金融風(fēng)險(xiǎn)理論與模型第5章二叉樹模型與美式期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)管理1金融風(fēng)險(xiǎn)理論與模型第5章二叉樹模型與美式期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)管理5.1概述二叉樹期權(quán)定價(jià)（BinomialoptionPricingModel）由Cox,Ross,Rubinstein等人提出為期權(quán)定價(jià)模型為B-S模型提供一種比較簡(jiǎn)單和直觀的方法二叉樹模型已經(jīng)成為建立復(fù)雜期權(quán)（美式期權(quán)和奇異期權(quán)）定價(jià)模型的基本手段對(duì)于所有不能給出解析式的期權(quán)，都可以通過(guò)二叉樹模型給出。25.1概述二叉樹期權(quán)定價(jià)（BinomialoptionASimpleBinomialModelAstockpriceiscurrently$20Inthreemonthsitwillbeeither$22or$18StockPrice=$22StockPrice=$18Stockprice=$203ASimpleBinomialModelAstockStockPrice=$22OptionPrice=$1StockPrice=$18OptionPrice=$0Stockprice=$20OptionPrice=?

A3-monthcalloptiononthestockhasastrikepriceof21.4StockPrice=$22StockPrice=ConsiderthePortfolio: longDshares short1calloption Portfolioisrisklesswhen22D–1=18DorD=0.2522D–118DSettingUpaRisklessPortfolio股股票－1份期權(quán)=無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券→1份期權(quán)=D股股票-無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券5ConsiderthePortfolio: long5.2單期二叉樹期權(quán)定價(jià)模型考慮一個(gè)買權(quán)在當(dāng)前時(shí)刻t，下期t=T到期，中間只有1期，τ=T-t假設(shè)該買權(quán)的標(biāo)的股票是1個(gè)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量。當(dāng)前股票價(jià)格為st=S是已知的，到期股票價(jià)格為sT，且滿足其中，u為上漲因子，d為下跌因子65.2單期二叉樹期權(quán)定價(jià)模型考慮一個(gè)買權(quán)在當(dāng)前時(shí)刻t，下sT=su=uSsT=sd=dSstq1-q問(wèn)題：如何確定該期權(quán)在當(dāng)前時(shí)刻t的價(jià)值ct？設(shè)想：構(gòu)造如下投資組合，以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r借入資金B(yǎng)（相當(dāng)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券空頭），并且在股票市場(chǎng)上購(gòu)入N股股票（股票多頭）。目的：在買權(quán)到期日，上述投資組合的價(jià)值特征與買權(quán)完全相同。7sT=su=uSsT=sd=dSstq1-q問(wèn)題：如何確定該在當(dāng)前時(shí)刻t，已知股票的價(jià)格為s，構(gòu)造上述組合的成本為在到期時(shí)刻T，若希望該組合的價(jià)值v與買權(quán)的價(jià)值完全相同則必須滿足由上兩式得到8在當(dāng)前時(shí)刻t，已知股票的價(jià)格為s，構(gòu)造上述組合的成本為在到期由此得到的組合稱為合成期權(quán)（syntheticoption），由無(wú)套利定價(jià)原則，在當(dāng)前時(shí)刻t買權(quán)的價(jià)值為9由此得到的組合稱為合成期權(quán)（s例子假設(shè)有1個(gè)股票買權(quán)合約，到期日為1年，執(zhí)行價(jià)格為112美元，股票當(dāng)前的價(jià)格為100美元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為8％（連續(xù)復(fù)利折算為單利）。在到期日股票的價(jià)格有兩種可能：180美元或者60美元，求期權(quán)的價(jià)值？sT=su=us＝180sT=sd=ds=60stq1-qct？cT=cu=max(0,Su-112)=68cT=cd=max(0,Sd-112)=010例子假設(shè)有1個(gè)股票買權(quán)合約，到期日為1年，執(zhí)行價(jià)格為112美1111Dicussion:Risk-neutralprobabilitypisRisk-neutralprobabilityforallsecurities。stock’sexpectedrelativereturnisOption’sexpectedrelativereturnisSo，pisavariablewhichmakeriskfulstockandcalloption’sexpectedreturnarebothonlyrisklessinterestrate.Fortheabovereason,Wecallp“riskneutralprobability”.12Dicussion:Risk-neutralprobaDicussion:Risk-neutralprobability在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，主觀概率q沒有出現(xiàn)。雖然個(gè)人對(duì)q的信念是不同的，但是在期權(quán)的定價(jià)過(guò)程中并沒有涉及到q，也就是人們對(duì)q認(rèn)識(shí)的分歧并不影響對(duì)期權(quán)的定價(jià)結(jié)果。投資者最終都一致風(fēng)險(xiǎn)中性概率p，它只取決于r，u，d這三個(gè)客觀因子。13Dicussion:Risk-neutralprobaDicussion:Risk-neutralprobability風(fēng)險(xiǎn)中性世界，不必考慮風(fēng)險(xiǎn)，這等價(jià)于假設(shè)投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性的。若在期初構(gòu)造如下組合：以S的價(jià)格買入N股股票，同時(shí)以c的價(jià)格賣出1個(gè)期權(quán)，則該組合的投資成本為NS－c必然等于B。若sT＝su若sT＝Sd14Dicussion:Risk-neutralproba投資者雖然投資于有風(fēng)險(xiǎn)的股票和期權(quán)，但是由二者構(gòu)成的組合NS－c，即相當(dāng)于投資1個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的證券。組合貼現(xiàn)率的貼現(xiàn)率只能是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率由于是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，對(duì)于理性投資者，不論其偏好如何，其風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度對(duì)于這樣的組合是無(wú)關(guān)緊要。只要考慮收益的大小即可，由此大大簡(jiǎn)化資產(chǎn)的定價(jià)。基于上述的理由，只要以上述方式構(gòu)建投資組合來(lái)對(duì)期權(quán)定價(jià)，就等價(jià)于假設(shè)投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性的，既然是風(fēng)險(xiǎn)中性的，則對(duì)這樣的組合定價(jià)就不必考慮風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題。15投資者雖然投資于有風(fēng)險(xiǎn)的股票和期權(quán)，但是由二者構(gòu)成的組合NS由于標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格是1個(gè)連續(xù)（接近連續(xù)）的隨機(jī)變量，不可能只有2種情形，因此可以考慮將時(shí)間T-t分為多段處理，首先介紹兩階段模型。5.3兩階段二叉樹定價(jià)模型兩階段模型（Two-stepbinomialtree)若把從定價(jià)日t至到期日T的時(shí)間區(qū)間T-t，劃分為2個(gè)階段，在每1個(gè)階段，仍然假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格只可能取2種狀態(tài)，上漲和下跌，且上漲和下跌的幅度相等，則第2階段結(jié)束時(shí)候（t=T），標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的取值為3個(gè)，并且令h為每個(gè)階段的時(shí)間長(zhǎng)度16由于標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格是1個(gè)連續(xù)（接近連續(xù)）的隨機(jī)變量，不可能兩階段模型示意圖stctsu,cuuduuddsd,cdsuu,cuusud,cudsdd,cdd其中，u＝1/d17兩階段模型示意圖stsu,cuuduuddsd,cdsuu,第2期本來(lái)有4種狀態(tài)，為簡(jiǎn)化分析，不妨規(guī)定u=1/d，則第2、3兩種狀態(tài)為同一結(jié)果，故將其合并。期權(quán)到期日價(jià)值的所有可能值為兩階段模型18第2期本來(lái)有4種狀態(tài)，為簡(jiǎn)化分析，不妨規(guī)定u=1/d，則第2由1階段模型可知，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下注意：風(fēng)險(xiǎn)中性概率p只與r，h，u，d有關(guān)，當(dāng)上述值確定下來(lái)后，兩個(gè)階段的p就完全相同，這也正是階段平分的優(yōu)點(diǎn)。19由1階段模型可知，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下注意：風(fēng)險(xiǎn)中性概率p只與r當(dāng)前時(shí)刻t，期權(quán)的價(jià)值為20當(dāng)前時(shí)刻t，期權(quán)的價(jià)值為20定價(jià)思路：倒推定價(jià)法首先得到2期節(jié)點(diǎn)的股票價(jià)格，從而得到該期的期權(quán)價(jià)格。采用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)，通過(guò)貼現(xiàn)得到1期節(jié)點(diǎn)的股票價(jià)格和期權(quán)價(jià)格。由1期的股票價(jià)格得到期權(quán)價(jià)格，得到當(dāng)前期權(quán)的價(jià)格。風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)下，每一期的風(fēng)險(xiǎn)中性概率都是相同的。21定價(jià)思路：倒推定價(jià)法首先得到2期節(jié)點(diǎn)的股票價(jià)格，從而得到該期將定價(jià)日t到到期日T的時(shí)間進(jìn)一步等分為n個(gè)階段，每個(gè)階段的長(zhǎng)度為h5.4n階段二叉樹定價(jià)模型標(biāo)的資產(chǎn)在到期日的狀態(tài)可能取值為n＋1個(gè).若n→∞，即每個(gè)階段所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度無(wú)窮小，則完全有理由用二叉樹來(lái)近似表示標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)變化過(guò)程。數(shù)學(xué)意義：根據(jù)中心極限定理，若n充分大，則二項(xiàng)分布收斂于正態(tài)分布思路：推導(dǎo)出n期的二項(xiàng)式模型，然后令n趨于無(wú)窮。22將定價(jià)日t到到期日T的時(shí)間進(jìn)一步等分為n個(gè)階段，每個(gè)階段的長(zhǎng)標(biāo)的股票當(dāng)前價(jià)格為St=S，而在以后任意一期，股價(jià)的變化有上升和下降兩個(gè)可能。這樣經(jīng)過(guò)n期后（到期日T），若該股票上漲j次，下跌n-j次，到期日T股價(jià)ST為由概率論可知，sT服從二項(xiàng)分布（binomialdistribution)，所以，具有j次上漲，n-j次下降的股票價(jià)格sT的概率為23標(biāo)的股票當(dāng)前價(jià)格為St=S，而在以后任意一期，股價(jià)的變化有上recall：binomialdistribution假設(shè)在一個(gè)不透明的袋子中有N個(gè)球，其中M個(gè)是白色的，其余N-M個(gè)球是黑色的，則每次取球取到白球的概率是p=M/N。若有放回地取球n次，稱之為n重貝努里試驗(yàn)。在貝努里試驗(yàn)中剛好取到j(luò)次白球的概率記為b(j;n,p)24recall：binomialdistribution假recall：binomialdistribution由于b(j;n,p)剛好是二項(xiàng)式例如第j項(xiàng)就是故上述分布又稱為二項(xiàng)式分布，并且成立25recall：binomialdistribution由recall：binomialdistribution由于二項(xiàng)式分布計(jì)算復(fù)雜，為簡(jiǎn)化計(jì)算。當(dāng)n→∞，可以用正態(tài)分布逼近（定理：獨(dú)立同分布下的中心極限定理）。設(shè)隨機(jī)變量Yn~b(j;n,p)，則隨機(jī)變量26recall：binomialdistribution由參照2階段模型的思路，從最后的n期（T時(shí)刻）開始逐期向前推導(dǎo)，則期權(quán)在當(dāng)前時(shí)刻t的價(jià)格為公式意義：在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里，將期權(quán)到期時(shí)所有的可能值對(duì)當(dāng)前時(shí)刻貼現(xiàn)，并以風(fēng)險(xiǎn)中性概率加權(quán)，得到的是期權(quán)現(xiàn)值的期望值。此期望值是期權(quán)的真實(shí)值嗎？27參照2階段模型的思路，從最后的n期（T時(shí)刻）開始逐期向前推導(dǎo)Forexample:two-stepbinomialtrees28Forexample:two-stepbinomial5.5CRRmodel:n-stepbinomialtrees295.5CRRmodel:n-stepbinomial30303131Howtocomputeuord?32Howtocomputeuord?32ChoosinguanddOnewayofmatchingthevolatilityistosetwheresisthevolatilityandhisthelengthofthetimestep.ThisistheapproachusedbyCox,Ross,andRubinstein.Neutral-riskprobabilityis33ChoosinguanddOnewayofmatSimplifyfirstterm=134Simplifyfirstterm=134Binomialequation35Binomialequation353636Simplifysecondterm37Simplifysecondterm37SimplifyalltermsNextstep,wemustdeduced1andd2whenn→∞38SimplifyalltermsNextstep,deducingd1andd2(form)39deducingd1andd2(form)39deducingd1andd2(forp)40deducingd1andd2(forp)4041414242deducingd243deducingd243Result:Black-Scholesformula44Result:Black-Scholesformula45.6HowtochooseuanddBlack-scholesmodelassumethemotionofstockpricesatisfiestheGeometryBrownmotionorlogarithmnormaldistribution455.6HowtochooseuanddBlacHowtochooseuanddInbinomialmodel,weassumeqisprobabilityofstockpriceupinrealworlds.46HowtochooseuanddInbinomiHowtochooseuandd47Howtochooseuandd474848So,wefindonesolveoftheequationInrisk-neutralworld,thereturnofsecuritiesmustber,whichmeans49So,wefindonesolveoftheDisscusion:ChoosinguanddWehaveknowneutralprobabilitypforanystepud1p1-p50Disscusion:ChoosinguanddWeWecangetProve:inrisk-neutralworldVarianofastock’sreturnin

AccordingtoGeometryBrownmotion51WecangetProve:inrisk-neuud1p1-p52ud1p1-p52Substitutingforuandd,thetermsofhigherthan2powerareignored.FromCox，RossandRubinstein(1979)53Substitutingforuandd,the美式期權(quán)可以提前執(zhí)行，提前執(zhí)行從表面上看是一個(gè)非常微小的變化，但是歐式期權(quán)與美式期權(quán)（尤其是看跌期權(quán)）價(jià)值有很大的不同。WeknowthevalueoftheoptionatthefinalnodesWeworkbackthroughthetreeusingrisk-neutralvaluationtocalculatethevalueoftheoptionateachnode,testingforearlyexercisewhenappropriate美式期權(quán)沒有解析解，故采用二叉樹方法來(lái)逼近。5.7Application:Americanoptionpricing54美式期權(quán)可以提前執(zhí)行，提前執(zhí)行從表面上看是一個(gè)非常微小的變化Americanoptionpricing55Americanoptionpricing55以無(wú)收益證券的美式看跌期權(quán)為例。把該期權(quán)有效期劃分成N個(gè)長(zhǎng)度為h的小區(qū)間，令表示在時(shí)間時(shí)第j個(gè)結(jié)點(diǎn)處的美式看跌期權(quán)的價(jià)值，同時(shí)用表示結(jié)點(diǎn)處的證券價(jià)格，可得：后，假定期權(quán)不被提前執(zhí)行，則在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下：

56以無(wú)收益證券的美式看跌期權(quán)為例。把該期權(quán)有效期劃分成N個(gè)長(zhǎng)度Example:AmericanPutOption

(SeeExample16.1,page391)S=50;X=50;r=10%;s=40%; T=5months=0.4167(year);

h=1month=0.0833(year);Theparametersimply u=1.1224;d=0.8909;

=1.0084;p=0.507657Example:AmericanPutOption

為了構(gòu)造二叉樹，我們把期權(quán)有效期分為五段，每段一個(gè)月（等于0.0833年）?？梢运愠觯?8為了構(gòu)造二叉樹，我們把期權(quán)有效期分為五段，每段一個(gè)月（等于0ExampleX＝5059ExampleX＝50595.5二叉樹模型的程序example：PriceanAmericancalloptionusingabinomialmodel.Again,theassetpriceis$100.00,theexercisepriceis$95.00,therisk-freeinterestrateis10%,andthetimetomaturityis0.25years.Itcomputesthetreeinincrementsof0.01years,sothereare0.25/0.01=25periodsintheexample.Thevolatilityis0.50,thisisacall(flag=1),thedividendrateis0,anditpaysdividendof$5.00afterthreeperiods(anex-dividenddate).Executingthetoolboxfunction605.5二叉樹模型的程序example：PriceanMATLABfinancialtoolbox[AssetPrice,OptionPrice]=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volatility,Flag,DividendRate,Dividend,ExDiv)[StockPrice,OptionPrice]=binprice(100,95,0.10,0.25,0.05,0.50,1,0,5.0,3);61MATLABfinancialtoolbox61StockPrice=Columns1through4100.0000111.2713123.8732137.9629085.9677100.0495111.32110080.999490.017500072.98250