二次函數(shù)與四邊形存在性問題【例題精講】已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）是二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸上的點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若有請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)把代入得：解得：該拋物線的解析式為；（2）存在．如圖2中當(dāng)是平行四邊形的邊時(shí)可得或當(dāng)為對(duì)角線時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2時(shí)．綜上所述滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．如圖一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)、二次函數(shù)圖象過、兩點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)點(diǎn)是對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)在拋物線上是否存在點(diǎn)使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）在中令得令得二次函數(shù)圖象過、兩點(diǎn)解得二次函數(shù)解析式為；（2）存在理由如下：由二次函數(shù)可得其對(duì)稱軸為直線設(shè)而與關(guān)于直線對(duì)稱①當(dāng)、為對(duì)角線時(shí)如圖：此時(shí)的中點(diǎn)即是的中點(diǎn)即解得當(dāng)時(shí)四邊形是平行四邊形由可得四邊形是菱形此時(shí)；②、為對(duì)角線時(shí)如圖：同理、中點(diǎn)重合可得解得當(dāng)時(shí)四邊形是平行四邊形由可得四邊形是菱形此時(shí)；③以、為對(duì)角線如圖：、中點(diǎn)重合可得解得時(shí)四邊形是平行四邊形由可得四邊形是菱形此時(shí)；綜上所述的坐標(biāo)為：或或．如圖在平面直角坐標(biāo)系中拋物線與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)直線交軸于點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）在第二象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)使得四邊形為矩形？如果存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）把代入拋物線得解得：該拋物線的解析式為；（2）存在．過點(diǎn)作的平行線過點(diǎn)作的平行線兩條直線相較于則即為所求．在中令則四邊形是矩形設(shè)直線的解析式為則解得：直線的解析式為直線的解析式為直線的解析式為聯(lián)立方程組解得：點(diǎn)坐標(biāo)為．若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)其對(duì)稱軸為直線與軸的另一交點(diǎn)為．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)在直線上且在第四象限過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．①若點(diǎn)在線段上且求點(diǎn)的坐標(biāo)；②以為對(duì)角線作正方形（點(diǎn)在右側(cè)）當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)對(duì)稱軸為直線經(jīng)過解得拋物線的解析式為；（2）①如圖1中設(shè)直線的解析式為解得直線的解析式為關(guān)于直線對(duì)稱設(shè)軸點(diǎn)；②如圖2中連接交于點(diǎn)．設(shè)則點(diǎn)四邊形是正方形軸點(diǎn)在拋物線上解得點(diǎn)在第四象限舍去點(diǎn)坐標(biāo)為．【題組訓(xùn)練】4．如圖在平面直角坐標(biāo)系中拋物線與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)、．且點(diǎn)點(diǎn)為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1過點(diǎn)作平行于軸交拋物線于點(diǎn)若點(diǎn)在的上方作平行于軸交于點(diǎn)連接當(dāng)時(shí)求點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與交于點(diǎn)點(diǎn)在直線上當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將點(diǎn)分別代入得二次函數(shù)的解析式為；（2）軸點(diǎn)當(dāng)時(shí)設(shè)直線的解析式為將分別代入得解得直線的解析式為；設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為則函數(shù)當(dāng)時(shí)有又解得：或；（3）拋物線的對(duì)稱軸與交于點(diǎn)設(shè)若四邊形為平行四邊形解得或或；若四邊形為平行四邊形同理求出；若為對(duì)角線則解得（不合題意舍去）或綜合以上可得出點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．5．拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)頂點(diǎn)為點(diǎn)連接．（1）求拋物線及直線的解析式；（2）請(qǐng)你直接寫出的面積；（3）過點(diǎn)作軸垂足為平行于軸的直線交直線于點(diǎn)交拋物線于點(diǎn)是否存在點(diǎn)使以點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)解得即該拋物線的解析式為設(shè)直線的解析式為解得直線的解析式為；（2）如圖過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為直線的解析式為當(dāng)時(shí)；（3）設(shè)以點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形或當(dāng)時(shí)或當(dāng)時(shí)或綜合以上可得點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．6．如圖已知拋物線與軸的交點(diǎn)為、在的右側(cè)）與軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)為．（1）直接寫出、、、四點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)在拋物線上使得的面積與的面積相等求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在對(duì)稱軸上存在點(diǎn)拋物線上是否存在點(diǎn)使得以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)則解得；拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）如圖1設(shè)與有相同的底邊且的面積與的面積相等點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到軸的距離解得點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．（3）存在如圖2點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3作軸作于點(diǎn)由（1）得拋物線的對(duì)稱軸為直線在上截取過點(diǎn)作直線的垂線垂足為點(diǎn)連結(jié)并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)作四邊形四邊形是平行四邊形；如圖3點(diǎn)的橫坐標(biāo)為作軸作于點(diǎn)設(shè)直線交軸于點(diǎn)在軸上方的直線上截取作四邊形交軸于點(diǎn)軸四邊形是平行四邊形；如圖4點(diǎn)的橫坐標(biāo)為作軸于點(diǎn)作軸于點(diǎn)在上截取過點(diǎn)作直線的垂線垂足為點(diǎn)連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)作四邊形軸四邊形是平行四邊形綜上所述點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．7．如圖二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)將射線繞逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與函數(shù)圖象交于點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)在二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸上時(shí)求此時(shí)的長(zhǎng)；（3）求線段的最大值；（4）拋物線對(duì)稱軸上是否存在使、、、四點(diǎn)能構(gòu)成平行四邊形若存在請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）把代入得解得該二次函數(shù)的表達(dá)式為．（2）如圖1作軸于點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn)則且該直線過點(diǎn)設(shè)直線的解析式為直線由得拋物線的對(duì)稱軸為直線當(dāng)點(diǎn)落在直線上則解得由得（不符合題意舍去）．（3）如圖2當(dāng)時(shí)的長(zhǎng)隨的增大而減?。?dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)的長(zhǎng)最大的長(zhǎng)也最大此時(shí)直線的解析式為由得（不符合題意舍去）此時(shí)的最大值為．（4）存在．如圖3為以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的一邊則．設(shè)直線交軸于點(diǎn)此時(shí)在拋物線上一定存在點(diǎn)其縱坐標(biāo)為作軸于點(diǎn)在軸上取點(diǎn)使則且四邊形是平行四邊形此時(shí)；如圖4．設(shè)設(shè)直線的解析式為則即由得（不符合題意舍去）解得（不符合題意舍去）．綜上所述點(diǎn)的坐標(biāo)為或．8．如圖拋物線與軸交于兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)直線經(jīng)過點(diǎn)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)過點(diǎn)作軸垂足為交直線于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)位于直線上方且面積最大時(shí)求的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)是否存在點(diǎn)使得以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）把代入得解得直線的解析式為．令則．把點(diǎn)代入拋物線的解析式得解得．拋物線的解析式為．令解得；（2）設(shè)則．當(dāng)時(shí)的面積最大此時(shí)；（3）存在理由如下：當(dāng)點(diǎn)在軸右側(cè)時(shí)四邊形為菱形設(shè)的解析式為把坐標(biāo)代入得的解析式為設(shè)解得或（舍；當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時(shí)同理可得；綜上．9．如圖在平面直角坐標(biāo)系中拋物線與軸交于兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)在拋物線上當(dāng)時(shí)求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）將拋物線的對(duì)稱軸沿軸向右平移個(gè)單位得直線點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）拋物線與軸交于兩點(diǎn)解得．拋物線的解析式為；（2）如圖設(shè)直線與交于點(diǎn)拋物線解析式與軸交于點(diǎn)又或設(shè)直線的解析式為或解得或直線的解析式為或或解得（舍去）（舍去）或；（3）由（1）知拋物線解析式為對(duì)稱軸直線為將拋物線的對(duì)稱軸沿軸向右平移個(gè)單位得直線設(shè)①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)如圖以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形或或或；②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)如圖以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形或或或；綜上所述存在點(diǎn)使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．10．如圖拋物線的對(duì)稱軸是直線與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)連接．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)過點(diǎn)作軸垂足為點(diǎn)交直線于點(diǎn)是否存在這樣的點(diǎn)使得以為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)若不存在請(qǐng)說明理由；（3）已知點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為矩形若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）拋物線的對(duì)稱軸是直線與軸交于點(diǎn)解得拋物線的解析式；（2）設(shè)直線的解析式為將點(diǎn)代入得：解得：直線的解析式為；設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為則點(diǎn)①當(dāng)時(shí)解得（不合題意舍去）點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)時(shí)解得（不合題意舍去）點(diǎn)的坐標(biāo)為；③當(dāng)時(shí)解得點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜上存在點(diǎn)的坐標(biāo)為或或；（3）設(shè)①以為對(duì)角線時(shí)解得：或或或或點(diǎn)的坐標(biāo)為或；②以為邊時(shí)或或解得：或或或或點(diǎn)的坐標(biāo)為或綜上所述：存在點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．11．綜合與探究如圖某一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交點(diǎn)為．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)當(dāng)與的和最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)為拋物線位于線段下方圖象上一動(dòng)點(diǎn)過點(diǎn)作軸交線段于點(diǎn)求線段長(zhǎng)度的最大值；（4）在（2）條件下點(diǎn)為軸上一點(diǎn)點(diǎn)為直線上一點(diǎn)點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是正方形請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將代入得拋物線的解析式為；（2）設(shè)直線的函數(shù)解析式為直線的解析式為當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)的最小值為的長(zhǎng)拋物線的對(duì)稱軸為當(dāng)時(shí)故答案為：；（3）設(shè)則當(dāng)時(shí)的最大值為；（4）當(dāng)為對(duì)角線時(shí)如圖此時(shí)四邊形是正方形當(dāng)為邊時(shí)若點(diǎn)在的上方此時(shí)軸是等腰直角三角形當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的下方時(shí)如圖四邊形是正方形同理可得當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的下方時(shí)如圖四邊形是正方形同理可得綜上：或或或．12．如圖已知拋物線與一直線相交于兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)其頂點(diǎn)為．（1）填空：拋物線的解析式為；（2）若是拋物線上位于直線上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為過點(diǎn)作軸的平行線交與當(dāng)為何值時(shí)線段的長(zhǎng)最大并求其最大值；（3）若拋物線的對(duì)稱軸與直線相交于點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)以為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）將代入拋物線的解析式得：解得：拋物線的解析式為故答案為：；（2）是拋物線上位于直線上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為；設(shè)直線的解析式為將代入得：解得：直線的解析式為；軸點(diǎn)在上點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)的長(zhǎng)最大最大值為；（3）以為頂點(diǎn)的四邊形能為平行四邊形理由如下：頂點(diǎn)直線的解析式為拋物線的對(duì)稱軸與直線相交于點(diǎn)設(shè)點(diǎn)則或解得：（舍．點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．13．如圖已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)連接．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)（不與、重合）軸且交拋物線于點(diǎn)交軸于點(diǎn)當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)在拋物線上是否存在點(diǎn)使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）依題意得：解得：拋物線的解析式為．（2）設(shè)直線的解析式為則解得：直線的解析式為設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為則點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)的面積最大．此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）對(duì)稱軸為直線當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)；當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)；當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)；存在點(diǎn)使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形點(diǎn)的坐標(biāo)是或或．14．綜合與實(shí)踐如圖二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)、點(diǎn)其中點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為過點(diǎn)、的直線交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)和直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）連接則的面積為6；（3）在軸上確定點(diǎn)使得點(diǎn)的坐標(biāo)為；（4）點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)點(diǎn)為平面上一點(diǎn)是否存在這樣的點(diǎn)使得以點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的矩形？若存在請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）將代入得：解得：二次函數(shù)的表達(dá)式為．當(dāng)時(shí)解得：點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為將代入得：解得：直線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）聯(lián)立直線和拋物線的函數(shù)表達(dá)式得：解得：點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：6．（3）當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸軸時(shí)過點(diǎn)作于點(diǎn)如圖1所示．點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱．點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為平分．點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案為：或．（4）連接則即利用待定系數(shù)法可求出直線的函數(shù)表達(dá)式．分兩種情況考慮如圖2所示．①當(dāng)四邊形為矩形時(shí)設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為將代入得：解得：直線的函數(shù)表達(dá)式為．聯(lián)立直線和拋物線的函數(shù)表達(dá)式得：解得：點(diǎn)的坐標(biāo)為又四邊形為矩形點(diǎn)的坐標(biāo)為即；②當(dāng)四邊形為矩形時(shí)同理可得出直線的函數(shù)表達(dá)式為聯(lián)立直線和拋物線的函數(shù)表達(dá)式得：解得：點(diǎn)的坐標(biāo)為又四邊形為矩形點(diǎn)的坐標(biāo)為即．綜上所述存在這樣的點(diǎn)使得以點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的矩形點(diǎn)的坐標(biāo)為或．15．在平面直角坐標(biāo)系中二次函數(shù)為常數(shù)）的圖象記作圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）當(dāng)求圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)；（2）平面內(nèi)有點(diǎn)．當(dāng)不與坐標(biāo)軸平行時(shí)以為對(duì)角線構(gòu)造矩形與軸平行與軸平行．①若矩形為正方形時(shí)求點(diǎn)坐標(biāo)；②圖象與矩形的邊有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)求的取值范圍．【解答】解：（1）時(shí)頂點(diǎn)為圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）①當(dāng)時(shí)正方形中與軸平行與軸平行同理得或解得或點(diǎn)的坐標(biāo)為或；②點(diǎn)在圖象上圖象與矩形已經(jīng)有一個(gè)公共點(diǎn)圖象與矩形的邊有兩個(gè)公共點(diǎn)只需圖象與矩形的邊再由一個(gè)公共點(diǎn)即可；點(diǎn)的橫坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)如圖1當(dāng)時(shí)圖象在時(shí)隨的增大而減小矩形與圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)圖象在時(shí)隨的增大而減小當(dāng)時(shí)圖象與矩形有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)解得時(shí)圖象與矩形有兩個(gè)交點(diǎn)；如圖3當(dāng)時(shí)即當(dāng)時(shí)整理得△△此時(shí)圖象與邊有另一個(gè)交點(diǎn)此時(shí)圖象與矩形有三個(gè)交點(diǎn)當(dāng)時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為此時(shí)不與軸平行不符合題意；當(dāng)時(shí)此時(shí)圖象與矩形有兩個(gè)交點(diǎn)；綜上所述：或時(shí)圖象與矩形有兩個(gè)交點(diǎn)．16．如圖在平面直角坐標(biāo)系中拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為與軸交于點(diǎn)與交于點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)作平行于軸交拋物線于點(diǎn)點(diǎn)為拋物線上的一點(diǎn)（點(diǎn)在上方）作平行于軸交于點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)在何位置時(shí)四邊形的面積最大？求出最大面積；（3）若點(diǎn)在拋物線上點(diǎn)在其對(duì)稱軸上以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形且為其一邊求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為拋物線與軸交于點(diǎn)即二次函數(shù)的表達(dá)式是；（2）當(dāng)時(shí)設(shè)直線的解析式為由點(diǎn)、的坐標(biāo)得直線的解析式為；設(shè)當(dāng)時(shí)即點(diǎn)時(shí)；（3）如圖過作垂直于對(duì)稱軸垂足為（兩角的兩邊相互平行這兩角相等）．又點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或當(dāng)時(shí)點(diǎn)縱坐標(biāo)為8當(dāng)時(shí)點(diǎn)縱坐標(biāo)為8點(diǎn)的坐標(biāo)為或．17．如圖拋物線過兩點(diǎn)交軸于點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)求的長(zhǎng)；（3）若在平面內(nèi)存在一點(diǎn)使得以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將代入中得：解得：．故拋物線的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)如圖1過點(diǎn)作軸于中即當(dāng)時(shí)；（3）存在兩種情況：①如圖2四邊形是菱形過點(diǎn)作軸于即；同理可得；②如圖3四邊形是菱形設(shè)直線的解析式為：則解得直線的解析式為：設(shè)點(diǎn)四邊形是菱形解得：；綜上點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．18．如圖拋物線與軸交于、交軸于．（1）求拋物線的解析式；（2）是直線上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)的橫坐標(biāo)為到的距離為求與的函數(shù)關(guān)系式并求出的最大值；（3）設(shè)點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中存在點(diǎn)使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形直接寫出所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）拋物線過、、三點(diǎn)解得拋物線的解析式為；（2）如圖1過點(diǎn)作軸于點(diǎn)交于點(diǎn)于點(diǎn)連接、‘、設(shè)直線解析式為則解得直線解析式為點(diǎn)的橫坐標(biāo)為且在拋物線上又軸于點(diǎn)交于點(diǎn)又與的函數(shù)關(guān)系式為：當(dāng)時(shí)有最大值為；（3）存在．①若為菱形對(duì)角線如圖2則與互相垂直平分；②若為菱形對(duì)角線如圖3和圖4則或；③若為菱形對(duì)角線如圖5則設(shè)由得解得．綜上可知存在點(diǎn)使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形符合條件的點(diǎn)有4個(gè)：或或或．19．如圖拋物線交軸于兩點(diǎn)交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1點(diǎn)為第四象限拋物線上一點(diǎn)連接過點(diǎn)作于點(diǎn)若求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)且在軸的上方點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)如果以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：把代入得；（2）設(shè)點(diǎn)由題意得（舍去）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：；（3）拋物線的對(duì)稱軸為直線：設(shè)點(diǎn)當(dāng)時(shí)（舍去）當(dāng)時(shí)（舍去）當(dāng)菱形時(shí)此時(shí)綜上所述：或或．20．如圖已知直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線對(duì)稱點(diǎn)是對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)在拋物線上是否存在點(diǎn)使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）在中令得令得把代入得：解得拋物線的函數(shù)表達(dá)式是；（2）在拋物線上存在點(diǎn)使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形理由如下：拋物線的對(duì)稱軸是直線關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線對(duì)稱設(shè)①當(dāng)是對(duì)角線時(shí)的中點(diǎn)即是的中點(diǎn)如圖：解得關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線對(duì)稱以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)的中點(diǎn)重合如圖：解得而以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；③當(dāng)為對(duì)角線的中點(diǎn)重合如圖：解得而以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形綜上所述的坐標(biāo)是或或．21．如圖拋物線與軸交于兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)連接點(diǎn)是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）連接設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的面積為求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）試探究：過點(diǎn)作的平行線1交線段于點(diǎn)在直線上是否存在點(diǎn)使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）將代入得：解得：；（2）如圖1過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)設(shè)直線的解析式為：的解析式為：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的坐標(biāo)是則的坐標(biāo)是點(diǎn)是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)；（3）分兩種情況：①如圖2四邊形是菱形設(shè)則四邊形是菱形；②如圖3四邊形是菱形設(shè)則四邊形是菱形（舍或；綜上所述點(diǎn)的坐標(biāo)為或．22．如圖在平面直角坐標(biāo)系中經(jīng)過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)．經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線交直線于點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)為．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）是線段上一點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)當(dāng)軸且時(shí)求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）拋物線過點(diǎn)和解得：拋物線的解析式為：；（2）直線經(jīng)過點(diǎn)和直線的解析式為：軸設(shè)其中當(dāng)在點(diǎn)的上方時(shí)解得：（舍當(dāng)在點(diǎn)下方時(shí)解得：綜上滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)有三個(gè)或或；（3）存在①如圖2若是矩形的邊設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)且過點(diǎn)分別作直線的垂線交拋物線于點(diǎn)同理得：點(diǎn)與點(diǎn)重合當(dāng)時(shí)四邊形是矩形向右平移1個(gè)單位向上平移1個(gè)單位得到向右平移1個(gè)單位向上平移1個(gè)單位得到此時(shí)直線的解析式為：直線與平行且過點(diǎn)直線的解析式為：點(diǎn)是直線與拋物線的交點(diǎn)解得：（舍當(dāng)時(shí)四邊形是矩形向左平移3個(gè)單位向上平移3個(gè)單位得到向左平移3個(gè)單位向上平移3個(gè)單位得到；②如圖3若是矩形的對(duì)角線設(shè)當(dāng)時(shí)過點(diǎn)作軸于過點(diǎn)作于△△點(diǎn)不與點(diǎn)重合或如圖4滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)即當(dāng)時(shí)四邊形是矩形向左平移個(gè)單位向下平移個(gè)單位得到向左平移個(gè)單位向下平移個(gè)單位得到當(dāng)時(shí)四邊形是矩形向右平移個(gè)單位向上平移個(gè)單位得到向右平移個(gè)單位向上平移個(gè)單位得到；綜上點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．23．如圖拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)）與軸交于點(diǎn)連接．（1）求線段的長(zhǎng)；（2）過點(diǎn)作與軸交于點(diǎn)與拋物線第四象限的圖象交于點(diǎn)為拋物線上位于第一象限的點(diǎn)連接交于點(diǎn)連接求四邊形面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）將原拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線與原拋物線交于點(diǎn)點(diǎn)在直線上且位于軸右側(cè)在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）令代入拋物線解析式得或令代入拋物線解析式得的長(zhǎng)度為．（2）設(shè)：過設(shè)過令得：聯(lián)立解得：或設(shè)過聯(lián)立得如圖過做交軸于將代入得：當(dāng)時(shí)①把代入①解得時(shí)四邊形面積最大為8此時(shí)．（3）由題意知聯(lián)立解得：①為邊設(shè)由可得解得（負(fù)值舍去）由菱形性質(zhì)可得：；②為對(duì)角線時(shí)設(shè)由可得解得由菱形性質(zhì)可得：得．綜上所述滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為．24．如圖在平面直角坐標(biāo)系中矩形的兩邊分別在軸和軸上拋物線經(jīng)過點(diǎn)且與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若是第一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)連接當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)求點(diǎn)的坐標(biāo)此時(shí)四邊形的最大面積是多少；（3）若是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在說明理由．【解答】解：（1）四邊形為矩形且點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為．將代入得：解得：拋物線的表達(dá)式為．（2）當(dāng)時(shí)解得：點(diǎn)的坐標(biāo)為．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)如圖1所示．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為則時(shí)取得最大值最大值此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為此時(shí)四邊形的最大面積是16．（3）拋物線的表達(dá)式為拋物線的對(duì)稱軸為直線．利用待定系數(shù)法可求出直線的表達(dá)式為分為邊及為對(duì)角線兩種情況考慮：①當(dāng)為邊時(shí)若四邊形為矩形則直線的解析式為點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為即；若四邊形為矩形則直線的解析式為點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為即；②當(dāng)為