2022-2023學(xué)年山東省泰安市新泰市八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)選出來，每小題選對(duì)得4分，選錯(cuò)、不選或選出的答案超過一個(gè)，均記零分）1．下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．2．已知＝，則的值為（）A． B． C． D．3．如圖，為估算某河的寬度，在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取B，C，D三點(diǎn)，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點(diǎn)E在BC上，并且點(diǎn)A，E，D在同一條直線上，若測(cè)得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，則河的寬度為（）A．20m B．30m C．40m D．60m4．方程x2﹣2x﹣1＝0根的情況是（）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根5．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD互相垂直，則下列條件能判定四邊形ABCD為菱形的是（）A．BA＝BC B．AC、BD互相平分 C．AC＝BD D．AB∥CD6．如圖，已知△ADE與△ABC的相似比為1：2，則△ADE與四邊形BCED的面積比為（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．3：47．《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．書中有一題“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高，廣各幾何？”其大意是：“已知長(zhǎng)方形門的高比寬多6尺8寸，門的對(duì)角線長(zhǎng)1丈，那么門的高和寬各是多少？”若設(shè)寬為x尺，則可列方程為（）A．x2+（x﹣6.8）2＝100 B．x（x+6.8）＝100 C．x2+（x+6.8）2＝100 D．x（x﹣6.8）2＝1008．如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．則下列說法：①若AC＝BD，則四邊形EFGH為矩形；②若AC⊥BD，則四邊形EFGH為菱形；③若四邊形EFGH是平行四邊形，則AC與BD互相平分；④若四邊形EFGH是正方形，則AC與BD互相垂直且相等．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．49．寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫做黃金矩形．我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形ABCD，分別取AD，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF；以點(diǎn)F為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G；作GH⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．則下列矩形是黃金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH10．一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可變形為（）A．（x+3）2＝4 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x﹣3）2＝1411．直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)分別為和，則該直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)為（）A． B． C．1 D．212．四邊形不具有穩(wěn)定性．四條邊長(zhǎng)都確定的四邊形，當(dāng)內(nèi)角的大小發(fā)生變化時(shí)，其形狀也隨之改變．如圖，改變正方形ABCD的內(nèi)角，使正方形ABCD變?yōu)榱庑蜛BC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′與正方形ABCD的面積之比是（）A． B． C． D．1二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分）13．計(jì)算：＝．14．如圖所示，網(wǎng)格中相似的兩個(gè)三角形是．（填序號(hào)）?15．將一條長(zhǎng)28cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段鐵絲做成一個(gè)正方形，使這兩個(gè)正方形的面積之和等于25cm2，則其中較大正方形的邊長(zhǎng)為cm．16．教學(xué)樓前有一棵樹，小明想利用樹影測(cè)量樹高．在陽光下他測(cè)得一根長(zhǎng)為1m的竹竿的影長(zhǎng)是0.9m，但當(dāng)他馬上測(cè)量樹高時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如圖），經(jīng)過思考，他認(rèn)為繼續(xù)測(cè)量也可以求出樹高．他測(cè)得，落在地面上的影長(zhǎng)是2.7m，落在墻壁上的影長(zhǎng)是0.6m，則這棵樹實(shí)際高度為m．?17．由12個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝1，則圖中與△OAB位似的三角形中，邊OA對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)為．18．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在AB上，且BE＝1，F(xiàn)為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則△BFE周長(zhǎng)的最小值為．三、解答題（本大題共7小題，滿分78分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）19．計(jì)算：（1）；（2）．20．解下列方程：（1）4（x+2）2﹣9（x﹣3）2＝0；（2）x2﹣4x﹣8＝0．21．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2．（1）求m的取值范圍；（2）當(dāng)x1＝1時(shí)，求另一個(gè)根x2的值．22．已知，如圖，在△ABC中，D是AC上的一點(diǎn)，∠CBD的平分線交AC于點(diǎn)E，AE＝AB＝6，AD＝．（1）求CE的長(zhǎng)；（2）若DF∥BC交AB于點(diǎn)F，求BF的長(zhǎng)．23．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），過點(diǎn)P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)，求證：OP＝EF．24．某商城在2021年端午節(jié)期間促銷海爾冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元，標(biāo)價(jià)為3000元．（1）商城舉行了“新老用戶粽是情”摸獎(jiǎng)活動(dòng)，中獎(jiǎng)?wù)呱坛菍⒈溥B續(xù)兩次降價(jià)，每次降價(jià)的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降價(jià)的百分率；（2）市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)每臺(tái)售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái)，當(dāng)每臺(tái)售價(jià)每降50元時(shí)，平均每天就能多售出4臺(tái)，若商城要想使海爾冰箱的銷售利潤(rùn)平均每天達(dá)到5000元，則每臺(tái)冰箱的定價(jià)應(yīng)為多少元？25．如圖，在矩形ABCD中，E是CD邊的中點(diǎn)，且BE⊥AC于點(diǎn)F，連接DF．求證：（1）AD＝DF；（2）DF2＝BE?BF．?

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)選出來，每小題選對(duì)得4分，選錯(cuò)、不選或選出的答案超過一個(gè)，均記零分）1．下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．解：A、＝4，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B、＝＝2，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C、＝﹣2，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；D、﹣＝﹣8，正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)及立方根，熟知二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．已知＝，則的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件設(shè)m＝2k，n＝3k，再代入求出答案即可．解：設(shè)m＝2k，n＝3k，則＝＝＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙獯祟}的關(guān)鍵，注意：如果＝，那么ad＝bc．3．如圖，為估算某河的寬度，在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取B，C，D三點(diǎn)，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點(diǎn)E在BC上，并且點(diǎn)A，E，D在同一條直線上，若測(cè)得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，則河的寬度為（）A．20m B．30m C．40m D．60m【分析】由兩角對(duì)應(yīng)相等可得△BAE∽△CDE，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得兩岸間的大致距離AB．解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴，∵BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，∴，解得：AB＝40，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】考查相似三角形的應(yīng)用；用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．4．方程x2﹣2x﹣1＝0根的情況是（）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【分析】先計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．5．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD互相垂直，則下列條件能判定四邊形ABCD為菱形的是（）A．BA＝BC B．AC、BD互相平分 C．AC＝BD D．AB∥CD【分析】已知四邊形的對(duì)角線互相垂直，可依據(jù)“對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形”的判定方法，來選擇條件．解：四邊形ABCD中，AC、BD互相垂直，若四邊形ABCD是菱形，需添加的條件是：AC、BD互相平分；（對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形）故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是菱形的判定方法：對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形．6．如圖，已知△ADE與△ABC的相似比為1：2，則△ADE與四邊形BCED的面積比為（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．3：4【分析】由三角形ADE與三角形ABC相似，利用相似三角形面積之比等于相似比，求出兩三角形面積之比，即可求出△ADE與四邊形BCED的面積比．解：∵△ADE∽△ABC，且相似比為1：2，∴S△ADE：S△ABC＝1：4，∵S△ABC＝S四邊形BCED+S△ADE，∴S△ADE：S四邊形BCED＝1：3，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．書中有一題“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高，廣各幾何？”其大意是：“已知長(zhǎng)方形門的高比寬多6尺8寸，門的對(duì)角線長(zhǎng)1丈，那么門的高和寬各是多少？”若設(shè)寬為x尺，則可列方程為（）A．x2+（x﹣6.8）2＝100 B．x（x+6.8）＝100 C．x2+（x+6.8）2＝100 D．x（x﹣6.8）2＝100【分析】設(shè)長(zhǎng)方形門的寬x尺，則高是（x+6.8）尺，根據(jù)勾股定理即可列方程．解：設(shè)長(zhǎng)方形門的寬x尺，則高是（x+6.8）尺，根據(jù)題意得x2+（x+6.8）2＝102，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用及由實(shí)際問題抽象出一元二次方程的知識(shí)，根據(jù)勾股定理列方程是解題關(guān)鍵．8．如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．則下列說法：①若AC＝BD，則四邊形EFGH為矩形；②若AC⊥BD，則四邊形EFGH為菱形；③若四邊形EFGH是平行四邊形，則AC與BD互相平分；④若四邊形EFGH是正方形，則AC與BD互相垂直且相等．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】因?yàn)橐话闼倪呅蔚闹悬c(diǎn)四邊形是平行四邊形，當(dāng)對(duì)角線BD＝AC時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形，當(dāng)對(duì)角線AC⊥BD時(shí)，中點(diǎn)四邊形是矩形，當(dāng)對(duì)角線AC＝BD，且AC⊥BD時(shí)，中點(diǎn)四邊形是正方形，解：因?yàn)橐话闼倪呅蔚闹悬c(diǎn)四邊形是平行四邊形，當(dāng)對(duì)角線BD＝AC時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形，當(dāng)對(duì)角線AC⊥BD時(shí)，中點(diǎn)四邊形是矩形，當(dāng)對(duì)角線AC＝BD，且AC⊥BD時(shí)，中點(diǎn)四邊形是正方形，故④選項(xiàng)正確，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查中點(diǎn)四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住一般四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，當(dāng)對(duì)角線BD＝AC時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形，當(dāng)對(duì)角線AC⊥BD時(shí)，中點(diǎn)四邊形是矩形，當(dāng)對(duì)角線AC＝BD，且AC⊥BD時(shí)，中點(diǎn)四邊形是正方形．9．寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫做黃金矩形．我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形ABCD，分別取AD，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF；以點(diǎn)F為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G；作GH⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．則下列矩形是黃金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理，求得DF的長(zhǎng)，再根據(jù)DF＝GF求得CG的長(zhǎng)，最后根據(jù)CG與CD的比值為黃金比，判斷矩形DCGH為黃金矩形．解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則CD＝2，CF＝1在直角三角形DCF中，DF＝，∴FG＝，∴CG＝﹣1∴，∴矩形DCGH為黃金矩形故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了黃金分割，解決問題的關(guān)鍵是掌握黃金矩形的概念．解題時(shí)注意，寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫做黃金矩形，圖中的矩形ABGH也為黃金矩形10．一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可變形為（）A．（x+3）2＝4 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x﹣3）2＝14【分析】先移項(xiàng)，再根據(jù)完全平方公式配方，即可得出選項(xiàng)．解：x2﹣6x﹣5＝0，x2﹣6x＝5，x2﹣6x+9＝5+9，（x﹣3）2＝14，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用配方法解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵．11．直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)分別為和，則該直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)為（）A． B． C．1 D．2【分析】先根據(jù)勾股定理列式求出斜邊的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．解：∵兩條直角邊的長(zhǎng)分別是為和，∴斜邊＝＝4，∴斜邊上的中線＝2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．四邊形不具有穩(wěn)定性．四條邊長(zhǎng)都確定的四邊形，當(dāng)內(nèi)角的大小發(fā)生變化時(shí)，其形狀也隨之改變．如圖，改變正方形ABCD的內(nèi)角，使正方形ABCD變?yōu)榱庑蜛BC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′與正方形ABCD的面積之比是（）A． B． C． D．1【分析】過D'作D'M⊥AB于M，求出正方形ABCD的面積＝AB2，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得AM＝AD'，D'M＝AM＝AD'，然后求出菱形ABCD的面積＝AB×D'M＝AB2，即可求解．解：過D'作D'M⊥AB于M，如圖所示：則∠D'MA＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴正方形ABCD的面積＝AB2，AB＝AD，∠BAD＝90°，∵∠DAD′＝30°，∴∠D'AM＝90°﹣30°＝60°，∴∠AD'M＝30°，∴AM＝AD'，D'M＝AM＝AD'，∵四邊形ABC′D′是菱形，∴AB＝AD'＝AD，菱形ABCD的面積＝AB×D'M＝AB2，∴菱形ABC′D′與正方形ABCD的面積之比＝＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握菱形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，證出D'M＝AD'是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分）13．計(jì)算：＝3．【分析】先分母有理化，然后根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)果．解：＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．14．如圖所示，網(wǎng)格中相似的兩個(gè)三角形是①③．（填序號(hào)）?【分析】先求出所有三角形的邊長(zhǎng)，由相似三角形的判定可求解．解：圖形①的三邊為：2，，；圖形②的三邊為：3，，；圖形③的三邊為：2，2，2；圖形④的三邊為：3，，，∵，，∴①與③相似，故答案為：①③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，求出所有三角形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．15．將一條長(zhǎng)28cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段鐵絲做成一個(gè)正方形，使這兩個(gè)正方形的面積之和等于25cm2，則其中較大正方形的邊長(zhǎng)為4cm．【分析】設(shè)其中較大正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則較小正方形的邊長(zhǎng)為（7﹣x）cm，根據(jù)兩個(gè)正方形的面積之和等于25cm2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．解：設(shè)其中較大正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則較小正方形的邊長(zhǎng)為＝（7﹣x）cm，根據(jù)題意得：x2+（7﹣x）2＝25，整理得：x2﹣7x+12＝0，解得：x1＝3，x2＝4，當(dāng)x＝3時(shí)，7﹣x＝7﹣3＝4＞3，不符合題意，舍去；當(dāng)x＝4時(shí)，7﹣x＝7﹣4＝3＜4，符合題意，∴其中較大正方形的邊長(zhǎng)為4cm．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．16．教學(xué)樓前有一棵樹，小明想利用樹影測(cè)量樹高．在陽光下他測(cè)得一根長(zhǎng)為1m的竹竿的影長(zhǎng)是0.9m，但當(dāng)他馬上測(cè)量樹高時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如圖），經(jīng)過思考，他認(rèn)為繼續(xù)測(cè)量也可以求出樹高．他測(cè)得，落在地面上的影長(zhǎng)是2.7m，落在墻壁上的影長(zhǎng)是0.6m，則這棵樹實(shí)際高度為3.6m．?【分析】先根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例求出落在地上的影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的樹的高度，再加上落在墻上的影長(zhǎng)就是樹的高度．解：∵同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例，∴＝，即：＝，解得落在地上的影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的樹的高度＝3m，∴樹的高度為：3+0.6＝3.6m，故答案為：3.6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求解，明確把影長(zhǎng)分為兩部分計(jì)算，然后再求和就是樹的高度是解題的關(guān)鍵．17．由12個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝1，則圖中與△OAB位似的三角形中，邊OA對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)為．【分析】先根據(jù)余弦的定義求出OG的長(zhǎng)，再根據(jù)位似圖形的概念解答．解：在Rt△AOB中，OA＝1，∠AOB＝30°，則OB＝＝＝，同理可得：OC＝（）2，…OG＝（）6＝，∵△OAB與△GOH位似，OG與OA是對(duì)應(yīng)邊，∴邊OA對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換、解直角三角形，根據(jù)余弦的定義求出OG的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在AB上，且BE＝1，F(xiàn)為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則△BFE周長(zhǎng)的最小值為6．【分析】連接ED交AC于一點(diǎn)F，連接BF，根據(jù)正方形的對(duì)稱性得到此時(shí)△BFE的周長(zhǎng)最小，利用勾股定理求出DE即可．解：如圖，連接ED交AC于一點(diǎn)F，連接BF，∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，∴BF＝DF，∴△BFE的周長(zhǎng)＝BF+EF+BE＝DE+BE，此時(shí)△BEF的周長(zhǎng)最小，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，∵點(diǎn)E在AB上且BE＝1，∴AE＝3，∴DE＝＝5，∴△BFE的周長(zhǎng)＝5+1＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】此題考查正方形的性質(zhì)：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角以及正方形的對(duì)稱性質(zhì)，還考查了勾股定理的計(jì)算．依據(jù)正方形的對(duì)稱性，連接DE交AC于點(diǎn)F時(shí)△BFE的周長(zhǎng)有最小值，這是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共7小題，滿分78分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）19．計(jì)算：（1）；（2）．【分析】（1）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)和完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)二次根式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)和平方差公式進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)二次根式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可．解：（1）＝3﹣4+4+2+2＝7；（2）＝3﹣﹣（5﹣1）＝3﹣﹣4＝﹣1﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，能正確根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．20．解下列方程：（1）4（x+2）2﹣9（x﹣3）2＝0；（2）x2﹣4x﹣8＝0．【分析】（1）先移項(xiàng)，再利用直接開平方法求解即可；（2）將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，再開方即可得．解：（1）4（x+2）2﹣9（x﹣3）2＝0，4（x+2）2＝9（x﹣3）2，則2（x+2）＝3（x﹣3）或2（x+2）＝﹣3（x﹣3），解得x1＝13，x2＝1；（2）x2﹣4x﹣8＝0，∴x2﹣4x＝8，∴x2﹣4x+4＝8+4，即（x﹣2）2＝12，∴x﹣2＝±2，∴x1＝2+2，x2＝2﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．21．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2．（1）求m的取值范圍；（2）當(dāng)x1＝1時(shí)，求另一個(gè)根x2的值．【分析】（1）根據(jù)題意可得根的判別式Δ＞0，再代入可得9﹣4m＞0，再解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2＝﹣，再代入可得答案．解：（1）由題意得：Δ＝（﹣3）2﹣4×1×m＝9﹣4m＞0，解得：m＜；（2）∵x1+x2＝﹣＝3，x1＝1，∴x2＝2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，以及根的判別式，關(guān)鍵是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．22．已知，如圖，在△ABC中，D是AC上的一點(diǎn)，∠CBD的平分線交AC于點(diǎn)E，AE＝AB＝6，AD＝．（1）求CE的長(zhǎng)；（2）若DF∥BC交AB于點(diǎn)F，求BF的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠ABE＝∠AEB，再根據(jù)三角形外角定理及角平分線的定義可得出∠C＝∠ABD，據(jù)此可判定△ABD和△ACB相似，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求出AC＝8，進(jìn)而可求得CE的長(zhǎng)；（2）根據(jù)DF∥BC可得△ADF和△ACB相似，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求出AF，進(jìn)而可求得BF的長(zhǎng)．解：（1）∵AE＝AB＝6，AD＝9/2，∴∠ABE＝∠AEB，又∵∠AEB＝∠C+∠CBE，∴∠C+∠CBE＝∠DBE+∠ABD，∵BE平分∠CBD，∴∠CBE＝∠DBE，∴∠C＝∠ABD，在△ABD和△ACB中，∠C＝∠ABD，∠BAD＝∠CAB，∴△ABD∽△ACB，∴AB：AC＝AD：AB，即：，∴AC＝8，∴CE＝AC﹣AE＝2，（2）∵DF∥BC，∴△ADF∽△ACB，∴AF：AB＝AD：AC，即：，∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，在利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例時(shí)，一定要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊．23．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），過點(diǎn)P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)，求證：OP＝EF．【分析】（1）先證四邊形ABCD是平行四邊形，再證∠DCA＝∠DAC，則CD＝AD，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得AC⊥BD則∠BOC＝90°，再由PE⊥AC，PF⊥BD，得∠PEO＝∠PFO＝90°，然后證四邊形OFPE是矩形，即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AB∥CD，AB＝AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∠CAB＝∠DCA，∵AC平分∠BAD．∴∠CAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，∴平行四邊形ABCD是菱形．（2）由（1）可知，四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO＝∠PFO＝90°，∴四邊形OFPE是矩形，∴OP＝EF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．某商城在2021年端午節(jié)期間促銷海爾冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元，標(biāo)價(jià)為3000元．（1）商城舉行了“新老用戶粽是情”摸獎(jiǎng)活動(dòng)，中獎(jiǎng)?wù)呱坛菍⒈溥B續(xù)兩次降價(jià)，每次降價(jià)的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降價(jià)的百分率；（2）市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)每臺(tái)售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái)，當(dāng)每臺(tái)售價(jià)每降50元時(shí)