第七章隨機(jī)變量及其分布

7.1條件概率與全概率公式

7.1.2全概率公式

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一全概率公式

1.（2022江蘇無錫太湖高級(jí)中學(xué)期中）有甲、乙兩個(gè)袋子，甲袋中有2個(gè)白球,1個(gè)紅

球，乙袋中有2個(gè)紅球,1個(gè)白球.這6個(gè)球手感上沒有區(qū)別.今從甲袋中任取一球放

入乙袋，攪勻后再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，則此球是紅球的概率為（）

A,W

禺D.|

2.（多選X2022河北石家莊二中期末）甲罐中有5個(gè)紅球,2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐

中有4個(gè)紅球,3個(gè)白球和3個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別用事

件442和A3表示從甲罐中取出的球是紅球,白球和黑球;再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一

球,用事件8表示從乙罐中取出的球是紅球，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.P（B）=|

B.P（用4）4

C.事件8與事件4相互獨(dú)立

DA4,A3是兩兩互斥的事件

3.（2022江蘇揚(yáng)州期中）某病毒會(huì)造成“持續(xù)的人傳人”，即存在A傳B,B又傳C,C又

傳。的傳染現(xiàn)象，那么A,叫C就被分別稱為第一代、第二代、第三代傳播者.假設(shè)

一個(gè)身體健康的人被第一代、第二代、第三代傳播者傳染的概率分別為

0.9,0.8,0.7.已知健康的小明參加了一次多人宴會(huì)，參加宴會(huì)的人中有5名第一代傳

播者,3名第二代傳播者,2名第三代傳播者，若小明參加宴會(huì)時(shí)僅和感染的10個(gè)人

中的一個(gè)有所接觸，則他被傳染的概率為.

4.假設(shè)播種用的一等小麥種子中混有2%的二等種子、1.5%的三等種子、1%的四

等種子.用一、二、三、四等種子結(jié)出的穗含有50顆以上麥粒的概率分別為

0.5,0.15。1,0.05,這批種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率為.

5.某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一產(chǎn)品,已知這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的

15%,20%,30%和35%,且四條流水線生產(chǎn)的該產(chǎn)品的不合格率分別為

0.05,0.04,0.03和0.02,現(xiàn)從該廠的這一產(chǎn)品中任取一件，求抽到不合格品的概率.

6.（2022山東學(xué)情質(zhì)檢）甲袋中有3個(gè)白球和2個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球和3個(gè)紅

球，丙袋中有4個(gè)白球和4個(gè)紅球.先隨機(jī)取一只袋，再?gòu)脑摯邢群箅S機(jī)取2個(gè)球.

（1）求第一次取出的球?yàn)榧t球的概率；

⑵求在第一次取出的球是紅球的前提下，第二次取出的球是白球的概率.

題組二貝葉斯公式*

7.（2021陜西寶雞二模）假設(shè)某種疾病在所有人群中的感染率是0.1%，用醫(yī)院現(xiàn)有

的技術(shù)檢測(cè)該疾病的準(zhǔn)確率為99%,即已知患病情況下，有99%的可能性可以檢查

出陽性，且正常人檢查為正常的可能性為99%.如果從人群中隨機(jī)抽一個(gè)人去檢測(cè),

經(jīng)計(jì)算可知檢測(cè)結(jié)果為陽性的概率為0.01098,則在醫(yī)院給出的檢測(cè)結(jié)果為陽性

的條件下,這個(gè)人患病的概率為（）

A.0.1%B.8%

C.9%D.99%

8.李老師一家要外出游玩幾天，家里有一盆花交給鄰居幫忙照顧，如果這幾天內(nèi)鄰

居記得澆水,那么花存活的概率為0.8,如果這幾天內(nèi)鄰居忘記澆水，那么花存活的

概率為0.3,假設(shè)李老師對(duì)鄰居不了解,即可以認(rèn)為鄰居記得和忘記澆水的概率均

為0.5,幾天后李老師回來發(fā)現(xiàn)花還活著，則鄰居記得澆水的概率為.

9.設(shè)某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2：1,貨車中途停車修理的概率為

0.02,客車中途停車修理的概率為0.01,今有一輛汽車中途停車修理，求該汽車是貨

車的概率.

答案與分層梯度式解析

第七章隨機(jī)變量及其分布

7.1條件概率與全概率公式

7.1.2全概率公式

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.A設(shè)“從甲袋中任取一球?yàn)榧t球”為事件A,

“從乙袋中任取一個(gè)為紅球”為事件B,

則P(B)=P(AB)^-P(AB)

=P(A)P(B\A)+P(A)P(B\A)

13227

=-X-+-X-=—.

343412

故選A.

2.BD由題意知A,A2/3是兩兩互斥的事件，故D正

確;P(Ai)磊="(42)磊=*依3)磊,尸(8兩)卷密哈P(B|A2)*,P(B|A3)哈故B正

確;P(a=P(Ai)P(B|Ai)+P(A2)尸(那2)+尸(43)尸(陰43)=/霍點(diǎn)。?！?會(huì)故A不正確;易知C不正確.

4XXOXXJLUJLJL44

故選BD.

3.答案0.83

解析用事件E,F,G分別表示小明與第一代、第二代、第三代傳播者接觸，事件。表示小明被傳染，則

P(E)=0.5,P(f)=0.3,尸(G)=0.2,P(D|E)=0.9,P(D|T0=0.8,P(D|G)=0.7,所以

P(r>)=P(Q|E)P(E)+P(D|F)P(F)+P(￡)|G)P(G)=0.9x0.5+0.8x0.3+0.7x0.2=0.83.

4.答案0.4825

解析用6表示事件“從這批種子中任選一粒所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒”，從這批種子中任取一粒為

、-*三、四等種子的事件分別記為2AH4,則

P(A0=95.5%,P(A2)=2%,P(A3)=1.5%,P(A4)=1%,P(B|AI)=0.5,P(B|A2)=0.15,P(B|A3)=0.1,P(B|A4)=0.05,

4

所以P(B)=Si=iP(B|A,)P(A,)=0.5x95.5%+0.15x2%+0.1x1.5%+0.05x1%=0.4825.

5.解析設(shè)A="任取一件這種產(chǎn)品，抽到不合格品”,B,二"任取一件這種產(chǎn)品，結(jié)果是第i(i=l,2,3,4)條流水

線生產(chǎn)的產(chǎn)品“，則03U&U&U&,且昂,昆,&,&兩兩互斥，根據(jù)題意，得

P(BI)=0.15,P(&)=0.20,P(33)=0.30,P(&)=0.35,P(A|8I)=().05,P(A|&)=().04,P(A|B3)=0.03,P(A|&)=0.02,由全

概率公式，得

P(A)=P(BI)P(A|BI)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)+P(B4)P(A|B4)=0.15X0.05+0.20X0.04+0.30X0.03+0.35X0.02=

0.0315,故從該廠的這一產(chǎn)品中任取一件，抽到不合格品的概率是0.0315.

6.解析(1)設(shè)第一次取出的球?yàn)榧t球?yàn)槭录嗀,取到甲袋、乙袋、丙袋分別為事件田，民,當(dāng),

由全概率公式可得,P(A)=P(AB)P(S)+P(A|&)P(&)+P(A|&)P(83)=白；+河

(2)設(shè)第二次取出的球是白球?yàn)槭录﨏,由全概率公式可

得,P(AO=P(AC]S)P(3)+尸(AC|&)P(B2)+「(AC|&)P(B3)=河x^+fx,x步x%=蕓，

543543873105

故P(CH)=符辛器

7.C記“一個(gè)人，贏”為事件A,“檢測(cè)結(jié)果為陽性”為事件8,則

P(A)=().1%,P(B|A)=99%,P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|^)P(A)=0.01098,所以P(A|8)=幽哭邈=竺"竺”9%,所

0.01098

以在醫(yī)院給出的檢測(cè)結(jié)果為陽性的條件下，這個(gè)人患病的概率為9%.故選C.

8.答案.

解析設(shè)事件B表示“鄰居記得澆水”，豆表示“鄰居忘記澆水表示“花還活著”，由題意

得,P(5)=0.5,P/)=0.5/(用5)=0.8,尸(對(duì))=0.3,則尸(8以)=砌舞畿病

0.5X0.88

0.5x0.84-0.5x0.311

9.解析設(shè)事件8表示“中途停車修理”A表示“經(jīng)過的是貨車”力2表示“經(jīng)過的是客車''，則B