空間向量與空間角、距離空間向量與空間角、距離11．空間角及向量求法角的分類向量求法范圍異面直線所成的角設(shè)兩異面直線所成的角為θ，它們的方向向量為a，b，則cosθ＝

＝

|cos<a，b>|=1．空間角及向量求法角的分類向量求法范圍異面直線所成的角設(shè)兩2角的分類向量求法范圍直線與平面所成的角設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，l的方向向量為a，平面α的法向量為n，則sinθ＝

＝二面角設(shè)二面角α－l－β的平面角為θ，平面α，β的法向量為n1，n2，則|cosθ|＝

＝|cos〈a，n〉||cos<n1，n2>|[0，π]角的向量求法范圍直線與平面所成的角設(shè)直線l與平面α所成的角為32．空間距離的向量求法分類向量求法兩點(diǎn)距設(shè)A，B為空間中任意兩點(diǎn)，則d＝

點(diǎn)面距設(shè)平面α的法向量為n，B?α，A∈α，則B點(diǎn)到平面α的距離d＝|AB|2．空間距離的向量求法分類向量求法兩點(diǎn)距設(shè)A，B為空間中任意4空間向量與空間角、距離-ppt課件5空間向量與空間角、距離-ppt課件6空間向量與空間角、距離-ppt課件7空間向量與空間角、距離-ppt課件8空間向量與空間角、距離-ppt課件9空間向量與空間角、距離-ppt課件10空間向量與空間角、距離-ppt課件11答案：A答案：A12空間向量與空間角、距離-ppt課件13空間向量與空間角、距離-ppt課件14空間向量與空間角、距離-ppt課件15[思路點(diǎn)撥]

可考慮以下兩種思路：一是由定義作出線面角，取A1B1的中點(diǎn)M，連結(jié)C1M，證明∠C1AM是AC1與平面A1ABB1所成的角；另一種是利用平面A1ABB1的法向量n＝(λ，x，y)求解．[思路點(diǎn)撥]可考慮以下兩種思路：一是由定義16空間向量與空間角、距離-ppt課件17空間向量與空間角、距離-ppt課件18空間向量與空間角、距離-ppt課件19空間向量與空間角、距離-ppt課件20[一點(diǎn)通]求直線與平面的夾角的方法與步驟思路一：找直線在平面內(nèi)的射影，充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形知識(shí)可求得夾角(或夾角的某一三角函數(shù)值)．思路二：用向量法求直線與平面的夾角可利用向量夾角公式或法向量．利用法向量求直線與平面的夾角的基本步驟：[一點(diǎn)通]求直線與平面的夾角的方法與步驟21空間向量與空間角、距離-ppt課件223.如圖，在四棱錐P－ABCD中，

底面為直角梯形，AD∥BC，

∠BAD＝90°，PA⊥底面

ABCD，且PA＝AD＝AB＝

2BC，M、N分別為PC，PB

的中點(diǎn)．求BD與平面ADMN

所成的角θ.3.如圖，在四棱錐P－ABCD中，23空間向量與空間角、距離-ppt課件24空間向量與空間角、距離-ppt課件254．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AA1，AB的

中點(diǎn)，求EF和平面ACC1A1夾角的大?。?．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AA126空間向量與空間角、距離-ppt課件27空間向量與空間角、距離-ppt課件28空間向量與空間角、距離-ppt課件29[思路點(diǎn)撥]

解答本題可建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量求解；也可在二面角的兩個(gè)面內(nèi)分別作棱的垂線，利用兩線的方向向量所成的角求解．[思路點(diǎn)撥]解答本題可建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐30空間向量與空間角、距離-ppt課件31空間向量與空間角、距離-ppt課件32空間向量與空間角、距離-ppt課件33空間向量與空間角、距離-ppt課件34空間向量與空間角、距離-ppt課件35(2)設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)就是兩個(gè)平面夾角的大小，如圖②.此方法的解題步驟如下：(2)設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，365.正方體ABEF－DCE′F′中，M，N

分別為AC，BF的中點(diǎn)(如圖)，求

平面MNA與平面MNB所成銳二面

角的余弦值．5.正方體ABEF－DCE′F′中，M，N37空間向量與空間角、距離-ppt課件38空間向量與空間角、距離-ppt課件39空間向量與空間角、距離-ppt課件40空間向量與空間角、距離-ppt課件41空間向量與空間角、距離-ppt課件42空間向量與空間角、距離-ppt課件43[例4]

正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E,F,G分別是C1C,D1A1,AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面EFG的距離．

[思路點(diǎn)撥]

結(jié)合圖形建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，然后利用公式求解．[精解詳析]

如圖,建立空間直角坐標(biāo)系，[例4]正方體ABCD－A1B1C1D1的44空間向量與空間角、距離-ppt課件45[一點(diǎn)通]

用向量法求點(diǎn)面距離的方法與步驟：[一點(diǎn)通]用向量法求點(diǎn)面距離的方法與步驟：467.如圖，在60°的二面角α－AB－β內(nèi)，

AC?β，BD?α，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，且AC＝AB＝BD＝1，則CD

的長(zhǎng)為________．7.如圖，在60°的二面角α－AB－β內(nèi)，478．四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平

面ABCD，PD＝DA＝2，F(xiàn)，E分別為AD，PC的中點(diǎn)．

(1)證明：DE∥平面PFB；

(2)求點(diǎn)E到平面PFB的距離．8．四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平48空間向量與空間角、距離-ppt課件49空間向量與空間角、距離-ppt課件501．兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負(fù)值，而對(duì)應(yīng)的方向向量的夾角可能為鈍角．

2．直線的方向向量為u，平面的法向量為n，直線與平面所成角為θ，則sinθ＝|cos〈u，n〉|，不要漏了絕對(duì)值符號(hào)．

3．利用兩平面的法向量n1，n2求出cos〈n1，n2