晶體結(jié)構(gòu)與空間點陣的關(guān)系有區(qū)別也有聯(lián)系：空間點陣是晶體中質(zhì)點排列的幾何學(xué)抽象，用以描述和分析晶體結(jié)構(gòu)的周期性和對稱性，由于各點陣的周圍環(huán)境相同，它只可能有14種類型。晶體結(jié)構(gòu)則是指晶體中原子或分子的具體排列情況，他們能組成各種類型的排列，因此可能存在的晶體結(jié)構(gòu)是無限的。但是各種晶體結(jié)構(gòu)總能夠按其原子或分子排列的周期性和對稱性歸屬于14種空間點陣中的一種。晶體結(jié)構(gòu)與空間點陣的關(guān)系有區(qū)別也有聯(lián)系：1晶向指數(shù)和晶面指數(shù)在分析研究有關(guān)晶體的生長、變形、相變以及性能等各方面的問題時，常需涉及晶體某些方向（稱為晶向）和原子所構(gòu)成的平面（稱為晶面）。為了便于表示各種晶向和晶面，需要確定一種統(tǒng)一的標(biāo)號，稱為晶向指數(shù)和晶面指數(shù)。國際上通用的是密勒（Miller)指數(shù)，其標(biāo)號方法如下。晶向指數(shù)和晶面指數(shù)在分析研究有關(guān)晶體的生長、變形、相變以及性2二、晶向指數(shù)和晶面指數(shù)（MillerIndicesofCrystallographicDirectionandPlanes）

前已指出，任何陣點的位置可由矢量ruvw和該點陣的坐標(biāo)u,v,w來確定。同樣晶向OP可沿a,b,c三個方向分解為三個矢量，即1．陣點坐標(biāo)晶向族<uvw>：具有等同性能的晶向歸并而成；（x1,y1,z1）,(x2,y2,z2)二點連線的晶向指數(shù)：[x2-x1,y2-y1,z2-z1]*指數(shù)看特征，正負(fù)看走向

求法：1）

確定坐標(biāo)系2）

過坐標(biāo)原點，作直線與待求晶向平行；3）

在該直線上任取一點，并確定該點的坐標(biāo)（x，y，z）4）

將此值化成最小整數(shù)u，v，w并加以方括號[uvw]即是。（代表一組互相平行，方向一致的晶向）2.晶向指數(shù)（Orientationindex）二、晶向指數(shù)和晶面指數(shù)晶向族<uvw>：具有等同性能的晶3晶向指數(shù)的確定（1）以晶胞的晶軸為坐標(biāo)軸X,Y,Z;以點陣矢量的長度（即晶胞邊長）作為坐標(biāo)軸的長度單位。（2）從晶軸系的原點O沿所指方向的直線取最近一個陣點的坐標(biāo)u,v,w（亦即OP三個分矢量對于點陣矢量a,b,c的倍數(shù)）。例如100，110，111等。（3）將此數(shù)化為最小整數(shù)并加上方括號，即為晶向指數(shù)[uvw],例如[100]，[110]，[111]等。如果u,v,w為負(fù)值，則將負(fù)號記于其上方，如[100]，[110]，[111]等。顯然，晶向指數(shù)表示著所有互相平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，則晶向指數(shù)的數(shù)字相同，但符號相反。

晶向指數(shù)的確定（1）以晶胞的晶軸為坐標(biāo)軸X,Y,Z;以點陣矢4立方晶系重要晶向的晶向指數(shù)（續(xù)）上圖標(biāo)出了立方晶系一些重要晶向的晶向指數(shù)。如X軸方向，其晶向指數(shù)由A點的坐標(biāo)來確定，A點坐標(biāo)為1，0，0，所以X軸的晶向指數(shù)為[100]。同理，Y,Z軸的晶向指數(shù)分別為[010]，[001]。D點的坐標(biāo)為1，1，0，故OD方向的晶向指數(shù)為[110]，G點的坐標(biāo)為1，1，1，故對角線OG方向的晶向指數(shù)為[111]，OH方向為[210]。若要求EF方向的晶向指數(shù)，應(yīng)將EF平移使E點同原點O重合，這時，F(xiàn)點移至F’點，F(xiàn)’點的坐標(biāo)為1，1，0，故OF的晶向指數(shù)為[110]。既然EF與OF相平行，所以其晶向指數(shù)也為[110]。立方晶系重要晶向的晶向指數(shù)（續(xù)）上圖標(biāo)出了立方晶系一些重要晶5一些晶面的晶向指數(shù)一些晶面的晶向指數(shù)6晶向族晶體中，對稱關(guān)系等同的各組晶向可歸并為一個晶向族，用〈uvw〉表示。例如立方晶系，[100]，[010]，[001]，和[100]，[010]，[001]等六個晶向，性質(zhì)完全相同，用符號〈100〉表示。若不是立方晶系，改變晶向指數(shù)的順序所表示的晶向可能是不同的。例如，正交晶系[100]，[010]，[001]三個晶向不是等同晶向，因為三個方向上的原子間距分別為a,b,c,沿著這三個方向，晶體的性質(zhì)并不相同。晶向族晶體中，對稱關(guān)系等同的各組晶向可歸并為一個晶向族，用〈7晶面指數(shù)的確定（1）對晶胞作晶軸X,Y,Z,以晶胞的邊長作為晶軸上的單位長度。（2）求出待定晶面在三個晶軸上的截距（如該晶面與某軸平行，則截距為∞），例如，1，1，∞；1，1，1；1，1，1/2等（3）求這些截距數(shù)的倒數(shù)。例如：110，111，112等。（4）將上述倒數(shù)化為最小的簡單整數(shù)，并加上圓括號，即表示該晶面的指數(shù)，一般記為（hkl）。例如，（110），（111），（112）等。如果所求晶面在晶軸上的截距為負(fù)值，則在對應(yīng)的指數(shù)上方加一負(fù)號，如（110），（111），（112）晶面指數(shù)的確定（1）對晶胞作晶軸X,Y,Z,以晶胞的邊長作為8晶面指數(shù)表示方法舉例如右圖所示晶面。a1b1c1

相應(yīng)的截距為1/2，1/3，2/3，其倒數(shù)為2，3，3/2，化為簡單整數(shù)為4，6，3，所以晶面a1b1c1

的晶面指數(shù)為（463）。所有相互平行的晶面在三個晶軸上的截距雖然不同，但他們是成比例的，其倒數(shù)仍然是呈比例的，經(jīng)簡化得到相同的最小整數(shù)。因此，所有相互平行的晶面，其晶面指數(shù)相同，或者最多相差一負(fù)號。即晶面指數(shù)代表的不僅僅是一個晶面，而是代表著一組相互平行的晶面。晶面指數(shù)表示方法舉例如右圖所示晶面。a1b1c1相應(yīng)的截距9一些晶面的晶面指數(shù)一些晶面的晶面指數(shù)10晶面族晶體中，具有等同條件而只是空間位向不同的各組晶面（即這些晶面的原子排列情況和面間距等完全相同），可歸并為一個晶面族，用{hkl}表示。例如，在立方晶體中：{100}=（100）+（010）+（001）+（100）+（010）+（001）。上述兩兩平行的的六個晶面共同構(gòu)成立方晶胞的立方體表面。晶面族晶體中，具有等同條件而只是空間位向不同的各組晶面（即這11晶面族舉例晶面族舉例12晶帶（Crystalzone）所有相交于某一晶向直線或平行于此直線的晶面構(gòu)成一個晶帶，此直線稱為晶帶軸。屬此晶帶的晶面稱為晶帶面。晶帶軸[uvw]與該晶帶的晶面（hkl）之間存在以下關(guān)系：

hu+kv+lw=0

凡滿足此關(guān)系的晶面都屬于以[uvw]為晶帶軸的晶帶，故此關(guān)系式也稱作晶帶定律。如果有兩個不平行的晶面（h1k1l1

）和（h2k2l2），則其晶帶軸[uvw]可從下式求出u=k1l2–k2l1v=l1h2-l2h1w=h1k2-h2k1例如，在正交點陣中，（100），（010），（110），（110），（210），（210）等晶面都與[001]晶向平行，構(gòu)成以[001]為晶帶軸的晶帶。由于任何兩個不平行的晶面必然相交，其交線即是晶帶軸，此兩晶面即屬該晶帶的晶面，故晶帶可能很多，但通常用到的是那些有著許多晶面的晶帶，如上述的[001]晶帶軸的晶帶等。晶帶（Crystalzone）所有相交于某一晶向直線或134.六方晶系指數(shù)（Indicesofhexagonalcrystalsystemorhexagonalindices）

三坐標(biāo)系四軸坐標(biāo)系a1，a2，ca1，a2，a3，c120°

120°

120°

（hkil)i=-(h+k)[uvtw]t=-(u+v)4.六方晶系指數(shù)三坐標(biāo)系14固體無機(jī)化學(xué)晶體學(xué)基礎(chǔ)ppt課件156．晶面間距（Interplanarcrystalspacing）兩相鄰平行晶面間的垂直距離—晶面間距，用dhkl表示從原點作（hkl）晶面的法線，則法線被最近的（hkl）面所交截的距離即是6．晶面間距（Interplanarcrystalspa16上述公式僅適用于簡單晶胞,對于復(fù)雜晶胞則要考慮附加面的影響

fcc當(dāng)（hkl）不為全奇、偶數(shù)時，有附加面：

通常低指數(shù)的晶面間距較大，而高指數(shù)的晶面間距則較小bcc當(dāng)h＋k＋l＝奇數(shù)時，有附加面：

六方晶系

立方晶系：如{0001}面

上述公式僅適用于簡單晶胞,對于復(fù)雜晶胞則要考慮附加面的影響17晶面間距1不同的{hkl}晶面，其面間距（即相鄰的兩個平行平面之間的距離）各不相同。2低指數(shù)的晶面其晶面間距較大，而高指數(shù)的晶面晶面間距較小。但與點陣類型有關(guān)。3晶面間距最大的面總是陣點最密排晶面，晶面間距越小，則晶面上的陣點排列越稀疏。4如右圖所示的簡單立方點陣，可以看到{100}面的晶面間距最大，{120}面的間距較小，而{320}面的間距就更小。而對于體心立方或面心立方點陣，最大晶面間距的面分別是{110}，{111}，而不是{100}。晶面間距1不同的{hkl}晶面，其面間距（即相鄰的兩個平行18三、晶體的對稱性

crystallinesymmetrysymmetrizationof

crystals對稱性——晶體的基本性質(zhì)

對稱元素（symmetryelements）

宏觀對稱性元素

點群（pointgroup）—晶體中所有點對稱要素的集合根據(jù)晶體外形對稱性，共有32種點群空間群（spacegroup）—晶體中原子組合所有可能方式根據(jù)宏觀、微觀對稱要素在三維空間的組合，可能存在230種空間群（分屬于32種點群）

微觀對稱性三、晶體的對稱性crystallinesymmetry19晶體的對稱性1對稱性是晶體的基本性質(zhì)之一，如晶體的外形皆具有一定的對稱性。2從19世紀(jì)初開展晶體對稱性的研究以來，已證實晶體有32種對稱性（或稱點群）。3在進(jìn)行晶體學(xué)對稱性的分析時，常將其分解成一些基本的對稱要素，通過他們的組合而構(gòu)成晶體的整個對稱性。晶體的對稱性1對稱性是晶體的基本性質(zhì)之一，如晶體的外形皆具20晶體的對稱性—對稱要素1對稱要素構(gòu)成一些動作，即晶體經(jīng)過這些動作之后所處的位置與其原始位置完全重合，也就是晶體上每一點的新舊位置都完全重合。2晶體的對稱要素可分為宏觀和微觀兩類。宏觀對稱要素反映出晶體外形和其宏觀性質(zhì)的對稱性。而微觀對稱要素與宏觀對稱要素配合運用就能反映出晶體中原子排列的對稱性。

晶體的對稱性—對稱要素1對稱要素構(gòu)成一些動作，即晶體經(jīng)過這21宏觀對稱要素—回轉(zhuǎn)對稱軸1晶體繞某一軸回轉(zhuǎn)而能完全復(fù)原時，此軸即為回轉(zhuǎn)對稱軸。如右圖。2在回轉(zhuǎn)一周（360度）的過程中，晶體能復(fù)原幾次，就稱為幾次對稱軸。3晶體中實際可能存在的對稱軸有1，2，3，4，6五種。5及高于6次的對稱軸不可能存在。因為具有這種對稱性的晶胞在堆垛時會留有空隙。4對稱軸通常以符號1，2，3，4，6來表示。宏觀對稱要素—回轉(zhuǎn)對稱軸1晶體繞某一軸回轉(zhuǎn)而能完全復(fù)原時，22宏觀對稱要素—回轉(zhuǎn)對稱軸宏觀對稱要素—回轉(zhuǎn)對稱軸23二維晶胞的密排圖形二維晶胞的密排圖形24宏觀對稱要素—對稱面1晶體通過某一平面作鏡像反映而能復(fù)原，則該平面稱為對稱面或鏡面。2對稱面用符號m表示。宏觀對稱要素—對稱面1晶體通過某一平面作鏡像反映而能復(fù)原，25宏觀對稱要素-對稱中心1如果位于晶體中心O點一邊的每點都可在中心的另一邊得到對應(yīng)的等同點，且每對點子的連線均通過O點并被它所等分，則此中心點稱為晶體的對稱中心。或稱為反演中心。即晶體的每一點都可借以O(shè)點為中心的反演動作而與其對應(yīng)點重合。2對稱中心用符號z表示。宏觀對稱要素-對稱中心1如果位于晶體中心O點一邊的每點都可26宏觀對稱要素—回轉(zhuǎn)-反演軸1當(dāng)晶體繞某一軸回轉(zhuǎn)一定角度（360度/n）再以軸上的一個中心點作反演之后能得到復(fù)原時，此軸稱為回轉(zhuǎn)反演軸。2如右圖，P點繞BB’軸回轉(zhuǎn)180度與P3點重合，再經(jīng)O點反演而與P’點重合，則稱BB’為二次回轉(zhuǎn)-反演軸。3回轉(zhuǎn)-反演軸也可有1，2，3，4，6次5種，分別以符號1，2，3，4，6表示。4事實上，1等于對稱中心z，2等于對稱面m。宏觀對稱要素—回轉(zhuǎn)-反演軸1當(dāng)晶體繞某一軸回轉(zhuǎn)一定角度（327微觀對稱要素—滑動面1一個對稱面加上沿著此面的平移所組成，晶體結(jié)構(gòu)可借此面的反演并沿此面平移一段距離而復(fù)原。2如下圖（b)，BB’是滑動面，單靠反演不能復(fù)原，點1經(jīng)BB’面反演后再滑動a/2距離后才能與點2重合。3滑動面的符號表示。如平移a/2,b/2,c/2時，寫作a,b,c;如沿對角線平移1/2距離，則寫作n;如沿著面對角線平移1/4距離，則寫作d.微觀對稱要素—滑動面1一個對稱面加上沿著此面的平移所組成，28微觀對稱要素—滑動面微觀對稱要素—滑動面29微觀對稱要素—螺旋軸1回轉(zhuǎn)軸和平行于軸的平移所構(gòu)成。晶體結(jié)構(gòu)可沿螺旋軸回轉(zhuǎn)360度/n角度同時沿軸平移一定距離而得以重合，此螺旋軸稱為n次螺旋軸。2如右圖，為3次螺旋軸，一些結(jié)構(gòu)繞此軸回轉(zhuǎn)120度并沿軸平移c/3就得到復(fù)原。微觀對稱要素—螺旋軸1回轉(zhuǎn)軸和平行于軸的平移所構(gòu)成。晶體結(jié)30四、極射投影Stereographicprojection

極射投影原理（principle）

參考球，極點、極射面、大圖、基圖

Wulff網(wǎng)（wullfnet）經(jīng)線、緯線、2o等分沿赤道線沿基圓讀數(shù)只有兩極點位于吳氏經(jīng)線或赤道上才能正確度量晶面、晶向間夾角標(biāo)準(zhǔn)投影：以某個晶面//投影面作出極射投影圖。（001）倒易點陣（reciprocallattice）四、極射投影Stereographicprojectio31※2金屬的晶