第第頁遼寧省鐵嶺市昌圖縣2022-2023學年高一下學期期末考試數(shù)學試題（含解析）昌圖縣2022-2023學年高一下學期期末考試

數(shù)學試卷

本試卷滿分150分，考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名考生號考場號座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版必修第三冊必修第四冊.

一選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.（）

A.B.C.D.

2.若向量與垂直，則非零實數(shù)（）

A.1B.2C.-1D.-2

3.一個幾何體由6個面圍成，則這個幾何體不可能是（）

A.四棱臺B.四棱柱C.四棱錐D.五棱錐

4.函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則（）

A.B.5C.D.

5.所有棱長均為6的正三棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2的正三棱錐，則所得棱臺的高為（）

A.B.C.D.

6.已知的內(nèi)角的對邊分別是，若，則（）

A.B.3C.6D.

7.如圖，在四面體中，點在平面上的射影是，若，則異面直線與所成角的余弦值為（）

A.B.C.D.

8.“近水亭臺草木欣，朱樓百尺回波漬”，位于濟南大明湖畔的超然樓始建于元代，歷代因戰(zhàn)火及災(zāi)澇等原因，屢毀屢建，今天我們所看到的超然樓是2023年重建而成的，共有七層，站在樓上觀光，可俯視整個大明湖的風景.如圖，為測量超然樓的高度，選擇C和一個樓房DE的樓頂E為觀測點，已知A，C，D在水平地面上，超然樓AB和樓房DE都垂直于地面.已知，°，，在C點處測得E點的仰角為15°，在E點處測得B點的仰角為45°，則超然樓的高度（）

A.B.

C.D.

二多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)，則（）

A.B.

C.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限D(zhuǎn).

10.下列式子計算正確的是（）

A.

B.

C.

D.

11.已知函數(shù)，則（）

A.的最小正周期是

B.的圖象關(guān)于軸對稱

C.在上單調(diào)遞增

D.在上有3個零點

12.已知正方體的棱長為分別是棱的中點，為底面內(nèi)（包括邊界）一動點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若直線與平面沒有公共點，則點的軌跡長度為

B.若，則點的軌跡長度為

C.二面角的正切值為

D.過的平面截該正方體所得截面為五邊形

三填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知且，則__________.

14.已知方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一個根為，則__________.

15.已知向量滿足，且在上的投影向量為，則夾角的余弦值為__________，__________.（本題第一空3分，第二空2分）

16.刻畫空間彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用“曲率”刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制）.例如，正四面體的每個頂點有3個面角，每個面角為，所以正四面體在各頂點的曲率為.在底面為矩形的四棱錐中，底面與底面所成的角為，在四棱錐中，頂點的曲率為__________.

四解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明證明過程或演算步驟.

17.（10分）

已知復(fù)數(shù).

（1）若為純虛數(shù)，求；

（2）若，求的實部與虛部之和.

18.（12分）

已知的內(nèi)角的對邊分別是的面積為，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求的周長.

19.（12分）

已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

（1）求的解析式；

（2）求不等式的解集.

20.（12分）

如圖，在四棱錐中，平面，底面為等腰梯形，，分別為的中點.

（1）證明：平面.

（2）從下面①②兩個問題中任意選擇一個解答，如果兩個都解答，則按第一個計分.

①求點到平面的距離.

②求點到平面的距離.

21.（12分）

在中，角所對的邊分別為.

（1）求；

（2）若，過作垂直于交于點為上一點，且，求的最大值.

22.（12分）

如圖，在矩形中，分別為的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.

（1）證明：平面平面.

（2）若，求三棱錐體積的最大值.

（提示：，當且僅當時，等號成立）

昌圖縣2022-2023學年高一下學期期末考試

數(shù)學試卷

參考答案

1.A.

2.A因為向量與垂直，所以，則非零實數(shù).

3.C四棱錐由5個面圍成.

4.C因為，所以.

5.A根據(jù)題意可得所得棱臺為正三棱臺，該棱臺的高等于正三棱錐的高的.因為正三棱錐的高為，所以該棱臺的高為.

6.B因為，所以，則，得.根據(jù)余弦定理可得，故.

7.C分別取的中點，連接.因為點在平面上的射影是，所以平面，則.因為分別為的中點，所以，所以與所成的角即或其補角.因為，所以，所以.又因為，所以，所以，故異面直線與所成角的余弦值為.

8.D過作，交于點，易知為等腰直角三角形，所以.

因為，所以，在中，由正弦定理得，

而，

所以，則.

9.ABD，A正確.正確.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第一象限，C錯誤.，D正確.

10.BCD，A錯誤；

，B正確；

，C正確；

因為，所以，即，故D正確.故選BCD.

11.AD由題意可得，則的最小正周期，故A正確.因為，所以，所以，則B錯誤.令，得，則錯誤.因為，所以，則在上有3個零點，則正確.

12.ACD如圖1，若直線與平面沒有公共點，則由平面平面，可得的軌跡為線段，軌跡長為正確.若，則在平面內(nèi)的射影與垂直即可，取的中點，連接，則，則在平面內(nèi)的射影為即可，取的中點，連接，得的軌跡為線段，長度為錯誤.

如圖2，延長交于，過作的延長線的垂線，垂足為，易證為的中點，，所以為二面角的平面角.因為，所以，C正確.由圖可知截面為五邊形EFKCL，D正確.

13.因為，所以，則.

14.7由題意可知方程的另一個根為，則，故.

15.；8由題意得，得，

所以.

16.如圖，連接，因為底面，所以為與底面所成的角，則，所以.又，

在矩形中，，則，所以.因為底面，所以，又，所以平面，所以，所以頂點的曲率為.

17.解：（1），

因為為純虛數(shù)，所以

解得.

（2）因為，所以，

解得，

所以，

故的實部與虛部之和為.

18.解：（1）因為，所以，

則，所以.

又因為，所以.

（2）由余弦定理，得，即，

得，則，

故的周長為.

19.解：（1）由題意可得，則.

因為，且，所以.

由圖可知，則，

解得.

因為，所以.

由圖可知.

故.

（2）由，得，即，

則

解得，

即不等式的解集為.

20.（1）證明：（方法一）

如圖，取的中點，連接.

且，

且且，

四邊形為平行四邊形，

，

平面平面平面.

（方法二）如圖，連接為的中點，

且，

四邊形為平行四邊形，.

平面平面平面.

分別為的中點，，同理可得平面.

平面平面，

平面平面.

（2）解：選①

如圖，連接，過點作的垂線，垂足為，則，

則.

平面.

平面.

由余弦定理得，則的面積為.

平面點到平面的距離等于點到平面的距離.

設(shè)到平面的距離為，則由，

得，

解得，所以點到平面的距離為.

選②

如圖，連接，過點作的垂線，垂足為，則，

則.

為正三角形，.

平面，

的面積為.

為的中點，點到平面的距離等于點到平面的距離的2倍.

設(shè)到平面的距離為，則由，

得，

解得，所以點到平面的距離為.

21.解：（1）因為，所以，

又，所以，

又，解得，

因為，所以.

（2）