1.2平面力系及平衡方程一、概述

1．力系的的概念力系——作用在同一物體上的一群力（一組力）。

2．平面力系及分類平面力系——力系中各力作用在同一個(gè)平面內(nèi)。平面力系又分平面匯交力系、平面平行力系、平面一般力系。

1.2平面力系及平衡方程一、概述1圖1-36平面匯交力系（2）平面平行力系：力系中各力作用在同一個(gè)平面內(nèi)，且各個(gè)力的作用線都相互平行，如圖1-37所示。圖1-37平面平行力系（1）平面匯交力系：力系中各力作用在同一個(gè)平面內(nèi)，且各個(gè)力的作用線都匯交于一點(diǎn)，如圖1-36所示。圖1-36平面匯交力系（2）平面平行力系：力系中各力作用在同2圖1-38平面一般力系

（3）平面一般力系：力系中各力作用在同一個(gè)平面內(nèi)，且各個(gè)力的作用線在平面內(nèi)任意分布，如圖1-38所示。圖1-38平面一般力系（3）平面一般力系：力系中各力作用在3二、平面匯交力系1、力在坐標(biāo)軸上的投影設(shè)力F作用于物體的A點(diǎn)，如圖所示。定義：從力F的兩端分別向選定的坐標(biāo)軸x，y作垂線,

其垂足間的距離就是力F在該軸上的投影。二、平面匯交力系設(shè)力F作用于物體的A點(diǎn)，如圖所示。定義：從4

若已知力F的大小及其與x軸所夾的銳角α，則力F在坐標(biāo)軸上的投影Fx和Fy可按下式計(jì)算：

Fx=±Fcosα

Fy=±Fsinα

力在坐標(biāo)軸上的投影有兩種特殊情況：

(1)當(dāng)力與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，力在該軸上的投影等于零。

(2)當(dāng)力與坐標(biāo)軸平行時(shí)，力在該軸上的投影的絕對(duì)值等于力的大小。若已知力F的大小及其與x軸所夾的銳角α，則力5

如果已知力F在直角坐標(biāo)軸上的投影Fx和Fy，則力F的大小和方向可由下式確定

力F的指向和投影Fx和Fy的正負(fù)號(hào)判定:如果把力F沿x、y軸分解為兩個(gè)分力F1、F2，投影的絕對(duì)值等于分力的大小，投影的正負(fù)號(hào)指明了分力是沿該軸的正向還是負(fù)向。（力的投影是代數(shù)量）。

如果已知力F在直角坐標(biāo)軸上的投影Fx和Fy，6力的投影與分力關(guān)系:

將力F沿直角坐標(biāo)軸方向分解，所得分力Fx、Fy的值與力F在同軸上的投影的絕對(duì)值相等。但是，力的分力是矢量，具有確切的大小、方向和作用點(diǎn)；而力的投影是代數(shù)量，不存在唯一作用線問題。力的投影與分力關(guān)系:將力F沿直角坐標(biāo)軸方向分7合力投影定理：力系的合力在某軸上的投影等于力系中各力在同軸上投影的代數(shù)和。即2、合力投影定理合力投影定理：力系的合力在某軸上的投影等于2、合力投影定理83、平面匯交力系合成的解析法4、平面匯交力系的平衡方程平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：力系的合力為零。即：3、平面匯交力系合成的解析法4、平面匯交力系的平衡方程平面匯9總結(jié)：總結(jié)：10

例1-6如下圖所示重為G=5kN的球放在V型槽內(nèi)，求槽面對(duì)求的約束反力。例1-6如下圖所示重為G=5kN的球放在V型槽內(nèi)，求槽面11三、平面力偶系平面力偶系:作用在物體同一平面的許多力偶叫平面力偶系設(shè)有兩個(gè)力偶 dd12三、平面力偶系平面力偶系:作用在物體同一平面的許多力偶叫平面

平面力偶系平衡的充要條件是:所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。

結(jié)論:

平面力偶系合成結(jié)果還是一個(gè)力偶,其力偶矩為各力偶矩的代數(shù)和。13平面力偶系平衡的充要條件是:所有各力偶矩的代數(shù)和等于[例1-7]在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時(shí)鉆3個(gè)等直徑的孔,每個(gè)鉆頭的力偶矩為M1=M2=13.5N·m，M3=17N·m，求工件的總切削力偶矩。若在A

、B兩處用螺柱固定，A和B質(zhì)檢的距離L=0.2m，求兩個(gè)螺柱在該水平面內(nèi)所受的力?[例1-7]在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時(shí)鉆3個(gè)等直徑14[練習(xí)]在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時(shí)鉆四個(gè)等直徑的孔,每個(gè)鉆頭的力偶矩為求工件的總切削力偶矩和A

、B端水平反力?解:各力偶的合力偶距為根據(jù)平面力偶系平衡方程有:由力偶只能與力偶平衡的性質(zhì)，力NA與力NB組成一力偶。15[練習(xí)]在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時(shí)鉆四個(gè)等直徑的孔1、力的平移定理：作用于剛體上某一點(diǎn)A的力可以平移到剛體上的任一點(diǎn)，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于原力F對(duì)新作用點(diǎn)B的矩.四、平面任意力系(F)F’=F”=F,(F’,F”,F)(F’,M)(F’,F”,F)(F’,M)1、力的平移定理：四、平面任意力系(F)F’=F”=F,16思考：1.附加力偶作用面在哪兒？

2.同一平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶能否等效成一個(gè)力？思考：1.附加力偶作用面在哪兒？17

結(jié)論：一個(gè)力平移的結(jié)果可得到同平面的一個(gè)力和一個(gè)力偶；反之同平面的一個(gè)力F1和一個(gè)力偶矩為m的力偶也一定能合成為一個(gè)大小和方向與力F1相同的力F，其作用點(diǎn)到力作用線的距離為:結(jié)論：一個(gè)力平移的結(jié)果可得到同平面的一個(gè)力和一18FR’=F1’+F2’+F3’+…+Fn’

F1’=F1M1=Mo(F1)(F1,F2,F3,…,Fn)(F1’,F2’,F3’,…,Fn’)(M1,M2,M3,…,Mn)(FR’,Mo)F2’=F2

M2=Mo(F2)F3’=F3

M3=Mo(F3)Fn’=Fn

Mn=Mo(Fn)……力系的主矢Mo=M1+M2+M3+…+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+…+Mo(Fn)=∑Mo(Fi)向O點(diǎn)簡(jiǎn)化的主矩=F1+F2+F3+…+Fn=∑Fi2、平面任意力系的簡(jiǎn)化FR’=F1’+F2’+F3’+…+Fn’F1’=F1M19結(jié)論：平面任意力系向其作用平面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化，得到一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力等于該力系的主矢，作用于簡(jiǎn)化中心；這個(gè)力偶的力偶矩等于該力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。即平面任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果：①合力偶MO

；②合力(1)簡(jiǎn)化方法匯交力系合力一般力系（任意力系）匯交力系+力偶系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化（未知力系）（已知力系）結(jié)論：平面任意力系向其作用平面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化，得到(1)簡(jiǎn)化方法20附加力偶的合力偶矩(2)主矢與主矩主矢：指原平面一般力系各力的矢量和。

主矢的解析求法方向：大?。鹤⒁猓阂蛑魇傅扔谠ο蹈髁Φ氖噶亢?所以它與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān)。附加力偶的合力偶矩(2)主矢與主矩主矢：指原平面一般力系各力21轉(zhuǎn)向+–主矩：指原平面一般力系對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩的代數(shù)和。主矩MO正、負(fù)規(guī)定：因主矩等于各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩的代數(shù)和，所以它的大小和轉(zhuǎn)向一般與簡(jiǎn)化中心有關(guān)。注意：轉(zhuǎn)向+–主矩：指原平面一般力系對(duì)簡(jiǎn)22=(1)FR=0，而MO≠0，原力系合成為力偶。這時(shí)力系主矩MO不隨簡(jiǎn)化中心位置而變。(2)MO=0，而FR≠0，原力系合成為一個(gè)力。作用于點(diǎn)O的力FR就是原力系的合力。(3)FR≠0，MO≠0，原力系簡(jiǎn)化成一個(gè)力偶和一個(gè)作用于點(diǎn)O的力。這時(shí)力系也可合成為一個(gè)力。說明如下：MOOFROdMo

AFR”O(jiān)dMo

AFRFR”FR’=()FmFRMd?==00FR平面力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論=(1)FR=0，而MO≠0，原力系合成為力偶。這時(shí)力系主23綜上所述，可見：(4)FR=0，而MO=0，原力系平衡。⑴平面任意力系若不平衡，則當(dāng)主矢主矩均不為零時(shí)，則該力系可以合成為一個(gè)力。⑵平面任意力系若不平衡，則當(dāng)主矢為零而主矩不為零時(shí)，則該力系可以合成為一個(gè)力偶。綜上所述，可見：(4)FR=0，而MO=0，原力系平衡。243、平面力系的平衡方程所以平面任意力系平衡的必要和充分條件是：主失和主矩均為零。注意：上式中只有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，只能解出三個(gè)未知量。（2）平衡方程（1）平衡條件3、平面力系的平衡方程所以平面任意力系平衡的必要和充分條件是25以上每式中只有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，只能解出三個(gè)未知量。平衡方程的其他形式：二矩式方程兩矩心的連線與投影軸不垂直三矩式方程三矩心不共線以上每式中只有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，只能解出三個(gè)未知量。平衡26（3）平衡方程的應(yīng)用求解單個(gè)物體的平面力系平衡問題時(shí)，一般按如下步驟進(jìn)行。①選定研究對(duì)象，取出分離體；②畫受力圖；③取適當(dāng)?shù)耐队拜S和矩心，列平衡方程并求解。（3）平衡方程的應(yīng)用27例1-8求下圖中鉸鏈A、B處的約束反力。例1-8求下圖中鉸鏈A、B處的約束反力。28例1-9如下圖所示，P=2kN，均布載荷集度q＝1kN/m，不計(jì)桿重，求桿在A、B處的約束反力。例1-9如下圖所示，P=2kN，均布載荷集度q＝1kN/29【習(xí)題1】懸臂梁如圖1-44所示，梁上作用有均布載荷，載荷集度為q＝10kN/m，在梁的自由端受集中力F＝12kN和力偶矩為M＝6kN·m的力偶作用，梁的長(zhǎng)度為L(zhǎng)＝1.5m，試求固定端A處的約束反力。圖1-44懸臂梁【習(xí)題1】懸臂梁如圖1-44所示，梁上作用有均布載荷，載荷集30

①取梁AB為研究對(duì)象，其受力圖及坐標(biāo)建立如右圖所示。②列平衡方程。均布載荷的合力Q在均布載荷作用范圍的中點(diǎn)（圖中不要畫出），Q的大小等于載荷集度與均布載荷分布長(zhǎng)度的乘積，即Q＝q·L。列平衡方程如下：由∑Fx＝0得NAX＝0①由∑FY＝0得NAy－q·L－F＝0②由∑MA（F）＝0得MA－q·L·L/2－F·L－M＝0③解題步驟①取梁AB為研究對(duì)象，其受力圖及坐標(biāo)建立如右圖所示。②列31

③求解未知量由①式得

NAX＝0

由②式得NAy＝q·L＋F＝10×1.5＋12

＝27kN由③式得

MA＝q·L·L/2＋FL＋M

＝10×1.5×1.5/2＋12×1.5＋6

＝35.25kN·m所以，固定端A處的約束反力NAX＝0，

NAy＝27kN，