簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃xyo簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃xyo1復(fù)習(xí)：⒉把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線；把直線畫成實(shí)線以表示區(qū)域包括邊界直線。一般的，二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的區(qū)域。⒈在直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)（x0,y0），從Ax0+By0+C的正負(fù)可以判斷Ax+By+C＞0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域。特殊的，當(dāng)C≠0時(shí)，可以?。?，0）作為特殊點(diǎn)。復(fù)習(xí)：⒉把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線；把直線畫成實(shí)2線性規(guī)劃有關(guān)概念由x，y的不等式(或方程)組成的不等式組稱為x，y的約束條件。關(guān)于x，y的一次不等式或方程組成的不等式組稱為x，y的線性約束條件。欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式稱為目標(biāo)函數(shù)。關(guān)于x，y的一次目標(biāo)函數(shù)稱為線性目標(biāo)函數(shù)。求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解（x，y）稱為可行解。所有可行解組成的集合稱為可行域。使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解稱為最優(yōu)解。線性規(guī)劃有關(guān)概念由x，y的不等式(或方程)組成的不等式組稱3基本概念：⒈z=2x+y⒊象此問題一樣，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最值的問題統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。⒋滿足約束條件的解（x，y）叫做可行解。⒌可行解組成的集合叫做可行域。（陰影部分）⒍使目標(biāo)函數(shù)取得最值的可行解叫做最優(yōu)解。目標(biāo)函數(shù)，也叫線性目標(biāo)函數(shù)。線性約束條件。⒉x-4y+3=03x+5y-25=0x=12x+y=t1xyo可行域A（5，2）B（1，1）基本概念：⒈z=2x+y⒊象此問題一樣，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性4例題(1)已知求z=2x+y的最大值和最小值。例題(1)已知5551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)3.根據(jù)y=-2x平移到區(qū)域的最后一個(gè)點(diǎn)時(shí)有最大（?。┲?.將直線方程化為：y=-2x+z,且令z=0,畫出直線l0，l0:y=-2x551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,6551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)2.將直線方程化為：y=-2x+z,且令z=0,畫出直線l0，l0:y=-2x3.根據(jù)y=-2x平移到區(qū)域的最后一個(gè)點(diǎn)時(shí)有最大（?。┲?51Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,7551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)2.將直線方程化為：y=-2x+z,且令z=0,畫出直線l0，l0:y=-2x3.根據(jù)y=-2x平移到區(qū)域的最后一個(gè)點(diǎn)時(shí)有最大（?。┲?51Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,8551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)2.將直線方程化為：y=-2x+z,且令z=0,畫出直線l0，l0:y=-2x3.根據(jù)y=-2x平移到區(qū)域的最后一個(gè)點(diǎn)時(shí)有最大（?。┲?51Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,9551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)2.將直線方程化為：y=-2x+z,且令z=0,畫出直線l0，l0:y=-2x3.根據(jù)y=-2x平移到區(qū)域的最后一個(gè)點(diǎn)時(shí)有最大（?。┲?51Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,10551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)2.將直線方程化為：y=-2x+z,且令z=0,畫出直線l0，l0:y=-2x3.根據(jù)y=-2x平移到區(qū)域的最后一個(gè)點(diǎn)時(shí)有最大（?。┲?51Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,11551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)Zmax=2x+y=2x2+(-1)=32.將直線方程化為：y=-2x+z,且令z=0,畫出直線l0，l0:y=-2x3.根據(jù)y=-2x平移到區(qū)域的最后一個(gè)點(diǎn)時(shí)有最大（?。┲?51Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,12551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)3.根據(jù)y=-2x平移到區(qū)域的最后一個(gè)點(diǎn)時(shí)有最大（?。┲?.將直線方程化為：y=-2x+z,且令z=0,畫出直線l0，l0:y=-2x551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,13551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)2.將直線方程化為：y=-2x+z,且令z=0,畫出直線l0，l0:y=-2x3.根據(jù)y=-2x平移到區(qū)域的最后一個(gè)點(diǎn)時(shí)有最大（?。┲?51Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,14551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)2.將直線方程化為：y=-2x+z,且令z=0,畫出直線l0，l0:y=-2x3.根據(jù)y=-2x平移到區(qū)域的最后一個(gè)點(diǎn)時(shí)有最大（?。┲?51Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,15551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)3.根據(jù)y=-2x平移到區(qū)域的最后一個(gè)點(diǎn)時(shí)有最大（?。┲?.將直線方程化為：y=-2x+z,且令z=0,畫出直線l0，l0:y=-2x551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,16551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)3.根據(jù)y=-2x平移到區(qū)域的最后一個(gè)點(diǎn)時(shí)有最大（?。┲?.將直線方程化為：y=-2x+z,且令z=0,畫出直線l0，l0:y=-2x551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,17551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)3.根據(jù)y=-2x平移到區(qū)域的最后一個(gè)點(diǎn)時(shí)有最大（小）值2.將直線方程化為：y=-2x+z,且令z=0,畫出直線l0，l0:y=-2x551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,18551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)Zmin=2x+y=2x(-1)+(-1)=-33.根據(jù)y=-2x平移到區(qū)域的最后一個(gè)點(diǎn)時(shí)有最大（?。┲?.將直線方程化為：y=-2x+z,且令z=0,畫出直線l0，l0:y=-2x551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,19實(shí)例分析：設(shè)x,y滿足以下條件： 求z=2x+y的最大值與最小值。①②③線性約束條件目標(biāo)函數(shù)（線性目標(biāo)函數(shù)）上一頁(yè)實(shí)例分析：設(shè)x,y滿足以下條件：①②③線性約目標(biāo)函數(shù)上一頁(yè)20如圖，分別作出三條直線，上一頁(yè)o5x+6y=30y=1y=3xyy=1,y=3x,5x+6y=30再找出不等式組所表示的平面區(qū)域的公共區(qū)域?？尚杏騲如圖，分別作出上一頁(yè)o5x+6y=30y=1y=3xyy=121將直線方程化為：y=-2x+z,且令z=0,畫出直線l0，l0:y=-2x上一頁(yè)o5x+6y=30y=1y=3xyxl0:2x+y=0將直線方程化為：y=-2x+z,且令z=0,畫出直線l0，l22上一頁(yè)如圖，平移直線l0，

所對(duì)應(yīng)的z隨之增大；

所對(duì)應(yīng)的z隨之減小。當(dāng)直線l0向上平移時(shí)，當(dāng)直線l0向下平移時(shí),o5x+6y=30y=1y=3xy上一頁(yè)如圖，平移直線l0，23此時(shí)所對(duì)應(yīng)的Z最??；此時(shí)所對(duì)應(yīng)的Z最大。從而得到：zminzmax=2×+1=

=2×+1=

o5x+6y=30y=1y=3xyxABCl0:y=-2x如圖，在把l0向上平移過程中，直線與平面區(qū)域首先相交于點(diǎn)A，當(dāng)相交于點(diǎn)B，l1l2此時(shí)所對(duì)應(yīng)的Z最小；此時(shí)所對(duì)應(yīng)的Z最大。從而得到：zmin24解線性規(guī)劃問題的步驟：

（2）移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線；

（3）求：通過解方程組求出最優(yōu)解；

（4）答：作出答案。

（1）畫：畫出線性約束條件所表示的可行域；解線性規(guī)劃問題的步驟：（2）移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組25總結(jié)：從這個(gè)問題的求解過程可以看出，最優(yōu)解一般在可行域的邊界上，而且通常在可行域的頂點(diǎn)處取得。上一頁(yè)總結(jié)：上一頁(yè)26課堂練習(xí)(1)已知求z=2x+y的最大值和最小值。課堂練習(xí)(1)已知27551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,28（2）已知求z=3x+5y的最大值和最小值。（2）已知29551Oxy1-15x+3y=15X-5y=3y=x+1A(-2,-1)B(3/2,5/2)551Oxy1-15x+3y=15X-5y=3y=x+1A(30鞏固練習(xí)

設(shè)滿足約束條件

求

的最大值。鞏固練習(xí)設(shè)滿足約束條件31例:營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白質(zhì)，0.14kg脂肪，花費(fèi)28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白質(zhì)，0.07kg脂肪，花費(fèi)21元。為了滿足營(yíng)養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時(shí)使花費(fèi)最低，需要同時(shí)食用食物A和食物B多少kg？食物／kg碳水化合物／kg蛋白質(zhì)/kg脂肪／kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07分析：將已知數(shù)據(jù)列成表格例:營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075k32解：設(shè)每天食用xkg食物A，ykg食物B，總成本為z，那么目標(biāo)函數(shù)為：z＝28x＋21y作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域解：設(shè)每天食用xkg食物A，ykg食物B，總成本為z，那么目33把目標(biāo)函數(shù)z＝28x＋21y變形為xyo5/75/76/73/73/76/7

它表示斜率為隨z變化的一組平行直線系.

是直線在y軸上的截距，當(dāng)截距最小時(shí)，z的值最小。M如圖可見，當(dāng)直線z＝28x＋21y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距最小，即z最小。把目標(biāo)函數(shù)z＝28x＋21y變形為xyo5/75/76/734M點(diǎn)是兩條直線的交點(diǎn)，解方程組得M點(diǎn)的坐標(biāo)為：所以zmin＝28x＋21y＝16由此可知，每天食用食物A143g，食物B約571g，能夠滿足日常飲食要求，又使花費(fèi)最低，最低成本為16元。M點(diǎn)是兩條直線的交點(diǎn)，解方程組得M點(diǎn)的坐標(biāo)為：所以zmin＝35例、要將兩種大小不同的鋼板截成Ａ．Ｂ．Ｃ三種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：A規(guī)格Ｂ規(guī)格Ｃ規(guī)格第一種鋼板211第二種鋼板123今需要Ａ．Ｂ．Ｃ三種規(guī)格的成品分別為15，18，27塊，用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述要求。024810141861216261214224108161820解：設(shè)需要截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，則2x+y≧

15X+2y≧18X+3y≧27x≥0,x∈Ny≥0,y∈N2x+y=15X+2y=1824X+3y=27x=3,y=9;x=4,y=889.例六.gsp例、要將兩種大小不同的鋼板截成Ａ．Ｂ．Ｃ三種規(guī)格，每張鋼板可36例、一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t、硝酸鹽18t；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t、硝酸鹽15t。現(xiàn)庫(kù)存磷酸鹽10t、硝酸鹽66t，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料。列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域。并計(jì)算生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn)？解：設(shè)x、y分別為計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，于是滿足以下條件：xyo例、一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主37解：設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x車皮、乙種肥料y車皮，能夠產(chǎn)生利潤(rùn)Z萬元。目標(biāo)函數(shù)為Z＝x＋0.5y，可行域如圖：把Z＝x＋0.5y變形為y＝－2x＋2z，它表示斜率為－2，在y軸上的截距為2z的一組直線系。

xyo由圖可以看出，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距2z