第第頁冀教版數(shù)學(xué)九年級上冊25.6相似三角形的應(yīng)用素養(yǎng)提升練（含解析）第二十五章圖形的相似

25.6相似三角形的應(yīng)用

基礎(chǔ)過關(guān)全練

知識點1測量物體的高度

1.(2023河北保定十七中期中)如圖,身高為1.5米的某學(xué)生想測量一棵大樹的高度,她沿著樹影BA由B向A走去,當走到C點時,她的影子頂端正好與樹的影子頂端重合,測得BC=3米,CA=1米,則樹的高度為()

A.3米B.4米C.4.5米D.6米

第1題圖第2題圖

2.【跨學(xué)科·物理】如圖所示的是小孔成像原理的示意圖,已知OA=

30cm,OC=10cm,AB∥CD.若物體AB的高度為15cm,則像CD的高

度是cm.

3.【跨學(xué)科·物理】小穎在地面E處放一面鏡子,當她垂直于地面AC站立于點C處時,剛好能從鏡子中看到教學(xué)樓的頂端B,FE⊥AC,根據(jù)光的反射定律有∠FEB=∠FED,此時EA=20米,CE=2.5米.已知眼睛距離地面的高度DC=1.6米,則教學(xué)樓的高度為米.

4.【新課標例81變式】(2022河北邯鄲永年期中)如圖,直立在B處的標桿AB=2.4m,直立在F處的觀測者從E處看到標桿頂端A、樹頂端C在同一條直線上,點F,B,D也在同一條直線上.已知BD=8m,FB=

2.5m,人的高度EF=1.5m,求樹的高度CD.

知識點2測量距離

5.(2023河北邯鄲永年月考)如圖,某綜合與實踐小組為測量河兩邊A,P兩點間的距離,在點A所在岸邊的平地上取點B,C,D,使A,B,C三點在同一條直線上,且AC⊥AP,CD⊥AC,P,B,D三點在同一條直線上.若測得AB=10m,BC=2m,CD=6m,則A,P兩點間的距離為()

A.60mB.40mC.30mD.20m

6.【教材變式·P91例2】如圖,有一塊三角形余料ABC,BC=120mm,高線AD=90mm,要把它加工成一個矩形零件,使矩形的一邊在BC上,點P、M分別在AB、AC上,若矩形PQNM滿足PM∶PQ=2∶1,求PQ的長.

能力提升全練

7.(2023河北中考,8,★★☆)圖1是裝了液體的高腳杯示意圖(數(shù)據(jù)如圖),用去一部分液體后如圖2所示,此時液面AB=()

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

8.【數(shù)學(xué)文化】(2022廣西北部灣經(jīng)濟區(qū)中考,16,★★☆)古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯曾利用立桿測影的方法,在金字塔影子的頂部直立一根木桿,借助太陽光測金字塔的高度.如圖,木桿EF長2米,它的影長FD是4米,同一時刻測得OA是268米,則金字塔的高度BO是米.

9.(2023吉林中考,13,★☆☆)如圖,為了測量山坡的護坡石壩高,把一根長為4.5m的竹竿AC斜靠在石壩旁,量出竿上AD長為1m時,它離地面的高度DE為0.6m,則壩高CF為m.

10.【一題多解】(2022陜西中考B卷,21,★★☆)小明和小華利用陽光下的影子來測量一建筑物頂部旗桿的高.如圖所示,在某一時刻,他們在陽光下分別測得該建筑物OB的影長OC為16米,OA的影長OD為20米,小明的影長FG為2.4米,其中O、C、D、F、G五點在同一條直線上,A、B、O三點在同一條直線上,且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小明的身高EF為1.8米,求旗桿的高AB.

素養(yǎng)探究全練

11.【模型觀念】如圖,一塊直角三角形木板,直角邊AB的長為1.5米,三角形木板的面積為1.5平方米,工人師傅要用它截取一個面積最大的正方形桌面,請甲、乙兩位同學(xué)設(shè)計加工方案,甲同學(xué)的設(shè)計方案如圖1,乙同學(xué)的設(shè)計方案如圖2,你認為哪位同學(xué)設(shè)計的正方形面積更大請說明理由.

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)全練

1.D如圖,由題意得△ACD∽△ABE,∴,

即,∴BE=6米,即樹的高度為6米.

2.答案5

解析∵AB∥CD,∴△ABO∽△CDO,∴,

又∵AB=15cm,∴CD=5cm.

3.答案12.8

解析根據(jù)題意得∠AEB=∠CED,∠BAE=∠DCE=90°,

∴△AEB∽△CED,∴,即,

∴AB=12.8米,即教學(xué)樓的高度為12.8米.

4.解析過E作EH⊥CD,交CD于H點,交AB于G點,如圖所示:

易知四邊形EFBG與四邊形GBDH均為矩形,

∴EF=GB=HD=1.5m,EG=FB=2.5m,GH=BD=8m,

∴AG=AB-GB=2.4-1.5=0.9(m).

∵AG∥CH,∴△AEG∽△CEH,

∴,∴,∴CH=3.78m,

∴CD=CH+DH=3.78+1.5=5.28(m).

答:樹的高度CD為5.28m.

5.C∵AP⊥AC,CD⊥AC,∴∠A=∠C=90°,

∵∠ABP=∠CBD,∴△APB∽△CDB,∴,

∵AB=10m,BC=2m,CD=6m,∴AP==30(m).

6.解析如圖,設(shè)AD交PM于點K.

∵PM∶PQ=2∶1,

∴設(shè)PM=2kmm,PQ=kmm(k≠0).

∵四邊形PQNM是矩形,∴PM∥BC,

∴△APM∽△ABC,

∵AD⊥BC,BC∥PM,

∴AD⊥PM,

∴,∴,

解得k=36,∴PQ=36mm.

能力提升全練

7.C根據(jù)題圖中數(shù)據(jù)可得高腳杯中初始液體高度為15-7=8cm,用去一部分液體后液體高度為11-7=4cm,易知題圖1中陰影部分代表的三角形與題圖2中陰影部分代表的三角形相似,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比得,∴AB=3cm,故選C.

8.答案134

解析太陽光下相同時刻的物高與影長成比例,

設(shè)金字塔的高度BO為x米,則,解得x=134,

經(jīng)檢驗,x=134是原方程的解,

∴BO=134米.

9.答案2.7

解析由題意知△AED∽△AFC,

∴,即,

∴CF=2.7m,故答案為2.7.

10.解析解法一:∵AD∥EG,∴∠ADO=∠EGF,

∵∠AOD=∠EFG=90°,∴△AOD∽△EFG,

∴,即,解得AO=15,

同理得△BOC∽△AOD,

∴,即,解得BO=12,

∴AB=AO-BO=15-12=3(米).

解法二:如圖,過點C作CM⊥OD于C,交AD于M,

由題意知△EGF∽△MDC,四邊形ABCM是平行四邊形,

∴AB=CM,,即,

∴CM=3,∴AB=CM=3米.

素養(yǎng)探究全練

11.解析甲同學(xué)設(shè)計的正方形面積更大.

理由:∵AB=1.5米,S△ABC=1.5平方米,∴BC=2米.

設(shè)正方形的邊長為x米.

題圖1中,∵DE∥AB,∴△CDE∽△CBA,

∴,∴