)由性質(zhì)4可知，對偶問題最優(yōu)解的表達(dá)式Y(jié)*=？

(2)

求Y*是否有必要重新求解（D）？

——CBB-1——不必。可以從原問題（P）的單純形終表獲得。例如，在前面的練習(xí)中已知的終表為請指出其對偶問題的最優(yōu)解和最優(yōu)值。第8頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月5.互補(bǔ)松弛定理第9頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月y1…yi…ymym+1…ym+j…yn+m

x1…xj…xnxn+1…xn+i…xn+m

對偶問題的變量對偶問題的松弛變量原始問題的變量原始問題的松弛變量xjym+j=0 yixn+i=0 (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)在一對變量中，其中一個大于0，另一個一定等于0直觀上第10頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月

6.對偶問題的經(jīng)濟(jì)解釋

（1）對偶最優(yōu)解的經(jīng)濟(jì)解釋——資源的影子價(jià)格（ShadowPrice）CBB-1——對偶問題的最優(yōu)解——買主的最低出價(jià)；——原問題資源的影子價(jià)格——當(dāng)該資源增加1單

位時引起的總收入的增量——賣主的內(nèi)控價(jià)格。例10：例1（煤電油例）的單純形終表如下：（1）請指出資源煤電油的影子價(jià)格，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。（2）由單純形終表還可得到哪些有用的信息？第11頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月例10：例1（煤電油例）的單純形終表如下：（1）請指出資源煤、電、油的影子價(jià)格，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。（2）由單純形終表還可得到哪些有用的信息？解：（1）煤、電、油的影子價(jià)格分別是0、1.36、0.52；其經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)煤、電、油分別增加1單位時可使總收入分別增加0、1.36、0.52。（2）由單純形終表還可得到：原問題的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃、最大收入、資源剩余，對偶問題的最低購買價(jià)格、最少的購買費(fèi)用等。第12頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月y1y2ym（2）對偶約束的經(jīng)濟(jì)解釋——產(chǎn)品的機(jī)會成本(OpportunityCost)機(jī)會成本表示減少一件產(chǎn)品所節(jié)省的資源可以增加的利潤增加單位資源可以增加的利潤減少一件產(chǎn)品可以節(jié)省的資源第13頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月機(jī)會成本利潤差額成本（3）對偶松弛變量的經(jīng)濟(jì)解釋——產(chǎn)品的差額成本（ReducedCost）差額成本=機(jī)會成本－利潤第14頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月在利潤最大化的生產(chǎn)計(jì)劃中（1）影子價(jià)格大于0的資源沒有剩余；（2）有剩余的資源影子價(jià)格等于0；（3）安排生產(chǎn)的產(chǎn)品機(jī)會成本等于利潤；（4）機(jī)會成本大于利潤的產(chǎn)品不安排生產(chǎn)。（4）互補(bǔ)松弛關(guān)系的經(jīng)濟(jì)解釋第15頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月三、對偶單純形法前節(jié)講到原問題與對偶問題的解之間的對應(yīng)關(guān)系時指出：在單純形表中進(jìn)行迭代時，在b列中得到的是原問題的基可行解，而在檢驗(yàn)數(shù)行得到的是對偶問題的基解。通過逐步迭代，當(dāng)在檢驗(yàn)數(shù)行得到對偶問題的解也是基可行解時,已得到最優(yōu)解。即原問題與對偶問題都是最優(yōu)解。根據(jù)對偶問題的對稱性，可以這樣考慮：若保持對偶問題的解是基可行解，即cj?CBB-1Pj≤0，而原問題在非可行解的基礎(chǔ)上，通過逐步迭代達(dá)到基可行解，這樣也得到了最優(yōu)解。其優(yōu)點(diǎn)是原問題的初始解不一定是基可行解，可從非基可行解開始迭代。第16頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)原問題為

maxz=CX

AX=b

X≥0又設(shè)B是一個基。不失一般性，令B=(P1，P2，…，Pm)，它對應(yīng)的變量為XB=(x1，x2，…,xm)。當(dāng)非基變量都為零時，可以得到XB=B-1b。若在B-1b中至少有一個負(fù)分量，設(shè)(B-1b)i＜0，并且在單純形表的檢驗(yàn)數(shù)行中的檢驗(yàn)數(shù)都為非正，即對偶問題保持可行解，它的各分量是

(1)對應(yīng)基變量x1，x2，…,xm的檢驗(yàn)數(shù)是σi=ci

?

CBB-1Pj=0，i=1,2,…,m(2)對應(yīng)非基變量xm+1，…，xn的檢驗(yàn)數(shù)是σj=cj?CBB-1Pj≤0，j=m+1,…,n第17頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月每次迭代是將基變量中的負(fù)分量xl取出，去替換非基變量中的xk，經(jīng)基變換，所有檢驗(yàn)數(shù)仍保持非正。從原問題來看，經(jīng)過每次迭代，原問題由非可行解往可行解靠近。當(dāng)原問題得到可行解時，便得到了最優(yōu)解。第18頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月對偶單純形法的計(jì)算步驟如下：

(1)根據(jù)線性規(guī)劃問題，列出初始單純形表。檢查b列的數(shù)字，若都為非負(fù)，檢驗(yàn)數(shù)都為非正，則已得到最優(yōu)解。停止計(jì)算。若檢查b列的數(shù)字時，至少還有一個負(fù)分量，檢驗(yàn)數(shù)保持非正，那么進(jìn)行以下計(jì)算。

(2)確定換出變量。按min｛(B-1b)i｜(B-1b)i＜0＝(B-1b)l對應(yīng)的基變量xi為換出變量

(3)確定換入變量。在單純形表中檢查xl所在行的各系數(shù)αlj(j=1,2,…，n)。若所有αlj≥0，則無可行解，停止計(jì)算。若存在αlj＜0(j=1,2,…，n),計(jì)算第19頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月對偶單純形法的計(jì)算步驟如下：按θ規(guī)則所對應(yīng)的列的非基變量xk為換入變量，這樣才能保持得到的對偶問題解仍為可行解。

(4)以αlk為主元素，按原單純形法在表中進(jìn)行迭代運(yùn)算，得到新的計(jì)算表。重復(fù)步驟(1)～(4)。第20頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月例:用對偶單純形法求解minw=2x1+3x2+4x3x1+2x2+x3≥32x1?x2+3x3≥4x1，x2，x3≥0

解：先將此問題化成下列形式，以便得到對偶問題的初始可行基maxz=?2x1?

3x2?

4x3?x1?

2x2?

x3+x4=?3?2x1+x2?

3x3+x5=?4xj≥0，j=1,2,…,5第21頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月例6的初始單純形表，見表。從表看到，檢驗(yàn)數(shù)行對應(yīng)的對偶問題的解是可行解。因b列數(shù)字為負(fù)，故需進(jìn)行迭代運(yùn)算。

第22頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月?lián)Q出變量的確定：換入變量的確定：按上述對偶單純形法計(jì)算步驟(3)，即在單純形表中檢查xl所在行的各系數(shù)αlj(j=1,2,…，n)。若所有αlj≥0，則無可行解，停止計(jì)算。按上述對偶單純形法計(jì)算步驟(2)，即按min｛(B-1b)i｜(B-1b)i＜0＝(B-1b)l對應(yīng)的基變量xi為換出變量。計(jì)算min(?3,?4)=?4故x5為換出變量。故x1為換入變量。換入、換出變量的所在列、行的交叉處“?2”為主元素。按單純形法計(jì)算步驟進(jìn)行迭代，得表2-7。第23頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月第24頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月表2-8中，b列數(shù)字全為非負(fù)，檢驗(yàn)數(shù)全為非正，故問題的最優(yōu)解為X*=(11/5，2/5，0，0，0)T若對應(yīng)兩個約束條件的對偶變量分別為y1和y2，則對偶問題的最優(yōu)解為Y*=(y1*,y2*)=(8/5,1/5)第25頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月對偶單純形法有以下優(yōu)點(diǎn)：(1)初始解可以是非可行解，當(dāng)檢驗(yàn)數(shù)都為負(fù)數(shù)時就可以進(jìn)行基的變換，這時不需要加入人工變量，因此可以簡化計(jì)算。(2)當(dāng)變量多于約束條件，對這樣的線性規(guī)劃問題用對偶單純形法計(jì)算可以減少計(jì)算工作量，因此對變量較少，而約束條件很多的線性規(guī)劃問題，可先將它變換成對偶問題，然后用對偶單純形法求解。(3)在靈敏度分析及求解整數(shù)規(guī)劃的割平面法中，有時需要用對偶單純形法，這樣可使問題的處理簡化。對偶單純形法的局限性主要是，對大多數(shù)線性規(guī)劃問題，很難找到一個初始可行基，因而這種方法在求解線性規(guī)劃問題時很少單獨(dú)應(yīng)用。第26頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月三、靈敏度分析

討論模型的系數(shù)或變量發(fā)生小的變化時對解的影響（如它們在何范圍內(nèi)變化時可使原最優(yōu)解或最優(yōu)基不變？）我們主要討論C、b和變量結(jié)構(gòu)變化時對解的影響。對解怎樣影響？——影響解的-最優(yōu)性

-可行性第27頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月1.b變化時的分析第28頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月例11：在例1（煤電油例）中，其單純形終表如下：（1）電的影子價(jià)格是多少？使最優(yōu)基仍適用的電的變化范圍為何？解：（1）電的影子價(jià)格是1.36。第29頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月例11：在例1（煤電油例）中，其單純形終表如下：（2）若有人愿以每度1元的價(jià)格向該廠供應(yīng)25度電，是否值得接受？解：（2）值得。因25在B的適用范圍內(nèi)（即影子價(jià)格適用），且

1.00-1.36<0。第30頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月2.C變化時的分析第31頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月例11：在例1（煤電油例）中，其單純形終表如下：（3）甲產(chǎn)品的價(jià)格在何范圍內(nèi)變化時，現(xiàn)最優(yōu)解不變？解：甲產(chǎn)品的價(jià)格c1是基變量的價(jià)格系數(shù)。第32頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月3.增加新變量時的分析

主要討論增加新變量xn+1是否有利。經(jīng)濟(jì)意義是第n+1種新產(chǎn)品是否應(yīng)當(dāng)投產(chǎn)，數(shù)學(xué)意義是xn+1是否應(yīng)進(jìn)基。經(jīng)濟(jì)意義：市場價(jià)影子價(jià)第33頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月例11：在例1（煤電油例）中，其單純形終表如下：（4）若現(xiàn)又考慮一新產(chǎn)品丙，其資源單耗為10，2，5，售價(jià)為6.5，問該產(chǎn)品是否可投產(chǎn)？故丙產(chǎn)品可以投產(chǎn)。第34頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月首先將線性規(guī)劃與經(jīng)濟(jì)問題聯(lián)系起來的是

T.G.Koopman（庫普曼）和

L.V.Kamtorovich（康脫羅維奇）二人因此而共同分享了1975年的第7屆諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。第35頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月求解線性規(guī)劃的計(jì)算機(jī)軟件舉例——LINDO、EXCELLINDO可以從下面的網(wǎng)址下載：WWW.L

LINDO由美國芝加哥大學(xué)開發(fā)，可求解線性規(guī)劃和線性整數(shù)規(guī)劃等。其可按自然格式輸入模型，使用方便。輸入例：MAX2X+3Y

ST

2)4X+9Y<93)7X+6Y<13

END

可用HELP命令得到幫助。第36頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月計(jì)算結(jié)果說明：REDUCEDCOST

為使該變量進(jìn)基，其價(jià)格系數(shù)至少應(yīng)增加的數(shù)值；SLACKORSUPLUS

松弛或剩余變量；DUALPRICES

影子價(jià)格;ALLOWABLEINCREASE

靈敏度分析中可使最優(yōu)基不變的系數(shù)可增量之上界；ALLOWABLEDECREASE

靈敏度分析中可使最優(yōu)基不變的系數(shù)可減量之上界；第37頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月例1加工奶制品的生產(chǎn)計(jì)劃1桶牛奶3公斤A1

12小時8小時4公斤A2

或獲利24元/公斤獲利16元/公斤50桶牛奶時間480小時至多加工100公斤A1

制訂生產(chǎn)計(jì)劃，使每天獲利最大

35元可買到1桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少?可聘用臨時工人，付出的工資最多是每小時幾元?

A1的獲利增加到30元/公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？每天：第38頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月1桶牛奶3公斤A1

12小時8小時4公斤A2

或獲利24元/公斤獲利16元/公斤x1桶牛奶生產(chǎn)A1

x2桶牛奶生產(chǎn)A2

獲利24×3x1

獲利16×4x2

原料供應(yīng)

勞動時間

加工能力

決策變量

目標(biāo)函數(shù)

每天獲利約束條件非負(fù)約束

線性規(guī)劃模型(LP)時間480小時至多加工100公斤A1

50桶牛奶每天第39頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月模型求解

軟件實(shí)現(xiàn)

LINDO6.1max72x1+64x2st2）x1+x2<503）12x1+8x2<4804）3x1<100end

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE

1)3360.000

VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X120.0000000.000000

X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?No20桶牛奶生產(chǎn)A1,30桶生產(chǎn)A2，利潤3360元。第40頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)果解釋

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000

ROW

SLACKORSURPLUSDUALPRICES

2)0.00000048.000000

3)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2原料無剩余時間無剩余加工能力剩余40max72x1+64x2st2）x1+x2<503）12x1+8x2<4804）3x1<100end三種資源“資源”剩余為零的約束為緊約束（有效約束）第41頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)果解釋

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES

2)0.00000048.000000

3)0.0000002.000000

4)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2最優(yōu)解下“資源”增加1單位時“效益”的增量原料增加1單位,利潤增長48時間增加1單位,利潤增長2加工能力增長不影響利潤影子價(jià)格

35元可買到1桶牛奶，要買嗎？35<48,應(yīng)該買！聘用臨時工人付出的工資最多每小時幾元？2元！第42頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:

OBJCOEFFICIENTRANGES

VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASE

X172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000IN