同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽論文1海上靜態(tài)目標(biāo)最佳搜索方案模型摘要針對MH370搜索，本文根據(jù)MH370的相關(guān)參數(shù)，確定了可能墜落的區(qū)域，并通過分析最可能航線，對該區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，通過求解沿各條基線兩邊呈正態(tài)分布的概率密度函數(shù)在劃定的特定區(qū)域的積分來確定各子區(qū)域的墜落可能性。首先以伊爾-76運(yùn)輸機(jī)為基礎(chǔ)，綜合考慮了續(xù)航、最大燃油航程等飛機(jī)離散搜尋特征，簡化建立其搜索范圍與搜索半徑。通過拉格朗日逐點(diǎn)乘數(shù)法和漸進(jìn)搜尋方法，建立了離散搜索能力對靜止目標(biāo)的最優(yōu)搜索模型，并結(jié)合MH370可能航向所建立的各個(gè)子區(qū)域墜落幾率模型，求解出各子域的重要度指數(shù)，并按照其重要度指數(shù)依次排序進(jìn)行搜索。對于多搜索工具的統(tǒng)一調(diào)度問題，則是首先根據(jù)第一題所解出各個(gè)區(qū)域的重要性指數(shù)劃分出幾個(gè)區(qū)域，確定這幾個(gè)區(qū)域的搜索順序，以提高搜索效率。之后根據(jù)不同搜索工具的各項(xiàng)特征，包括位置特征、自身性能指標(biāo)等，建立海上立體聯(lián)合最優(yōu)搜尋模型，并給出了求解算法。關(guān)鍵字：離散搜索聯(lián)合最優(yōu)搜索2一、問題重述1.1背景資料馬來西亞航空370號班機(jī)空難，是指2014年3月8日一班從馬來西亞吉隆坡前往中國北京的波音777-200ER航機(jī)失蹤的事件，被認(rèn)為是有史以來“最離奇”的飛機(jī)失聯(lián)案列。空難的謎團(tuán)能不能解開，很大程度上取決于能不能打撈到“黑匣子”。MH370的失聯(lián)，各國為此出動了25架飛機(jī)，40艘艦艇，甚至包括若干衛(wèi)星。1.2需要解決的問題（1）以MH370為基本背景，基于互聯(lián)網(wǎng)報(bào)導(dǎo)的這次事件的一些基本數(shù)據(jù)(如不同搜救設(shè)備的搜索能力，速度，續(xù)航時(shí)間，代價(jià)等)的基礎(chǔ)上，做出合理的假設(shè)、簡化，針對某一種搜索工具（如衛(wèi)星、飛機(jī)、船只）討論其搜索的范圍和優(yōu)缺點(diǎn)，制定相應(yīng)的最優(yōu)搜索方案；（2）若假設(shè)所有的飛機(jī)艦船及衛(wèi)星都由一個(gè)國家統(tǒng)一調(diào)度，討論最優(yōu)的搜索飛機(jī)殘骸和黑匣子的方案。二、模型假設(shè)2.1問題一模型假設(shè)1.飛機(jī)在搜尋的過程中不考慮待搜尋海域的環(huán)境狀況（風(fēng)、浪、流、氣溫、水溫等）；2.搜尋過程中使用的飛機(jī)型號均相同，為伊爾－76運(yùn)輸機(jī)；3.假定飛機(jī)在搜尋過程中保持300米的飛行高度不變，則搜尋范圍為以飛機(jī)為頂點(diǎn)的圓錐形放射狀，投影在水面上則為圓形的搜尋區(qū)域，如圖2.1圖2.1根據(jù)伊爾－76運(yùn)輸機(jī)飛行660公里，搜索面積約7000平方公里考慮，可近似假設(shè)該圓形搜索區(qū)域的半徑為4公里，則搜索寬度為8公里；34.5.6.假定黑匣子與飛機(jī)的主體殘骸為非漂流物，即在失事地點(diǎn)沉入海底，不在洋流與風(fēng)壓影響下運(yùn)動；伊爾－76運(yùn)輸機(jī)的最大燃油航程為7800公里，而本模型劃定的黑匣子和飛機(jī)主體殘骸的可能沉入目標(biāo)總區(qū)域?yàn)?20公里×520公里的矩形范圍（具體見下文），因此可以忽略飛機(jī)的續(xù)航問題；黑匣子只能持續(xù)自主供電發(fā)出信號30天。2.2問題二模型假設(shè)1.不同搜索工具的代價(jià)與行駛的距離成正比；2.在待搜索區(qū)域附近有多艘可用專業(yè)搜尋艦船、多架可用專業(yè)搜尋飛機(jī)、多艘可用過路船舶及多顆可用衛(wèi)星，以此構(gòu)成了立體搜索力量全體。其中專業(yè)搜索艦船和過路船舶距待搜索區(qū)域的初始距離、最大航速、搜尋能力不一定相同。專業(yè)搜尋飛機(jī)的距待搜索區(qū)域的初始距離、最大航速、搜尋能力、最大續(xù)航時(shí)間也不一定相同；3.所有可用衛(wèi)星的搜索能力、運(yùn)行速度、運(yùn)行高度完全相同。三、符號說明3.1問題一符號說明——黑匣子或飛機(jī)主體殘骸位于子域的概率；——黑匣子或飛機(jī)主體殘骸位于子域且對該子域?qū)嵤┝舜嗡阉鞯陌l(fā)現(xiàn)概率；——對子域?qū)嵭写嗡阉鞯馁M(fèi)用；——黑匣子或飛機(jī)主體殘骸位于子域且施加于該子域的最初搜索沒有發(fā)現(xiàn)目標(biāo)而在第次發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率；——對子域第次搜索的費(fèi)用；——執(zhí)行搜索計(jì)劃時(shí)在最初的次搜索中施加于子域的搜索次數(shù)；——采用搜索計(jì)劃時(shí)施加于子域的搜索次數(shù)。3.2問題二符號說明：——待搜索海域面積；——可調(diào)用的艦船數(shù)；——可調(diào)用的飛機(jī)數(shù)；——調(diào)用參與搜索行動的衛(wèi)星數(shù)；——每艘艦船距待搜海域的初始距離（——每架飛機(jī)距待搜海域的初始距離（——每艘艦船的搜尋能力（——每架飛機(jī)的搜尋能力（，，，，，）；，）；，）；，）；4——每艘艦船的最大航速（——每架飛機(jī)的最大航速（——每架飛機(jī)的最大續(xù)航時(shí)間（，，，）；，）；，，）；，，）；——第j架飛機(jī)在整個(gè)行動中出動的次數(shù)（——第i艘艦船以最大航速駛至待搜尋海域所需要的時(shí)間；——第j架飛機(jī)以最大航速往返待搜尋海域所需要的時(shí)間；——第i艘艦船在待搜海域中進(jìn)行搜索作業(yè)的時(shí)間；——第j架飛機(jī)在待搜海域上空進(jìn)行搜索作業(yè)的時(shí)間；——待搜尋海域可容納的搜索艦船的數(shù)量上限；——待搜尋海域可容納的搜索飛機(jī)的數(shù)量上限；T——整個(gè)搜索行動的總耗時(shí)。四、模型的建立與求解4.1問題一的模型的建立與求解在MH370的搜救背景下，本模型針對飛機(jī)這類搜索工具，討論其搜索范圍和優(yōu)缺點(diǎn)，并制定最優(yōu)的搜索方案。新華網(wǎng)報(bào)導(dǎo)在3月26日，中國空、海搜救力量在南印度洋回合，密切協(xié)同，全力對疑似馬航客機(jī)失去聯(lián)系附近海域展開立體搜尋。而中國派出了伊爾－76機(jī)組，實(shí)時(shí)云底高500米左右，風(fēng)速12米每秒，浪高3－3.5米。獲知任務(wù)海域氣象和海況信息后，伊爾－76機(jī)組立即從9100米高空從容下降，在500米高度鉆云而出，并保持300米高度對任務(wù)海域展開搜尋。8時(shí)許，伊爾－76機(jī)組到達(dá)任務(wù)海域，10時(shí)許，離開任務(wù)海域返回珀斯，總計(jì)在疑似海域飛行660公里，搜尋面積約7000平方公里。伊爾－76運(yùn)輸機(jī)具體參數(shù)如表4.1：表4.1中文名機(jī)長機(jī)高翼展機(jī)翼面積空重伊爾－76運(yùn)輸機(jī)46.59米14.76米50.50米300平方米70噸引擎起飛重量燃油重量平飛速度巡航速度最大燃油航程AviadvigatelD-30170噸70噸850公里/小時(shí)750-800公里/小時(shí)7800公里5為簡化該模型，做出如下假定條件：針對第一題，本模型所要研究的問題可以描述為：在派出參與搜尋的飛機(jī)總數(shù)為40即總資源一定的前提下，如何分配飛機(jī)資源，才能使搜索到黑匣子或飛機(jī)主體殘骸的概率最大或者使搜索成功所耗費(fèi)的飛機(jī)資源期望值最小，而這個(gè)問題的基礎(chǔ)是概率論，主要包含三個(gè)要素：[2]（1）目標(biāo)位置和移動路徑的初始概率分布。這是所有的搜索問題都需要涉及到的，并且需要首先解決的問題，比如在MH370的搜尋問題中，搜尋失蹤飛機(jī)的初始位置信息、所在南印度洋的海域環(huán)境信息等。（2）探測函數(shù)。假定黑匣子和飛機(jī)主體殘骸確實(shí)位于某個(gè)區(qū)域，將投入到這個(gè)區(qū)域的飛機(jī)搜索資源或者搜索時(shí)間與成功搜索概率之間的函數(shù)關(guān)系稱為探測函數(shù)關(guān)系（DetectionFunction）。（3）對可用搜索資源的約束條件。對MH370的搜索不可能無休止地進(jìn)行下去，搜索資源是有限的，都會受到諸如時(shí)間和人力資源的限制。給定探測函數(shù)和目標(biāo)的概率分布后，本模型要解決的核心問題就是在飛機(jī)總數(shù)即總搜索資源一定的情況下，如何分配搜索資源使得成功搜索到目標(biāo)的可能性最大或花費(fèi)的搜索代價(jià)最小。針對這個(gè)問題，本模型初步構(gòu)想到，一種方法是使每個(gè)瞬間搜索成功的概率達(dá)到最大，另一種方法是在搜索過程中每次都挑選搜索成功概率最高的區(qū)域進(jìn)行搜索，漸進(jìn)迭代。根據(jù)文獻(xiàn)[1]，可以知道，離散搜索力是相對于連續(xù)搜索力而言的，連續(xù)搜索力顧名思義，是指搜索力可以連續(xù)不斷地施加于搜索區(qū)，艦載聲吶、拖曳聲吶的搜索力都是連續(xù)的。而目前伊爾－76運(yùn)輸機(jī)等飛機(jī)的搜索力呈間斷方式一次次施加于搜索區(qū)，因此是離散搜索力。下面就根據(jù)離散搜索力，具體從上述提到的三個(gè)要素進(jìn)行模型的搭建。4.1.1初始概率密度函數(shù)初始概率分布函數(shù)及黑匣子和飛機(jī)主體殘骸的位置的初始概率分布函數(shù)。在MH370的海上搜救行動中，黑匣子和飛機(jī)主體殘骸的初始位置的確定，在不同的情況下有不同的遇險(xiǎn)初始位置信息的來源，具體包括：我們引入概率分布函數(shù)，具體定義如下：其中，當(dāng)，，且根據(jù)前述假定，黑匣子和飛機(jī)主體殘骸為非漂流物，因此。本模型假設(shè)了10條可能航向，可能航向在搜索區(qū)域的可以視作搜尋的基線。在基線區(qū)域內(nèi)，遇險(xiǎn)目標(biāo)分布概率在搜尋基線附近最高，并且離開基線越遠(yuǎn)，概率越低，基線兩邊均為正態(tài)分布。6圖4.1基線區(qū)域內(nèi)概率密度分布圖以通過搜索資料得到馬來西亞航空370號班機(jī)的失聯(lián)地點(diǎn)（北緯06°55’15”,東經(jīng)103°34’43”）為原點(diǎn)。搜索區(qū)域根據(jù)資料做出一定簡化假設(shè)為以失聯(lián)地點(diǎn)為中心520km×520km的方形區(qū)域。以失聯(lián)地點(diǎn)為中心建立直角坐標(biāo)系，如下圖4.2所示圖4.2直角坐標(biāo)系的建立可能的航向在該坐標(biāo)系中都可表示為通過原點(diǎn)的直線，分別記作，，，，，，，，，，下面給出各條直線的具體方程：：：：；：；：；：；：；：；；：；：；；失聯(lián)客機(jī)向各個(gè)航向飛行的可能性相同，并且根據(jù)客機(jī)燃油、雷達(dá)信息等因素本模型認(rèn)為其飛行的最大半徑為的性質(zhì)可以確定基線區(qū)域內(nèi)概率密度分布函數(shù)的參數(shù)坐標(biāo)系下的概率分布函數(shù)為（。根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)，因此得出在整個(gè)）式中為直線的斜率為了便于調(diào)配將520km×520km的搜索區(qū)域分為40km×40km的小區(qū)域，總數(shù)為個(gè)。失聯(lián)客機(jī)在每個(gè)小區(qū)域的概率為對于整個(gè)方形搜索區(qū)域來說7各個(gè)小區(qū)域在540km×540km的范圍內(nèi)子域的條件概率為4.1.2探測函數(shù)本模型對探測函數(shù)的定義為：在中找到目標(biāo)，其中是搜索飛機(jī)在時(shí)刻的位置。一般情況下，探測函數(shù)用來表示即可[2]。而在本模型中，采取了一個(gè)便于測量的形勢，定搜尋飛機(jī)的搜尋范圍寬度的8公里為，即為距離，在這個(gè)距離內(nèi)飛機(jī)搜索不到目標(biāo)的概率與在這個(gè)距離內(nèi)飛機(jī)搜索到目標(biāo)的概率相等。4.1.3探測資源模型假定在搜索路徑已經(jīng)給出的條件下，可以定義搜索資源分配函數(shù)如下：函數(shù)意義為在時(shí)間區(qū)間中，能分配到點(diǎn)處的搜索資源。4.1.4離散搜索能力對靜止目標(biāo)的最優(yōu)搜索模型在前述計(jì)算初始概率密度函數(shù)時(shí)，本模型將目標(biāo)分布區(qū)域劃分為13×13共計(jì)169個(gè)子域，其中，根據(jù)前述初始概率密度函數(shù)的計(jì)算結(jié)果，可以得到黑匣子或飛機(jī)主體殘骸位于子域的概率為。并假定搜索的時(shí)間有一定的限定，上限值為，并根據(jù)黑匣子從失事開始能持續(xù)供電發(fā)出信號時(shí)間為30天的特征，記天。本模型構(gòu)建一種搜索策略，將總搜索時(shí)間分為相等的等分，使每一等分至少可以搜索一個(gè)子域。先給出一個(gè)定義：離散搜索力的搜索計(jì)劃定義為一個(gè)有序的數(shù)組：，其中為搜索力量的總量，即投放飛機(jī)的總次數(shù)，搜索每個(gè)區(qū)域的時(shí)間。其中，的含義是采用搜索計(jì)劃時(shí)，將第一次搜索施加于第子域，若第一次搜索沒有發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，則把第二次搜索施加于第子域，以此類推，直到成功搜索到黑匣子或飛機(jī)主體殘骸，或者搜索的時(shí)間耗盡，這時(shí)，的全排列可達(dá)到，而其中允許出現(xiàn)重復(fù)數(shù)字。這又是因?yàn)樵谟邢薜膯挝蛔佑蛩阉鲿r(shí)間內(nèi)，即使目標(biāo)在所在子域里，也存在不能發(fā)現(xiàn)的概率。在這排列中，每一個(gè)排列都對應(yīng)一個(gè)搜索計(jì)劃，并且對應(yīng)相應(yīng)的成本開銷，搜索計(jì)劃不同，搜索效率也差別很大，本模型的目的就是要尋求最優(yōu)的搜索計(jì)劃，使得發(fā)現(xiàn)黑匣子或飛機(jī)主體殘骸的概率最大。關(guān)于發(fā)現(xiàn)黑匣子或飛機(jī)的主體殘骸的概率和相應(yīng)的總搜索費(fèi)用的定義和二者的約束條件定義如下：用表示第次查找第子域，并查找成功的概率，由此可知：8當(dāng)且僅當(dāng)搜索計(jì)劃中存在對子域的第次查找，才存在，由此可見，搜索成功的概率與子域的查找次序無關(guān)，只與搜索計(jì)劃中對每個(gè)子域的查找次數(shù)有關(guān)。為總搜索費(fèi)用的上限，用表示對子域的第次查找的費(fèi)用，因此，為使得搜索次數(shù)最大化，總搜索費(fèi)用應(yīng)滿足：同樣，當(dāng)且僅當(dāng)搜索計(jì)劃中存在對子域的第次查找，才有意義。因此，對于黑匣子或飛機(jī)的主體殘骸的概率和相應(yīng)的總搜索費(fèi)用來說：同時(shí)還需要滿足約束條件：其中為飛機(jī)或者時(shí)間資源的約束上限。根據(jù)資料[1]，采用拉格朗日乘數(shù)法可以將目標(biāo)函數(shù)和約束條件放在一個(gè)公式中，將帶有約束條件的極值問題求解轉(zhuǎn)化為普通的求解極值問題。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)如下：其中叫做拉格朗日乘子，該函數(shù)稱為逐點(diǎn)拉格朗日函數(shù)，且，，對于一個(gè)帶有參數(shù)（數(shù)量或者時(shí)間）的資源配置是最優(yōu)配置的充分條件是函數(shù)滿足：對求導(dǎo)：求解，可得最優(yōu)搜索方案如下：其中必須滿足成本開銷約束條件：令則可以求出對應(yīng)的的值。上述介紹的拉格朗日乘數(shù)法得到的是具體的資源分配方案，但是不能給出具9體的搜索順序，即所求解的搜索方案。因?yàn)轱w機(jī)的離散搜索是一次次進(jìn)行的，并且每個(gè)任務(wù)子域都為40公里×40公里的范圍，且在范圍內(nèi)的搜索模式相同，具體見下文論述，因此每次出任務(wù)搜索子域的搜索費(fèi)用是只與距離相關(guān)的函數(shù)，因此對子域的單次搜索費(fèi)用均相同。若=遞減，可按下述方法尋求搜索計(jì)劃，令滿足：在確定了前次搜索之后，令滿足：這種方法用了漸進(jìn)的搜索方法，在搜索過程中每次都挑選搜索成功概率最高的區(qū)域進(jìn)行搜索，并且考慮目標(biāo)確實(shí)在子域，但是卻被忽略掉的概率，這樣得到的搜索計(jì)劃就是最優(yōu)的搜索計(jì)劃。4.1.5求解離散搜索能力對靜止目標(biāo)的最優(yōu)搜索模型因?yàn)榍笆黾俣ê谙蛔雍惋w機(jī)的主體殘骸都不隨洋流或風(fēng)壓運(yùn)動，為靜止目標(biāo)，因此初始概率密度函數(shù)結(jié)果即為黑匣子或飛機(jī)主體殘骸位于子域的概率。表4.21234567891011121310.00070.00100.00140.00200.00270.00340.00400.00460.00500.00530.00530.00540.005320.00110.00140.00200.00270.00340.00430.00500.00570.00620.00630.00630.00630.006230.00170.00210.00290.00370.00460.00540.00630.00690.00720.00730.00720.00700.006740.00260.00320.00400.00490.00590.00670.00760.00800.00830.00820.00790.00760.007050.00360.00430.00520.00620.00720.00800.00870.00900.00900.00870.00830.00760.007060.00470.00560.00640.00740.00830.00920.00960.00960.00950.00890.00820.00730.0066的值70.00570.00660.00740.00830.00920.00970.00990.00970.00920.00830.00740.00660.005780.00660.00730.00820.00890.00950.00960.00960.00920.00830.00740.00640.00560.004790.00700.00760.00830.00870.00900.00900.00870.00800.00720.00620.00520.00430.0036100.00700.00760.00790.00820.00830.00800.00760.00670.00590.00490.00400.00320.0026110.00670.00700.00720.00730.00720.00690.00630.00540.00460.00370.00290.00210.0017120.00620.00630.00630.00630.00620.00570.00500.00430.00340.00270.00200.00140.0011130.00530.00540.00530.00530.00500.00460.00400.00340.00270.00200.00140.00100.0007而為對子域搜索第一次發(fā)現(xiàn)黑匣子或飛機(jī)主體殘骸的概率，這對同一機(jī)組來說，概率相同，即都相等。為對子域第次搜索的費(fèi)用，飛機(jī)在子域的搜索方式相同，故可認(rèn)為搜索費(fèi)用相同，因此從出發(fā)點(diǎn)到子域距離的函數(shù)，滿足：表4.3123456789101112131897.38869.71843.38818.56795.45774.26755.22738.56724.52713.33705.18700.22698.562869.71840.81813.20787.07762.62740.10719.76701.88686.75674.63665.77660.37658.563843.38813.20784.25756.70730.81706.82685.04665.77649.37636.17626.48620.56618.564818.56787.07756.70727.68700.22674.63651.23630.39612.51598.03587.34580.78578.565795.45762.62730.81700.22671.11643.77618.56595.92576.33560.32548.41541.05538.566774.26740.10706.82674.63643.77614.54587.34562.65541.05523.19509.76501.40498.56的值7755.22719.76685.04651.23618.56587.34557.97530.97507.00486.89471.54461.87458.568738.56701.88665.77630.39595.92562.65530.97501.40474.68451.80433.97422.52418.569724.52686.75649.37612.51576.33541.05507.00474.68444.83418.56397.45383.48378.5610713.33674.63636.17598.03560.32523.19486.89451.80418.56388.27362.78345.05338.5611705.18665.77626.48587.34548.41509.76471.54433.97397.45362.78331.70308.00298.5612700.22660.37620.56580.78541.05501.40461.87422.52383.48345.05308.00275.13258.5613698.56658.56618.56578.56538.56498.56458.56418.56378.56338.56298.56258.56218.5610因此可以計(jì)算出下式的值：如下表所示。表4.41234567891011121310.751.121.662.453.424.445.316.216.927.437.527.777.5921.251.702.473.464.515.816.978.168.979.349.479.549.3532.042.643.654.926.277.709.2010.3311.0311.4811.4311.3110.8843.154.005.306.698.399.9811.6612.7313.5613.6513.4113.0712.1354.505.647.068.8010.6712.4614.1315.1415.6615.6015.1514.0313.03的值（單位66.117.559.1211.0412.9114.9216.3417.0617.4716.9816.0214.5713.2277.599.1610.8712.7614.8216.5817.7118.3518.0817.0615.8014.2712.5088.9210.4112.2614.0915.8717.0618.0818.2817.5016.4914.8513.2211.29）99.6911.0612.7914.2715.6616.6817.2416.9016.1014.7212.9811.219.46109.8411.2512.3813.6514.8315.3315.5914.9014.0312.5411.069.137.62119.5510.5411.4312.4413.0613.4913.3712.5411.5310.278.646.985.76128.809.5410.1610.8511.3811.4310.8610.178.977.896.515.214.21137.598.278.579.169.319.198.758.217.195.924.703.773.08根據(jù)計(jì)算結(jié)果，將子域遞減排序，則根據(jù)模型得出了走遍待搜索區(qū)域的最佳方案。圖4.3區(qū)域重要性11重要性程度從左至右遞減如下所示：這里補(bǔ)充對于每一個(gè)分割區(qū)域的大小都為40km×40km的方形具體搜索方法。飛機(jī)的搜索范圍是半徑為4km的圓，其搜索寬度為8km。因此可以將40km×40km的區(qū)域分成8km×8km的小區(qū)域，則有5×5個(gè)小區(qū)域。無論如何搜索，在指定區(qū)域內(nèi)最短的搜索時(shí)間等于總的搜索面積與飛機(jī)單位時(shí)間搜索面積的比值。把每個(gè)8km×8km的小區(qū)域中心看作圖中的點(diǎn)，要尋找到其搜索的最佳線路就是需要尋找經(jīng)過每一點(diǎn)一次且僅一次的路徑，即其路徑是“一筆畫”，圖4.4給出的就是一種拐角最少的“一筆畫”路徑。圖4.4一筆畫路徑但是上述“一筆畫”路徑并不能完全覆蓋整個(gè)搜索區(qū)域。顯然在拐角處搜索覆蓋的范圍是一個(gè)半徑為4km的圓，它是邊長為8km的正方形的內(nèi)切圓，因此不能覆蓋拐角的陰影部分（見圖4.5）圖4.5拐角實(shí)際上，“一筆畫”搜索路徑未能覆蓋的搜索面積為陰影面積，占總面積的。由于僅有的面積未被“一筆畫”路徑搜索到，而且該路徑的全部時(shí)間都用于搜索，因此決定在該路徑的基礎(chǔ)上進(jìn)行完善以達(dá)到要求。沿對角線方向搜索，即往返為可覆蓋拐角處“一筆畫”未搜索到的區(qū)域。綜合上述結(jié)論可以計(jì)算得到飛機(jī)搜索一個(gè)40km×40km的方形區(qū)域所要飛12行的距離為。4.2問題二的模型的建立與求解通過搜索資料，得馬來西亞航空370號班機(jī)的失聯(lián)地點(diǎn)為北緯06°55’15”,東經(jīng)103°34’43”，利用GOOGLEEARTH搜索并確定失聯(lián)地點(diǎn)周圍最近的10座機(jī)場。將失聯(lián)地點(diǎn)與10座機(jī)場的坐標(biāo)連線，得到十條可能性最大的失聯(lián)后的航線即最可能飛行區(qū)域，如圖4.6所示。圖4.6失聯(lián)飛行區(qū)域海上立體聯(lián)合最優(yōu)搜尋模型4.2.1模型的建立根據(jù)前文對飛機(jī)殘骸及黑匣子存在的520km×520km=270400km2區(qū)域建立的網(wǎng)格，及對13×13個(gè)大小為40km×40km的小格的重要性分析，已得到每個(gè)網(wǎng)格的重要性參數(shù)。出于對搜索工作的高效性的考慮，采用集中搜索，即將所有能參與搜索的搜索工具同時(shí)投入對某一大小適當(dāng)?shù)乃阉鲄^(qū)域開展搜索工作。一次搜索的區(qū)域不宜過大也不宜過小，出于經(jīng)濟(jì)性、高效性及各搜索工具的搜索能力綜合考量，將整個(gè)520km×520km=270400km2的待搜索區(qū)域通過小網(wǎng)格的合并，合并時(shí)考慮重要性參數(shù)為主要依據(jù)，分為九大待搜索區(qū)域，如圖4.7所示。13圖4.7九大待搜索區(qū)域劃分圖對于每塊區(qū)域，將其包含的所有小格的重要性參數(shù)106.51226.95212.6196.37339.6185.55175.23126.1414求和，得113.29則確定該九大區(qū)域的搜索順序?yàn)椤?。對每個(gè)區(qū)域的搜索方式相同，現(xiàn)以對區(qū)域的搜索為例，給出海上立體聯(lián)合最優(yōu)搜尋模型。不同的搜索工具具有不同的搜索能力、速度、續(xù)航時(shí)間及代價(jià)，其中，認(rèn)為不同搜索工具的代價(jià)與行駛的距離成正比。假設(shè)在待搜索區(qū)域附近有多艘可用專業(yè)搜尋艦船、多架可用專業(yè)搜尋飛機(jī)、多艘可用過路船舶及多顆可用衛(wèi)星，以此構(gòu)成了立體搜索力量全體。其中專業(yè)搜索艦船和過路船舶距待搜索區(qū)域的初始距離、最大航速、搜尋能力不一定相同。專業(yè)搜尋飛機(jī)的距待搜索區(qū)域的初始距離、最大航速、搜尋能力、最大續(xù)航時(shí)間也不一定相同。而所有可用衛(wèi)星的搜索能力、運(yùn)行速度、運(yùn)行高度完全相同。模型的目標(biāo)是選擇最佳的搜索艦船、搜尋飛機(jī)及衛(wèi)星，并使其協(xié)同工作，使完成對整個(gè)待搜索海域的搜索消耗的行動總時(shí)間T最小，以艦船與飛機(jī)聯(lián)合完成對搜索海域全覆蓋為行動結(jié)束的標(biāo)志，艦船與飛機(jī)有一者搜索過即認(rèn)為該區(qū)域已被搜索。而使用衛(wèi)星數(shù)量則根據(jù)其運(yùn)行速度、覆蓋寬度及艦機(jī)聯(lián)合作業(yè)的時(shí)間確定。通過資料搜索得，一顆衛(wèi)星的覆蓋區(qū)域約等同于寬度30km的條帶狀區(qū)域，一顆衛(wèi)星的運(yùn)行速度為，故一顆完成對區(qū)域的全覆蓋搜索需t=，R顆衛(wèi)星同時(shí)參與完成對Px區(qū)域的全覆蓋搜索需t/R=，因此調(diào)用以參與工作的衛(wèi)星數(shù)R取為[t/T]+1顆。下面對艦機(jī)聯(lián)合完成對搜索海域全覆蓋的最優(yōu)方案進(jìn)行決策。引入以下決策變量：（i=1,2，…，M），艦船不參與搜徐行動，飛機(jī)參與搜索行動，飛機(jī)不參與搜徐行動（j=1,2，…，N），艦船參與搜索行動為了以最短的時(shí)間對待搜索海域完成高效的搜索覆蓋，需對艦船與飛機(jī)在整個(gè)搜索行動中各自所需時(shí)間進(jìn)行分析。將可供調(diào)度的艦船與飛機(jī)力量的情況繪制在如圖4.8所示的圖中，設(shè)整個(gè)搜索行動的開始時(shí)刻為，結(jié)束時(shí)刻為，則整個(gè)搜索行動的總耗時(shí)。15圖4.8對艦船在整個(gè)行動中所需時(shí)間的分析：由于每艘艦船的最大航速、距待搜索區(qū)域的初始距離不同，故它們到達(dá)待搜索區(qū)域的時(shí)刻（i=1,2，…，M）不同，在圖中艦船、可在搜尋行動結(jié)束前到達(dá)待搜海域，艦船在搜尋行動開始時(shí)刻就位于待搜索海域內(nèi)，艦船在搜尋行動結(jié)束前無法到達(dá)待搜索海域。因此，、、有參與此次搜索行動的資,對于搜索行動。就如圖5.3所示的艦船力量而言，只有艦船格。對于有資格參與搜索行動的艦船而言，均有開始時(shí)刻已經(jīng)位于待搜索海域內(nèi)的艦船而言，對飛機(jī)在整個(gè)行動中所需時(shí)間的分析：與艦船情況類似，并非所有可調(diào)度飛機(jī)都有資格參與搜索行動，只有在搜索行動結(jié)束前可以飛至搜索區(qū)域的飛機(jī)可以參與行動。如圖5.3所示，飛機(jī)可以參與行動，而飛機(jī)則不能。對于每一架16有資格參與搜索行動的飛機(jī)而言，由于其續(xù)航時(shí)間的限制，需要來回進(jìn)行多架次飛行。每架次飛行時(shí)間等于其最大續(xù)航時(shí)間大航速往返待搜尋海域所需要的時(shí)間的時(shí)間，有兩部分構(gòu)成：飛機(jī)以最；飛機(jī)在待搜海域上空進(jìn)行搜索作業(yè)。認(rèn)為飛機(jī)飛往待搜索海域與返回基地的時(shí)間相等，并不考慮飛機(jī)在基地補(bǔ)充燃料的時(shí)間。通過以上分析可知，要實(shí)現(xiàn)對待搜索海域的艦機(jī)完全覆蓋需滿足：即（）（）由上式接觸T，則模型M-1可表示如下：（（）（））（）該模型的目標(biāo)函數(shù)（式5.1）是求整個(gè)搜索行動總耗時(shí)T的全局最小值，