武漢市2023屆高中畢業(yè)生四月調(diào)研考試數(shù)學試卷2023.4.11本試題卷共5頁，22題，全卷滿分150分．考試用時120分鐘．★祝考試順利★注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)（）A. B. C. D.3.已知，則（）A. B. C. D.4.正六邊形ABCDEF中，用和表示，則（）A. B. C. D.5.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題解法傳至歐洲.1874年英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于同余的問題．現(xiàn)有這樣一個問題：將正整數(shù)中能被3除余1且被2除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（）A.55 B.49 C.43 D.376.設(shè)拋物線的焦點為F，準線為l，P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點，過P作l的垂線，垂足為Q，若直線QF的傾斜角為，則（）A.3 B.6 C.9 D.127.閱讀下段文字：“已知為無理數(shù)，若為有理數(shù)，則存在無理數(shù)，使得為有理數(shù)；若為無理數(shù)，則取無理數(shù)，，此時為有理數(shù)．”依據(jù)這段文字可以證明的結(jié)論是（）A.是有理數(shù) B.是無理數(shù)C.存在無理數(shù)a，b，使得為有理數(shù) D.對任意無理數(shù)a，b，都有為無理數(shù)8.已知直線與函數(shù)的圖象恰有兩個切點，設(shè)滿足條件的所有可能取值中最大的兩個值分別為和，且，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.某市2022年經(jīng)過招商引資后，經(jīng)濟收入較前一年增加了一倍，實現(xiàn)翻番，為更好地了解該市的經(jīng)濟收入的變化情況，統(tǒng)計了該市招商引資前后的年經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下扇形圖：則下列結(jié)論中正確的是（）A.招商引資后，工資性收入較前一年增加B.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的1.25倍C.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和超過了該年經(jīng)濟收入的D.招商引資后，經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍10.橢圓的一個焦點和一個頂點在圓上，則該橢圓的離心率的可能取值有（）A B. C. D.11.函數(shù)的圖像可能是（）A. B.C. D.12.三棱錐中，，，，直線PA與平面ABC所成的角為，直線PB與平面ABC所成的角為，則下列說法中正確的有（）A.三棱錐體積的最小值為B.三棱錐體積的最大值為C.直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時，二面角的平面角為銳角D.直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時，二面角的平面角為鈍角三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中含項的系數(shù)為______．14.半正多面體亦稱“阿基米德體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體．如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，它的各棱長都相等，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體．則得到二十四等邊體與原正方體的體積之比為______．15.直線：和：與x軸圍成的三角形是等腰三角形，寫出滿足條件的k的兩個可能取值：______和______．16.在同一平面直角坐標系中，P，Q分別是函數(shù)和圖象上的動點，若對任意，有恒成立，則實數(shù)m的最大值為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.記數(shù)列的前n項和為，對任意，有．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若當且僅當時，取得最大值，求的取值范圍．18.設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為，，，且有．（1）求角A；（2）若BC邊上的高，求．19.如圖，在邊長為4正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點．將沿EF翻折至，得到四棱錐，P為的中點．（1）證明：平面；（2）若平面平面EFCB，求直線與平面BFP所成的角的正弦值．20.中學階段，數(shù)學中的“對稱性”不僅體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何、解析幾何和函數(shù)圖象中，還體現(xiàn)在概率問題中．例如，甲乙兩人進行比賽，若甲每場比賽獲勝概率均為，且每場比賽結(jié)果相互獨立，則由對稱性可知，在5場比賽后，甲獲勝次數(shù)不低于3場的概率為．現(xiàn)甲乙兩人分別進行獨立重復試驗，每人拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣．（1）若兩人各拋擲3次，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率；（2）若甲拋擲次，乙拋擲n次，，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)概率．21.過點的動直線與雙曲線交于兩點，當與軸平行時，，當與軸平行時，．（1）求雙曲線的標準方程；（2）點是直線上一定點，設(shè)直線的斜率分別為，若為定值，求點的坐標．22.已知函數(shù)，其中．（1）證明：恒有唯一零點；（2）記（1）中的零點為，當時，證明：圖像上存在關(guān)于點對稱的兩點．武漢市2023屆高中畢業(yè)生四月調(diào)研考試數(shù)學試卷2023.4.11本試題卷共5頁，22題，全卷滿分150分．考試用時120分鐘．★?？荚図樌镒⒁馐马棧?．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，，則，故選：C．2.若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，則，有，故選：A3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D4.正六邊形ABCDEF中，用和表示，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)邊長為2，如圖，設(shè)交于點，有，，則，故選：B5.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于同余的問題．現(xiàn)有這樣一個問題：將正整數(shù)中能被3除余1且被2除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（）A.55 B.49 C.43 D.37【答案】A【解析】正整數(shù)中既能被3除余1且被2除余1的數(shù)，即被6除余1，那么，則，故選：A6.設(shè)拋物線的焦點為F，準線為l，P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點，過P作l的垂線，垂足為Q，若直線QF的傾斜角為，則（）A3 B.6 C.9 D.12【答案】B【解析】依題意，，，，又，，則為等邊三角形，有，故選：B7.閱讀下段文字：“已知為無理數(shù)，若為有理數(shù)，則存在無理數(shù)，使得為有理數(shù)；若為無理數(shù)，則取無理數(shù)，，此時為有理數(shù)．”依據(jù)這段文字可以證明的結(jié)論是（）A.是有理數(shù) B.是無理數(shù)C.存在無理數(shù)a，b，使得為有理數(shù) D.對任意無理數(shù)a，b，都有為無理數(shù)【答案】C【解析】這段文字中，沒有證明是有理數(shù)條件，也沒有證明是無理數(shù)的條件，AB錯誤；這段文字的兩句話中，都說明了結(jié)論“存在無理數(shù)a，b，使得為有理數(shù)”，因此這段文字可以證明此結(jié)論，C正確；這段文字中只提及存在無理數(shù)a，b，不涉及對任意無理數(shù)a，b，都成立的問題，D錯誤.故選：C8.已知直線與函數(shù)的圖象恰有兩個切點，設(shè)滿足條件的所有可能取值中最大的兩個值分別為和，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于任意，，，的范圍恒定，只需考慮的情況，設(shè)對應的切點為，，，設(shè)對應的切點為，，，，，，只需考慮，，其中的情況，則，，其中，；又，，，；令，則，在上單調(diào)遞增，又，，又，，；令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞減，，，；綜上所述：，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導數(shù)與三角函數(shù)綜合應用問題，解題關(guān)鍵是能夠采用特殊值的方式，考慮不含變量的函數(shù)的情況，采用構(gòu)造函數(shù)的方式對所求式子進行放縮，從而求得的范圍.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.某市2022年經(jīng)過招商引資后，經(jīng)濟收入較前一年增加了一倍，實現(xiàn)翻番，為更好地了解該市的經(jīng)濟收入的變化情況，統(tǒng)計了該市招商引資前后的年經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下扇形圖：則下列結(jié)論中正確的是（）A招商引資后，工資性收入較前一年增加B.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的1.25倍C.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和超過了該年經(jīng)濟收入的D.招商引資后，經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍【答案】AD【解析】設(shè)招商引資前經(jīng)濟收入為，而招商引資后經(jīng)濟收入為，則對于A，招商引資前工資性收入為，而招商引資后的工資性收入為，所以工資性收入增加了，故A正確；對于B，招商引資前轉(zhuǎn)移凈收入為，招商引資后轉(zhuǎn)移凈收入為，所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的倍，故B錯誤；對于C，招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和為，所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和低于該年經(jīng)濟收入的，故C錯誤；對于D，招商引資前經(jīng)營凈收入為，招商引資后轉(zhuǎn)移凈收入為，所以招商引資后，經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍，故D正確，故選：AD.10.橢圓的一個焦點和一個頂點在圓上，則該橢圓的離心率的可能取值有（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】，圓與軸的交點坐標為或，與軸的交點為，而橢圓的焦點在軸，當焦點是，右頂點，此時，離心率；當焦點是，上頂點，此時，那么，離心率；當焦點是，上頂點，此時，那么，離心率，故選：BCD11.函數(shù)的圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】，當時,,A選項正確；，，,時,有兩個根,且時，,根據(jù)極值點判斷，故C選項正確,D選項錯誤；當時,有兩個根,且此時,故B選項正確，故選：ABC．12.三棱錐中，，，，直線PA與平面ABC所成的角為，直線PB與平面ABC所成的角為，則下列說法中正確的有（）A.三棱錐體積的最小值為B.三棱錐體積的最大值為C.直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時，二面角的平面角為銳角D.直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時，二面角的平面角為鈍角【答案】ACD【解析】如圖（1）所示，作平面，連接，因為直線PA與平面ABC所成的角為，直線PB與平面ABC所成的角為，所以，即所以，即，以所在的直線為軸，以的垂直平分線為軸，建立如圖（2）平面直角坐標系，設(shè)，，，則，整理得，可得圓心，半徑，設(shè)點圓與軸的交點分別為，可得，因為，所以又由且，所以，則，，所以A正確，B錯誤；因為，可設(shè)，設(shè)與平面所成角為，且，可得，且，又由，令，根據(jù)斜率的結(jié)合意義，可得表示圓與定點連線的斜率，又由與圓相切時，得，解得或，即，當時，此時取得最小值，即最小時，此時H在外部，如圖（3）所示，此時二面角的平面角為銳角，的平面角為鈍角，所以C、D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中含項的系數(shù)為______．【答案】【解析】的通項公式為，所以的展開式中含項為，所以展開式中含項的系數(shù)為．14.半正多面體亦稱“阿基米德體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體．如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，它的各棱長都相等，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體．則得到的二十四等邊體與原正方體的體積之比為______．【答案】【解析】設(shè)棱長為2，則原正方體的體積為，二十四等邊體為，所以二十四等邊體與原正方體的體積之比為．15.直線：和：與x軸圍成的三角形是等腰三角形，寫出滿足條件的k的兩個可能取值：______和______．【答案】①.②.（答案不唯一）【解析】令直線的傾斜角分別為，則，當圍成的等腰三角形底邊在x軸上時，，；當圍成的等腰三角形底邊在直線上時，，，，整理得，而，解得；當圍成的等腰三角形底邊在直線上時，，，所以k的兩個可能取值，.16.在同一平面直角坐標系中，P，Q分別是函數(shù)和圖象上的動點，若對任意，有恒成立，則實數(shù)m的最大值為______．【答案】【解析】，令，，則當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，故在處取得極小值，也是最小值，故，故，當且僅當時，等號成立，令，，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故當時，，當時，，故時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也時最小值，最小值為，設(shè)，由基本不等式得，，當且僅當，，時，等號成立，故，則．【點睛】導函數(shù)求解取值范圍時，當函數(shù)中同時出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來進行求解，本題變形得到，從而構(gòu)造進行求解.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.記數(shù)列的前n項和為，對任意，有．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若當且僅當時，取得最大值，求的取值范圍．【解析】（1）因為①，則②①－②可得，故為等差數(shù)列．（2）若當且僅當時，取得最大值，則有,得則，，故的取值范圍為．18.設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為，，，且有．（1）求角A；（2）若BC邊上的高，求．【解析】（1）由題意得：，則，，即，因為所以．（2）由，則，所以，，則，又，則．19.如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點．將沿EF翻折至，得到四棱錐，P為的中點．（1）證明：平面；（2）若平面平面EFCB，求直線與平面BFP所成的角的正弦值．【解析】（1）取的中點Q，連接,則有，且，又，且，故，且，則四邊形EFPQ為平行四邊形，則，又平面，平面，故平面．（2）取EF中點O，BC中點G，由平面平面EFCB，且交線為EF，故平面EFCB，此時，兩兩垂直，以O(shè)為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，由P為中點，故，則，，，設(shè)平面BFP的法向量，則，即，故取，故所求角的正弦值為，所以直線與平面BFP所成的角的正弦值為．20.中學階段，數(shù)學中的“對稱性”不僅體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何、解析幾何和函數(shù)圖象中，還體現(xiàn)在概率問題中．例如，甲乙兩人進行比賽，若甲每場比賽獲勝概率均為，且每場比賽結(jié)果相互獨立，則由對稱性可知，在5場比賽后，甲獲勝次數(shù)不低于3場的概率為．現(xiàn)甲乙兩人分別進行獨立重復試驗，每人拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣．（1）若兩人各拋擲3次，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率；（2）若甲拋擲次，乙拋擲n次，，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率．【解析】（1）設(shè)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)的概率，，由對稱性可知則甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率和甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)的概率相等，故；（2）可以先考慮甲乙各拋賽n次的情形，①如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為，則第次甲必須再拋擲出證明朝上，才能使得最終甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)；②如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)，則第次無論結(jié)果如何，甲正面朝上次數(shù)仍然不大于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為；③如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)，則第次無論結(jié)果如何，甲正面朝上次數(shù)仍然大于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為，由對稱性可知，故，而由，得．21.過點的動直線與雙曲線交于兩點，當與軸平行時，，當與軸平行時，．（1）求雙曲線的標準方程；（2）點是直線上一定點，設(shè)直線的斜率分別為，若為定值，求點的坐標．【解析】（1）由題意可知：雙曲線過點，，將其代入方程可得：，解得：，雙曲線的標準方程為：.