第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)第二章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀衍生考點(diǎn)核心素養(yǎng)1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景.2.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義,了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義,掌握冪的運(yùn)算.3.理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義,借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖像,探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).4.在解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的過(guò)程中,體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.1.指數(shù)冪的運(yùn)算2.指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用3.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用1.直觀想象2.邏輯推理3.數(shù)學(xué)運(yùn)算強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略1.根式(1)根式的概念

負(fù)數(shù)沒有偶次方根(2)根式的性質(zhì)a2.實(shí)數(shù)指數(shù)冪(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義給定正實(shí)數(shù)a,對(duì)于任意給定的整數(shù)m,n(m,n互素),存在唯一的正實(shí)數(shù)b,(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義(3)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①aras=ar+s(a>0,r,s∈R);②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R);③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).3.指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)叫作指數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域是R,a是底數(shù).微點(diǎn)撥形如y=kax,y=ax+k(k∈R且k≠0,a>0且a≠1)的函數(shù)叫作指數(shù)型函數(shù),不是指數(shù)函數(shù).4.指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

(0,+∞)(0,1)y>10<y<10<y<1y>1增函數(shù)

減函數(shù)

微點(diǎn)撥1.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖像和性質(zhì)與a的取值有關(guān),應(yīng)分a>1與0<a<1來(lái)研究.2.當(dāng)a>1時(shí),指數(shù)函數(shù)的圖像呈上升趨勢(shì),當(dāng)0<a<1時(shí),指數(shù)函數(shù)的圖像呈下降趨勢(shì);簡(jiǎn)記:撇增捺減.提示:關(guān)于y軸對(duì)稱.常用結(jié)論1.畫指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖像,應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(1,a),(0,1),

.2.指數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較:如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的圖像,底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b.規(guī)律:在y軸右(左)側(cè)圖像越高(低),其底數(shù)越大.增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一指數(shù)冪的運(yùn)算典例突破

突破技巧指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里面的,沒有括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算.(2)先乘除后加減,負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).(3)底數(shù)是負(fù)數(shù),先確定符號(hào),底數(shù)是小數(shù),先化成分?jǐn)?shù),底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的,先化成假分?jǐn)?shù).(4)若是根式,應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,盡可能用冪的形式表示,運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答.(5)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用(多考向探究)考向1.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖像辨析典例突破例2.函數(shù)y=ax-a-1(a>0,且a≠1)的圖像可能是(

)答案:D

解題心得有關(guān)指數(shù)函數(shù)圖像問題的解題思路

已知函數(shù)解析式判斷其圖像一般是取特殊點(diǎn),判斷選項(xiàng)中的圖像是否過(guò)這些點(diǎn),若不滿足則排除根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像判斷底數(shù)大小通過(guò)直線x=1與圖像的交點(diǎn)進(jìn)行判斷對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2021陜西西安一中月考)若函數(shù)y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的圖像經(jīng)過(guò)第二、三、四象限,一定有(

)A.0<a<1且b<0 B.a>1且b>0C.0<a<1且b>0 D.a>1且b<0答案:A

解析:如圖所示,從圖像上看出其是一個(gè)減函數(shù),則0<a<1;圖像與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上(縱截距小于零),即a0+b-1<0,可得b<0,∴0<a<1且b<0.考向2.指數(shù)函數(shù)圖像的應(yīng)用典例突破例3.若函數(shù)y=|3x-1|的圖像與直線y=m有兩個(gè)不同交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

答案:(0,1)

解析:如圖,函數(shù)y=|3x-1|的圖像是由函數(shù)y=3x的圖像向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后,再把位于x軸下方的圖像沿x軸翻折到x軸上方得到的,而直線y=m的圖像是平行于x軸的一條直線.如圖所示,由圖像可得,如果曲線y=|3x-1|與直線y=m有兩個(gè)公共點(diǎn),則m的取值范圍是(0,1).解題心得1.對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)圖像的應(yīng)用問題,一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖像入手,通過(guò)平移、對(duì)稱變換而得到.特別地,當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論.2.一些指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3若曲線|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點(diǎn),則b的取值范圍是

.

答案:[-1,1]

解析:曲線|y|=2x+1與直線y=b的圖像如圖所示.由圖像可得,若|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點(diǎn),則-1≤b≤1.故b的取值范圍是[-1,1].考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(多考向探究)考向1.比較指數(shù)式的大小典例突破例4.已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.30.4,則(

)A.a>c>b B.a>b>c

C.c>a>b D.b>c>a答案:B

解析:因?yàn)閥=0.3x是減函數(shù),所以0.30.3>0.30.4,即c<b<1,突破技巧比較指數(shù)式大小的方法

能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪,再利用單調(diào)性比較大小不能化成同底數(shù)的一般引入“1”等中間量比較大小對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2021遼寧大連一中月考)三個(gè)數(shù)a=0.32,b=

,c=20.3之間的大小關(guān)系是(

)A.b<a<c

B.a<c<b

C.a<b<c

D.b<c<a答案:A

解析:由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得a=0.32∈(0,1),c=20.3>20=1,考向2.解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式典例突破答案:[0,1)

解析:原不等式可變形為

>3-1,因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=3x為增函數(shù),則有ax2-2ax>-1,即ax2-2ax+1>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立.①當(dāng)a=0時(shí),1>0,滿足題意;②當(dāng)a≠0時(shí),若二次函數(shù)大于0恒成立,則需a>0且Δ=(-2a)2-4a<0,即a>0且a2-a<0,解得0<a<1.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是0≤a<1.突破技巧解決簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式的問題主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性:(1)af(x)=ag(x)(a>0,且a≠1)?f(x)=g(x);(2)af(x)>ag(x),當(dāng)a>1時(shí),等價(jià)于f(x)>g(x);當(dāng)0<a<1時(shí),等價(jià)于f(x)<g(x).考向3.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用典例突破例6.(1)已知函數(shù)f(x)=2|2x-m|(m為常數(shù)),若f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是遞增的,則m的取值范圍是

.

(2)函數(shù)f(x)=4x-2x+1的遞增區(qū)間是

.

答案:(1)(-∞,4]

(2)[0,+∞)

(2)設(shè)t=2x(t>0),則y=t2-2t的遞增區(qū)間為[1,+∞),又y=2x在R上是增加的,令2x≥1,得x≥0,所以函數(shù)f(x)=4x-2x+1的遞增區(qū)間是[0,+∞).突破技巧指數(shù)函數(shù)的綜合問題,主要涉及單調(diào)性、奇偶性、最值問題,應(yīng)在有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決,而指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的重點(diǎn)是單調(diào)性,注意利用單調(diào)性實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化,解決復(fù)合函數(shù)的值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí),都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6(1)函數(shù)f(x)=x2-bx+c滿足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是(

)A.f(bx)≤f(cx) B.f(bx)≥f(cx)C.f(bx)>f(cx) D.與x有關(guān),不確定(2)若不等式1+2x+4x·a≥0在x∈(-∞,1]時(shí)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

解析:(1)∵f(x+1)=f(1-x),∴f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱,且f(0)=3,易知b=2,c=3,∴f(x)=x2