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高中數(shù)學人教新課標A版必修1第一章集合與函數(shù)概念1.3.2奇偶性

一、選擇題

1．下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是（）

A．f（x）＝x2＋3B．f（x）＝1－x3

C．f（x）＝D．f（x）＝x＋1

2．已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）＝x3＋，則f（－1）＝（）

A．－2B．0C．1D．2

3．已知函數(shù)y＝f（x）是偶函數(shù)，其圖象與直線有4個交點，則方程的所有實根之和是（）

A．4B．2C．1D．0

4．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）＝2x2－3x，則函數(shù)f（x）在R上的解析式是（）

A．f（x）＝－x（2x－3）B．f（x）＝x（2|x|－3）

C．f（x）＝|x|（2x－3）D．f（x）＝|x|（2|x|－3）

5．下面四個說法：

①奇函數(shù)的圖象關于坐標原點對稱；

②某一個函數(shù)可以既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；

③奇函數(shù)的圖象一定過原點；

④偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交．

其中正確說法的個數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

6．設奇函數(shù)f（x）的定義域為R，當x∈[0，＋∞）時，f（x）是增函數(shù)，則f（－2），f（π），f（－3）的大小關系是（）

A．f（π）＞f（－3）＞f（－2）B．f（π）＞f（－2）＞f（－3）

C．f（π）＜f（－3）＜f（－2）D．f（π）＜f（－2）＜f（－3）

7．已知f（x）＝2x5＋ax3＋bx－3，若f（－4）＝10，則f（4）＝（）

A．16B．－10C．10D．－16

8．已知f（x）是定義在[m，n]上的奇函數(shù)，且f（x）在[m，n]上的最大值為a，則函數(shù)F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值與最小值之和為（）

A．2a＋3B．2a＋6C．6－2aD．6

9．下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）

A．B．C．D．

10．（2023高一上·黑龍江期末）已知是定義在上的偶函數(shù)，且有.則下列各式中一定成立的是（）

A．B．

C．D．

11．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(xiàn)(x)＝f(x)＋f(－x)，則F(x)是（）

A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)

C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)

12．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則的值為（）

A．B．0C．1D．2

13．函數(shù)的圖象大致是（）

A．B．

C．D．

14．奇函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(1)=0，則不等式的解集為（）

A．(﹣1，0)∪(1，+∞)B．(﹣∞，﹣1)∪(0，1)

C．(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞)D．(﹣1，0)∪(0，1)

15．設是奇函數(shù)，對任意的實數(shù)有，且當時，，則在區(qū)間上（）

A．有最大值B．有最小值

C．有最大值D．有最小值

二、填空題

16．設函數(shù)f（x）＝為奇函數(shù)，則實數(shù)a＝.

17．若函數(shù)f（x）＝（2k－3）x2＋（k－2）x＋3是偶函數(shù)，則f（x）的遞增區(qū)間是．

18．已知f（x）為奇函數(shù)，且當x＜0時，f（x）＝2x2＋5x＋1.若當x∈[1，3]時，f（x）的最大值為m，最小值為n，則m－n的值為．

19．若為奇函數(shù),則實數(shù)m=.

20．已知是偶函數(shù)，當時，，則當時，．

21．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若則.

三、解答題

22．已知函數(shù)f（x）（x∈R）是偶函數(shù)，且當x0時，f（x）＝3x－2，求函數(shù)f（x）的解析式．

23．判定下列函數(shù)的奇偶性．

（1）f（x）＝；

（2）f（x）＝；

（3）f（x）＝；

（4）f（x）＝|x＋1|＋|x－1|.

24．已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）＝－2x2＋4x＋3.

（1）求f（x）的表達式；

（2）畫出f（x）的圖象，并指出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

25．判斷下列函數(shù)的奇偶性．

（1）f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]；

（2）f(x)＝；

（3）f(x)＝；

（4）f(x)＝

26．設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意a、b∈R，當a＋b≠0時，都有.

（1）若a＞b，試比較f(a)與f(b)的大小關系；

（2）若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求實數(shù)m的取值范圍．

27．已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，.

（1）求證：為奇函數(shù)；

（2）求證：為上的增函數(shù)；

（3）解關于的不等式：(其中且為常數(shù)).

答案解析部分

1．【答案】C

【知識點】函數(shù)奇偶性的判斷

【解析】【解答】由奇、偶函數(shù)的定義得f（x）＝x2＋3為偶函數(shù)，f（x）＝1－x3為非奇非偶函數(shù)，f（x）＝為奇函數(shù)，f（x）＝x＋1為非奇非偶函數(shù)．

故答案為:C.

【分析】由奇、偶函數(shù)的定義進行判斷即可得到正確選項.

2．【答案】A

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】【解答】f（－1）＝－f（1）＝－2.

故答案為:A.

【分析】根據(jù)地奇函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)值.

3．【答案】D

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的零點

【解析】【解答】偶函數(shù)y＝f（x）的圖象關于y軸對稱，∴f（x）與直線的四個交點也關于y軸對稱．因此，設y軸右側一交點的橫坐標為x1，則它關于y軸對稱的交點的橫坐標為－x1；設y軸右側另一交點的橫坐標為x2，則它關于y軸對稱的交點的橫坐標為－x2.故的四根之和為x1＋（－x1）＋x2＋（－x2）＝0.

故答案為:D.

【分析】由偶函數(shù)y＝f（x）的圖象關于y軸對稱,其圖象與直線y=1的個交點也關于y軸對稱,從而可求出其和為0.

4．【答案】D

【知識點】奇偶函數(shù)圖象的對稱性

【解析】【解答】∵f（x）在R上是偶函數(shù)，且x≥0時，f（x）＝2x2－3x，

∴當x＜0時，－x＞0，f（－x）＝2（－x）2＋3x＝2x2＋3x，

則f（x）＝f（－x）＝2x2＋3x＝－x（－2x－3）．

又當x≥0時，f（x）＝2x2－3x＝x（2x－3），因此f（x）＝|x|（2|x|－3）．

故答案為:D.

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在y軸一側的解析式,利用偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱,可求出函數(shù)在y軸另一偶的解析式.

5．【答案】B

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；奇偶函數(shù)圖象的對稱性

【解析】【解答】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)知其圖象一定關于坐標原點對稱，故①正確；

函數(shù)f（x）＝0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，故②正確；

函數(shù)y＝是奇函數(shù)，但其圖象不過原點，故③錯；

函數(shù)y＝是偶函數(shù)，但不與y軸相交，故④錯．故正確的有2個.

故答案為:B.

【分析】(1)(2)可由函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)作判斷,(3)(4)可用實例說明不正確.

6．【答案】B

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；奇偶性與單調(diào)性的綜合

【解析】【解答】∵f（x）是奇函數(shù)，f（x）在[0，＋∞）上是增函數(shù)，

∴f（x）在R上為增函數(shù)，

又∵，

∴f（π）＞f（－2）＞f（－3）.

故答案為:B.

【分析】由奇函數(shù)f（x）的定義域為R，當x∈[0，＋∞）時，f（x）是增函數(shù),可推出函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),從而可比較三個函數(shù)值的大小.

7．【答案】D

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】【解答】由f（x）＝2x5＋ax3＋bx－3，

得f（x）＋3＝2x5＋ax3＋bx，令g（x）＝f（x）＋3，

則g（x）是奇函數(shù)．∴g（－4）＝－g（4），

即f（－4）＋3＝－f（4）－3.又f（－4）＝10，

∴f（4）＝－f（－4）－6＝－10－6＝－16.

故答案為：D.

【分析】將函數(shù)f(x)的一部分設為奇函數(shù)g(x)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)值.

8．【答案】D

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；奇偶函數(shù)圖象的對稱性

【解析】【解答】因為奇函數(shù)f（x）在[m，n]上的最大值為a，所以它在[m，n]上的最小值為－a，所以函數(shù)F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值與最小值之和為a＋3＋（－a＋3）＝6.

故答案為:D.

【分析】由奇函數(shù)f(x)的對稱性得到F(x)的對稱性,從而得到F(x)在區(qū)間是的最大值與最小值的和.

9．【答案】D

【知識點】奇偶性與單調(diào)性的綜合

【解析】【解答】A中函數(shù)不是奇函數(shù)；B中函數(shù)不是奇函數(shù)；C中函數(shù)是奇函數(shù)，在定義域上不具有單調(diào)性；D中函數(shù)是奇函數(shù)并且是增函數(shù).

故答案為:D.

【分析】對函數(shù)的偶性和單調(diào)性同時判斷,找到正確選項.

10．【答案】A

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】【解答】∵是定義在上的偶函數(shù)，∴

又

∴

故答案為：A

【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)值得轉(zhuǎn)化,即可得到正確選項.

11．【答案】B

【知識點】函數(shù)奇偶性的判斷

【解析】【解答】根據(jù)題意知F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，

又x∈(－a，a)關于原點對稱，∴F(x)是偶函數(shù)．

故答案為:B.

【分析】由奇偶函數(shù)的定義,判斷復合函數(shù)的奇偶性.

12．【答案】B

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】【解答】因為，所以，又是定義域上的奇函數(shù)，所以，所以，故答案為:B．

【分析】由函數(shù)的奇偶性結合條件可得f(6)=-f(0),從而可求f(6).

13．【答案】C

【知識點】奇偶函數(shù)圖象的對稱性；奇偶性與單調(diào)性的綜合；函數(shù)的圖象

【解析】【解答】當時，在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，過點（0，1），

又是偶函數(shù),當時，在（，0）內(nèi)是增函數(shù)，

結合反比例函數(shù)的圖象可知選C.

故答案為:C.

【分析】對于含有絕對值的函數(shù),先分段得單調(diào)性,再結合奇偶性對圖象作判斷.

14．【答案】C

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；奇偶函數(shù)圖象的對稱性

【解析】【解答】由函數(shù)的奇偶性可知即，，

又∵奇函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(1)=0，∴可畫圖如下，

由圖可知：.

故答案為:C.

【分析】利用奇偶性結合函數(shù)圖象求解.

15．【答案】C

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】【解答】設，由已知條件有，因為，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上函數(shù)的最大值為.

故答案為:C.

【分析】利用抽象函數(shù)所滿足的條件,研究單調(diào)性,結合奇偶性求解.

16．【答案】

【知識點】奇函數(shù)；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】【解答】解法一：∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（－x）＝－f（x），即

＝，得a＝.

解法二：由f（－1）＝－f（1），可得a＝.

故答案為：

【分析】由奇函數(shù)就滿足的條件得到關于參數(shù)a的方程，求a的值.

17．【答案】

【知識點】偶函數(shù)；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】【解答】因為f（x）是偶函數(shù)，所以k－2＝0，即k＝2.

∴f（x）＝x2＋3，則f（x）的圖象是開口向上的拋物線．

∴f（x）的遞增區(qū)間為．

故答案為:[0,+∞)

【分析】由偶函數(shù)應滿足的條件求解.

18．【答案】

【知識點】函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；奇偶函數(shù)圖象的對稱性

【解析】【解答】當x＜0時，f（x）＝2x2＋5x＋1，且f（x）是奇函數(shù)，

當x＞0時，－x＜0，則f（－x）＝2x2－5x＋1.

故當x＞0時，f（x）＝－f（－x）＝－2x2＋5x－1.

∴當x∈時，f（x）是增函數(shù)；

當x∈時，f（x）是減函數(shù)．

因此當x∈[1，3]時，f（x）max＝＝，f（x）min＝f（3）＝－4.

∴m＝，n＝－4.

故答案為:m－n＝.

【分析】先由函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)在y軸的另一側的解析式,分別求出最值,劉到結果.

19．【答案】-2

【知識點】奇函數(shù)；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】【解答】依題意得.

又函數(shù)是奇函數(shù),于是有,即,則.

故答案為:-2

【分析】結合奇函數(shù)的定義,得到關于m的方程求m.

20．【答案】

【知識點】奇偶函數(shù)圖象的對稱性

【解析】【解答】設，則，由時，，得，又是偶函數(shù)，則.

故答案為:.

【分析】已知偶函數(shù)在y軸的一偶的解析式,由對稱性可求另一偶的解析式.

21．【答案】-3

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】【解答】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，

又因為，所以，

將代入(1)式可得.

所以

故答案為:-3

【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì),將F(-2)和f(-2)互相表示,再用復合函數(shù)求f(0)的值.

22．【答案】解：當x＜0時，－x＞0，∴f（－x）＝3（－x）－2＝－3x－2.

又∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（－x）＝f（x），

∴f（x）＝－3x－2.

∴所求函數(shù)的解析式為f（x）＝

【知識點】奇偶函數(shù)圖象的對稱性

【解析】【分析】已知偶函數(shù)在y軸一偶的解析式,由對稱性求出在y軸另一偶的解析式.從而得到函數(shù)的解析式.

23．【答案】（1）解：f（x）的定義域是（－∞，1）∪（1，＋∞），不關于原點對稱，∴f（x）是非奇非偶函數(shù)

（2）解：f（x）的定義域是{－1,1}，關于原點對稱，且f（－1）＝f（1）＝0，∴f（－1）＝f（1），且

f（－1）＝－f（1），

∴函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

（3）解：f（x）的定義域為（－∞，＋∞），關于原點對稱，

又，∴f（x）是奇函數(shù)

（4）解：f（x）的定義域為R，

又f（－x）＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f（x），

∴f（x）是偶函數(shù)

【知識點】函數(shù)奇偶性的判斷

【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性,先觀察定義是否關于原點對稱,再結合定義進行判斷.

24．【答案】（1）解：設x＜0，則－x＞0，

于是f（－x）＝－2（－x）2－4x＋3＝－2x2－4x＋3.

又∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（－x）＝－f（x）．

因此f（x）＝2x2＋4x－3.

又∵f（0）＝0，

∴f（x）＝

（2）解：先畫出y＝f（x）（x＞0）的圖象，利用奇函數(shù)的對稱性可得到相應y＝f（x）（x＜0）的圖象，其圖象如圖所示．由圖可知，其增區(qū)間為[－1，0）和（0，1]，減區(qū)間為（－∞，－1]和[1，＋∞）．

【知識點】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間；奇偶函數(shù)圖象的對稱性

【解析】【分析】(1)由奇函數(shù)在y軸一偶的解析式,由對稱性可求出在y軸另一偶的解析式;

(2)函數(shù)是分段函數(shù),作出圖象,由圖象觀察得到單調(diào)區(qū)間.

25．【答案】（1）解：雖然f(－x)＝f(x)，但定義域不關于原點對稱，

故f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]是非奇非偶函數(shù)

（2）解：由得－1≤x0.從而有f(x)＝＝＝，

于是f(－x)＝－＝－f(x)．故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)

（3）解：∵≥0，∴－1≤x0時，x0,f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x.

∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)

【知識點】函數(shù)奇偶性的判斷

【解析】【分析】函數(shù)奇偶性的判斷,先觀察定義域是否關于原點對稱,再由定義進行判斷.

26．【答案】（1）解：∵a＞b，∴a－b＞0，

∵，∴，∴f(a)＋f(－b)＞0.

又∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

∴f(－b)＝－f(b)，

∴f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b)

（2）解：由（1）可知f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，

∵f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，

∴f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)，

∴1＋m≥2m－3，∴m≤4.

∴實數(shù)m的取值范圍為(－∞，4]

【知識點】奇偶性與單調(diào)性的綜合

【解析】【分析】(1)將條件不等式結合奇偶性轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性求解;

(2)將函數(shù)不等式結合奇偶性進行轉(zhuǎn)化,由單調(diào)性脫去f得關于m的不等式求解.

27．【答案】（1）解：由題意知，令，得，即.

再令，即，得.

∴，

∴是奇函數(shù)

（2）解：設，且，則.

由已知得：，

∴，

∴.

即在上是增函數(shù)

（3）解：∵，∴，

∴.

即.

∵，∴.

當，即時，所求不等式的解集為或.

當，即時，所求不等式的解集為.

當，即時，所求不等式的解集為或

【知識點】函數(shù)奇偶性的判斷；奇偶性與單調(diào)性的綜合

【解析】【分析】(1)抽象函數(shù)的奇偶性判斷，可由函數(shù)所滿足的條件，取特殊值，得到f(x)與f(-x)的關系進行判斷；

(2)抽象函數(shù)的單調(diào)性，用定義證明；

(3)將函數(shù)不等式進行轉(zhuǎn)化為標準型，由單調(diào)性脫去f得到關于x的含參數(shù)a的不等式，分類討論求解，得解集.

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高中數(shù)學人教新課標A版必修1第一章集合與函數(shù)概念1.3.2奇偶性

一、選擇題

1．下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是（）

A．f（x）＝x2＋3B．f（x）＝1－x3

C．f（x）＝D．f（x）＝x＋1

【答案】C

【知識點】函數(shù)奇偶性的判斷

【解析】【解答】由奇、偶函數(shù)的定義得f（x）＝x2＋3為偶函數(shù)，f（x）＝1－x3為非奇非偶函數(shù)，f（x）＝為奇函數(shù)，f（x）＝x＋1為非奇非偶函數(shù)．

故答案為:C.

【分析】由奇、偶函數(shù)的定義進行判斷即可得到正確選項.

2．已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）＝x3＋，則f（－1）＝（）

A．－2B．0C．1D．2

【答案】A

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】【解答】f（－1）＝－f（1）＝－2.

故答案為:A.

【分析】根據(jù)地奇函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)值.

3．已知函數(shù)y＝f（x）是偶函數(shù)，其圖象與直線有4個交點，則方程的所有實根之和是（）

A．4B．2C．1D．0

【答案】D

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的零點

【解析】【解答】偶函數(shù)y＝f（x）的圖象關于y軸對稱，∴f（x）與直線的四個交點也關于y軸對稱．因此，設y軸右側一交點的橫坐標為x1，則它關于y軸對稱的交點的橫坐標為－x1；設y軸右側另一交點的橫坐標為x2，則它關于y軸對稱的交點的橫坐標為－x2.故的四根之和為x1＋（－x1）＋x2＋（－x2）＝0.

故答案為:D.

【分析】由偶函數(shù)y＝f（x）的圖象關于y軸對稱,其圖象與直線y=1的個交點也關于y軸對稱,從而可求出其和為0.

4．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）＝2x2－3x，則函數(shù)f（x）在R上的解析式是（）

A．f（x）＝－x（2x－3）B．f（x）＝x（2|x|－3）

C．f（x）＝|x|（2x－3）D．f（x）＝|x|（2|x|－3）

【答案】D

【知識點】奇偶函數(shù)圖象的對稱性

【解析】【解答】∵f（x）在R上是偶函數(shù)，且x≥0時，f（x）＝2x2－3x，

∴當x＜0時，－x＞0，f（－x）＝2（－x）2＋3x＝2x2＋3x，

則f（x）＝f（－x）＝2x2＋3x＝－x（－2x－3）．

又當x≥0時，f（x）＝2x2－3x＝x（2x－3），因此f（x）＝|x|（2|x|－3）．

故答案為:D.

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在y軸一側的解析式,利用偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱,可求出函數(shù)在y軸另一偶的解析式.

5．下面四個說法：

①奇函數(shù)的圖象關于坐標原點對稱；

②某一個函數(shù)可以既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；

③奇函數(shù)的圖象一定過原點；

④偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交．

其中正確說法的個數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；奇偶函數(shù)圖象的對稱性

【解析】【解答】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)知其圖象一定關于坐標原點對稱，故①正確；

函數(shù)f（x）＝0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，故②正確；

函數(shù)y＝是奇函數(shù)，但其圖象不過原點，故③錯；

函數(shù)y＝是偶函數(shù)，但不與y軸相交，故④錯．故正確的有2個.

故答案為:B.

【分析】(1)(2)可由函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)作判斷,(3)(4)可用實例說明不正確.

6．設奇函數(shù)f（x）的定義域為R，當x∈[0，＋∞）時，f（x）是增函數(shù)，則f（－2），f（π），f（－3）的大小關系是（）

A．f（π）＞f（－3）＞f（－2）B．f（π）＞f（－2）＞f（－3）

C．f（π）＜f（－3）＜f（－2）D．f（π）＜f（－2）＜f（－3）

【答案】B

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；奇偶性與單調(diào)性的綜合

【解析】【解答】∵f（x）是奇函數(shù)，f（x）在[0，＋∞）上是增函數(shù)，

∴f（x）在R上為增函數(shù)，

又∵，

∴f（π）＞f（－2）＞f（－3）.

故答案為:B.

【分析】由奇函數(shù)f（x）的定義域為R，當x∈[0，＋∞）時，f（x）是增函數(shù),可推出函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),從而可比較三個函數(shù)值的大小.

7．已知f（x）＝2x5＋ax3＋bx－3，若f（－4）＝10，則f（4）＝（）

A．16B．－10C．10D．－16

【答案】D

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】【解答】由f（x）＝2x5＋ax3＋bx－3，

得f（x）＋3＝2x5＋ax3＋bx，令g（x）＝f（x）＋3，

則g（x）是奇函數(shù)．∴g（－4）＝－g（4），

即f（－4）＋3＝－f（4）－3.又f（－4）＝10，

∴f（4）＝－f（－4）－6＝－10－6＝－16.

故答案為：D.

【分析】將函數(shù)f(x)的一部分設為奇函數(shù)g(x)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)值.

8．已知f（x）是定義在[m，n]上的奇函數(shù)，且f（x）在[m，n]上的最大值為a，則函數(shù)F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值與最小值之和為（）

A．2a＋3B．2a＋6C．6－2aD．6

【答案】D

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；奇偶函數(shù)圖象的對稱性

【解析】【解答】因為奇函數(shù)f（x）在[m，n]上的最大值為a，所以它在[m，n]上的最小值為－a，所以函數(shù)F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值與最小值之和為a＋3＋（－a＋3）＝6.

故答案為:D.

【分析】由奇函數(shù)f(x)的對稱性得到F(x)的對稱性,從而得到F(x)在區(qū)間是的最大值與最小值的和.

9．下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點】奇偶性與單調(diào)性的綜合

【解析】【解答】A中函數(shù)不是奇函數(shù)；B中函數(shù)不是奇函數(shù)；C中函數(shù)是奇函數(shù)，在定義域上不具有單調(diào)性；D中函數(shù)是奇函數(shù)并且是增函數(shù).

故答案為:D.

【分析】對函數(shù)的偶性和單調(diào)性同時判斷,找到正確選項.

10．（2023高一上·黑龍江期末）已知是定義在上的偶函數(shù)，且有.則下列各式中一定成立的是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】【解答】∵是定義在上的偶函數(shù)，∴

又

∴

故答案為：A

【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)值得轉(zhuǎn)化,即可得到正確選項.

11．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(xiàn)(x)＝f(x)＋f(－x)，則F(x)是（）

A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)

C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)

【答案】B

【知識點】函數(shù)奇偶性的判斷

【解析】【解答】根據(jù)題意知F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，

又x∈(－a，a)關于原點對稱，∴F(x)是偶函數(shù)．

故答案為:B.

【分析】由奇偶函數(shù)的定義,判斷復合函數(shù)的奇偶性.

12．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則的值為（）

A．B．0C．1D．2

【答案】B

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】【解答】因為，所以，又是定義域上的奇函數(shù)，所以，所以，故答案為:B．

【分析】由函數(shù)的奇偶性結合條件可得f(6)=-f(0),從而可求f(6).

13．函數(shù)的圖象大致是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知識點】奇偶函數(shù)圖象的對稱性；奇偶性與單調(diào)性的綜合；函數(shù)的圖象

【解析】【解答】當時，在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，過點（0，1），

又是偶函數(shù),當時，在（，0）內(nèi)是增函數(shù)，

結合反比例函數(shù)的圖象可知選C.

故答案為:C.

【分析】對于含有絕對值的函數(shù),先分段得單調(diào)性,再結合奇偶性對圖象作判斷.

14．奇函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(1)=0，則不等式的解集為（）

A．(﹣1，0)∪(1，+∞)B．(﹣∞，﹣1)∪(0，1)

C．(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞)D．(﹣1，0)∪(0，1)

【答案】C

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；奇偶函數(shù)圖象的對稱性

【解析】【解答】由函數(shù)的奇偶性可知即，，

又∵奇函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(1)=0，∴可畫圖如下，

由圖可知：.

故答案為:C.

【分析】利用奇偶性結合函數(shù)圖象求解.

15．設是奇函數(shù)，對任意的實數(shù)有，且當時，，則在區(qū)間上（）

A．有最大值B．有最小值

C．有最大值D．有最小值

【答案】C

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】【解答】設，由已知條件有，因為，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上函數(shù)的最大值為.

故答案為:C.

【分析】利用抽象函數(shù)所滿足的條件,研究單調(diào)性,結合奇偶性求解.

二、填空題

16．設函數(shù)f（x）＝為奇函數(shù)，則實數(shù)a＝.

【答案】

【知識點】奇函數(shù)；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】【解答】解法一：∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（－x）＝－f（x），即

＝，得a＝.

解法二：由f（－1）＝－f（1），可得a＝.

故答案為：

【分析】由奇函數(shù)就滿足的條件得到關于參數(shù)a的方程，求a的值.

17．若函數(shù)f（x）＝（2k－3）x2＋（k－2）x＋3是偶函數(shù)，則f（x）的遞增區(qū)間是．

【答案】

【知識點】偶函數(shù)；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】【解答】因為f（x）是偶函數(shù)，所以k－2＝0，即k＝2.

∴f（x）＝x2＋3，則f（x）的圖象是開口向上的拋物線．

∴f（x）的遞增區(qū)間為．

故答案為:[0,+∞)

【分析】由偶函數(shù)應滿足的條件求解.

18．已知f（x）為奇函數(shù)，且當x＜0時，f（x）＝2x2＋5x＋1.若當x∈[1，3]時，f（x）的最大值為m，最小值為n，則m－n的值為．

【答案】

【知識點】函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；奇偶函數(shù)圖象的對稱性

【解析】【解答】當x＜0時，f（x）＝2x2＋5x＋1，且f（x）是奇函數(shù)，

當x＞0時，－x＜0，則f（－x）＝2x2－5x＋1.

故當x＞0時，f（x）＝－f（－x）＝－2x2＋5x－1.

∴當x∈時，f（x）是增函數(shù)；

當x∈時，f（x）是減函數(shù)．

因此當x∈[1，3]時，f（x）max＝＝，f（x）min＝f（3）＝－4.

∴m＝，n＝－4.

故答案為:m－n＝.

【分析】先由函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)在y軸的另一側的解析式,分別求出最值,劉到結果.

19．若為奇函數(shù),則實數(shù)m=.

【答案】-2

【知識點】奇函數(shù)；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】【解答】依題意得.

又函數(shù)是奇函數(shù),于是有,即,則.

故答案為:-2

【分析】結合奇函數(shù)的定義,得到關于m的方程求m.

20．已知是偶函數(shù)，當時，，則當時，．

【答案】

【知識點】奇偶函數(shù)圖象的對稱性

【解析】【解答】設，則，由時，，得，又是偶函數(shù)，則.

故答案為:.

【分析】已知偶函數(shù)在y軸的一偶的解析式,由對稱性可求另一偶的解析式.

21．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若則.

【答案】-3

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】【解答】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，

又因為，所以，

將代入(1)式可得.

所以

故答案為:-3

【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì),將F(-2)和f(-2)互相表示,再用復合函數(shù)求f(0)的值.

三、解答題

22．已知函數(shù)f（x）（x∈R）是偶函數(shù)，且當x0時，f（x）＝3x－2，求函數(shù)f（x）的解析式．

【答案】解：當x＜0時，－x＞0，∴f（－x）＝3（－x）－2＝－3x－2.

又∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（－x）＝f（x），

∴f（x）＝－3x－2.

∴所求函數(shù)的解析式為f（x）＝

【知識點】奇偶函數(shù)圖象的對稱性

【解析】【分析】已知偶函數(shù)在y軸一偶的解析式,由對稱性求出在y軸另一偶的解析式.從而得到函數(shù)的解析式.

23．判定下列函數(shù)的奇偶性．

（1）f（x）＝；

（2）f（x）＝；

（3）f（x）＝；

（4）f（x）＝|x＋1|＋|x－1|.

【答案】（1）解：f（x）的定義域是（－∞，1）∪（1，＋∞），不關于原點對稱，∴f（x）是非奇非偶函數(shù)

（2）解：f（x）的定義域是{－1,1}，關于原點對稱，且f（－1）＝f（1）＝0，∴f（－1）＝f（1），且

f（－1）＝－f（1），

∴函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

（3）解：f（x）的定義域為（－∞，＋∞），關于原點對稱，

又，∴f（x）是奇函數(shù)

（4）解：f（x）的定義域為R，

又f（－x）＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f（x），

∴f（x）是偶函數(shù)

【知識點】函數(shù)奇偶性的判斷

【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性,先觀察定義是否關于原點對稱,再結合定義進行判斷.

24．已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）＝－2x2＋4x＋3.

（1）求f（x）的表達式；

（2）畫出f（x）的圖象，并指出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

【答案】（1）解：設x＜0，則－x＞0，

于是f（－x）＝－2（－x）2－4x＋3＝－2x2－4x＋3.

又∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（－x）＝－f（x）．

因此f（x）＝2x2＋4x－3.

又∵f（0）＝0，

∴f（x）＝

（2）解：先畫出y＝f（x）（x＞0）