統(tǒng)計物理號餅稱

（云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院）

伍林

第六章近獨立粒子的最概然分布

6.1粒子運動狀態(tài)的經(jīng)典描述

粒子是指組成物質(zhì)系統(tǒng)的基本單元。

粒子的運動狀態(tài)是指它的力學(xué)運動狀態(tài)。

如果粒子遵從經(jīng)典力學(xué)的運動規(guī)律，對粒子運動狀態(tài)的描述稱為經(jīng)典描述。

如果粒子遵從量子力學(xué)的運動規(guī)律，對粒子運動狀態(tài)的描述稱為量子描述。

設(shè)粒子的自由度為r,粒子在任-時刻的力學(xué)運動狀態(tài)由粒子的廠個廣義坐標

%,外,…，名和相應(yīng)的廠個廣義動量P”P2,…，Pr在該時刻的數(shù)值確定，粒子能量￡是其廣

義坐標和廣義動量的函數(shù)，即

￡=￡（/必，…，/，…,凡）

更一般表述為E=￡（%,0）（i=1,2…,力

在分析力學(xué)中，一般把以廣義坐標和廣義動量為自變量的能量函數(shù)寫成H（哈密頓）函

數(shù)，即

￡=（i=1,2…,r）

粒子的運動滿足正則運動方程q；=——，A,（i=l,2…/）

池西

當某一初始時刻》0,給定了小,P,的初值％0,00之后，由正則運動方程可確定在任何

相繼時刻/,小,P,的數(shù)值，因而這個力學(xué)系統(tǒng)的運動狀態(tài)就完全確定了。所以一組外,Pi數(shù)

值完全確定了這個系統(tǒng)的個運動狀態(tài)，這就是微觀運動狀態(tài)。

使用粒子的坐標和動量的描述方法叫做微觀描述法,也可以借助幾何表示法討論力學(xué)體

系運動狀態(tài)，用4,42,…,外，…，Pr為直角坐標構(gòu)成一個2r維空間，這個空間稱為

〃空間?！臻g任何一點代表力學(xué)體系一個運動狀態(tài)，這個點稱為代表點。當粒子運動狀

態(tài)隨時間改變時，代表點相應(yīng)地在口空間中移動，描畫出一條軌跡稱為相跡。

（一）自由粒子

自由粒子是不受力的作用而作自由運動的粒子。

自由度：r=3,〃空間維數(shù)：6

廣義坐標：q]=x,q2=y,qy=z

廣義動量：0=px=mx,p2=py=my,p3=pz=mz

動能：￡=+P：+P；）

2m

相跡：以一維自由粒子為例，以X,P,為直角坐標，構(gòu)成二維的〃空間，設(shè)一維容器的長度

為L。粒子的一個運動狀態(tài)（X,P*）可以用〃空間在一定范圍內(nèi)的一點代表。

（-）一維線性諧振子

質(zhì)量為m的粒子在彈性力f=-Ax作用下，將在原點附近作圓頻率為3=J礪的

簡諧振動，稱為線性諧振子。

自由度：r=l,〃空間維數(shù)：2

廣義坐標：q=x

廣義動量：p=px=mx

動能：￡=/+曰/=/+!機］/

相跡：以X和P為直角坐標，可構(gòu)成二維的“空間，振子在任一時刻運動狀態(tài)由〃空間中的

一點表示。如果給定振子的能量￡,對應(yīng)點的軌跡就由如下的橢圓方程決定：

2mslehnco2

橢圓的長軸和短軸分別為a=41ms和b=yjls/mco2,面積為S=IKS/co.

（三）轉(zhuǎn)子

考慮質(zhì)量為m的質(zhì)點A被具有一定長度的輕桿系于原點。時所作的運動。

用球坐標表示，x=rsin6cos*,y=rsin6sin0,z-rcosd

x=rsin6cos°+rsin6sin°J-rsinOsine。

y=rsin6cos°+rcosOsin(pO+rsin9cos(p@

i=>cos。-rsin"

8-g〃z（產(chǎn)+r2O2+r2sin20（p2）

考慮質(zhì)點和原點的距離保持不變，r=0,于是

￡=^tn（r232+r2sin20（p~}

轉(zhuǎn)子是這樣一個物體，它在任何時刻的位置可以由其主軸的空間方位角仇°確定。

自由度：r=2,4空間維數(shù)：4

廣義坐標：％=6（0?萬），42=°（0~2乃）

廣義動量：Pi=P@=mr20,p2=Pe=inr2sin20（p

1919

動能：￡——（p?H----；-p電）

21°sin2^

雙原子分子的力學(xué)模型：

將雙原子分子看作一根細棒的兩端聯(lián)結(jié)著質(zhì)量為叫和m2的兩個質(zhì)點繞其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。

?17172

然后將兩體問題轉(zhuǎn)化為單體問題，即將公式中的機換成約化質(zhì)量〃=—根據(jù)經(jīng)典

機］+m2

力學(xué)，在沒有外力作用的情形下，轉(zhuǎn)子的總角動量而=尸、萬是一個守恒量，其大小和時間

都不隨時間改變。由于r垂直于〃,質(zhì)點的運動是在垂直于行的平面內(nèi)運動。如果選擇z

軸平行于而，質(zhì)點的運動必在孫平面上，這時。=萬/2,々=0,能量簡化為

6.2粒子運動狀態(tài)的量子描述

微觀粒子普遍具有波粒二象性。

20世紀當不少物理學(xué)家為光的波粒二象性感到困惑時，德國物理學(xué)家德布羅意于1924

年提出一個假說，認為一切微觀粒子都具有波粒二象性，并把標志波動性質(zhì)的量口和女通

過一個普適常數(shù)用標志粒子性質(zhì)的￡和p聯(lián)系起來，即德布羅意關(guān)系

￡-tlCt)

p=tik

其中方=〃/2%，力和方都稱為普朗克常數(shù)。

普朗克常數(shù)是物理中的基本常數(shù)，它的量綱是［時間M能量產(chǎn)［長度H動量上［角動量］

這樣一個物理量通常稱為作用量，因而普朗克常數(shù)也稱為基本的作用量子。在什么情況

下使用經(jīng)典描述,什么情況下使用量子描述？如何來判別呢？這個作用量子成為判別采用經(jīng)

典描述或量子描述的判據(jù)。當一個物質(zhì)系統(tǒng)的任何具有作用量綱的物理量具有與普朗克常數(shù)

相比擬的數(shù)值時，這個物質(zhì)系統(tǒng)就是量子系統(tǒng)。反之，如果物質(zhì)系統(tǒng)的每一個具有作用量綱

的物理量用普朗克常數(shù)來量度都非常大時，這個系統(tǒng)就可以用經(jīng)典力學(xué)來研究。

葉企孫小傳

葉企孫，男，漢族，教授。著名物理學(xué)家、教育家。上海人。1918年6月清華學(xué)校畢

業(yè)留美，1923年獲哈佛大學(xué)博士學(xué)位。1925年后歷任清華大學(xué)教授、物理學(xué)系主任、理學(xué)

院院長，西南聯(lián)合大學(xué)教授、理學(xué)院院長，清華大學(xué)校務(wù)委員會主任委員。1952年院系調(diào)

整時調(diào)入北京大學(xué)。他還是中國科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部委員、常委。

他在30年代創(chuàng)建了頗負盛名的清華物理學(xué)系和理學(xué)院，聘請名教授來校，實行”理論與

實驗并重，重質(zhì)而不重量”的辦學(xué)方針，培養(yǎng)出一批高質(zhì)量的人才，對我國科學(xué)事業(yè)發(fā)展和

清華大學(xué)在短期內(nèi)躋身于名大學(xué)之林作出重要貢獻。他在主持清華大學(xué)校務(wù)委員會期間，和

校黨委密切配合，貫徹黨和政府對高等教育有步驟的進行改造的方針和院系調(diào)整的措施。

在長久的沉寂之后，葉企孫的名字又重新被人提起。說他是中國科技基石，一點也不

為過，他是楊振寧、李政道等國際知名學(xué)者的老師；在23位“兩彈一星”功勛獎?wù)芦@得者

中，半數(shù)以上是他的學(xué)生；他創(chuàng)建了清華大學(xué)物理系，并培養(yǎng)出50多位院士；早在讀博士

時.，他就以論文《普朗克(Planck)常數(shù)的測定》而名聲大噪。

葉企孫在哈佛大學(xué)時，在W.杜安(Duane)教授指導(dǎo)下，與H.H.帕爾默(P

a1men)合作，利用X射線連續(xù)譜短波限(人力與電子加速電壓(V)的關(guān)系式

Vc=hc/。測定普朗克常數(shù)(h)的值。他們用電位差計測V,用方解石譜儀測Am,

采取一系列措施提高V和Am的測量精度和準確度，獲得精度很高的V和短波限布拉格反

射角的數(shù)據(jù)，其相對誤差比標準電池電動勢的相對誤差還小。用這些實驗數(shù)據(jù)和國際上當時

采用的電子電量（e）、光速（c）和方解石晶格常數(shù)（d）的數(shù)值得出h=（6556±

0.009）X10I，爾格?秒。這篇論文于1921年4月在美國物理學(xué)會年會上宣讀,

并在美國光學(xué)會月刊及全國科學(xué)院匯刊上發(fā)表。h這一基本常數(shù)的精確測定始終是物理學(xué)家

十分關(guān)注的實驗研究工作，葉企孫對此做出了重要貢獻。1929年，專門研究基本常數(shù)的

伯奇（Birge）用葉企孫等的實驗數(shù)據(jù)和e、c、d的新數(shù)值算出h=（6.559±

0.008）X10々7爾格?秒，并說誤差主要來自e值的誤差。這表明葉企孫等的實驗

數(shù)據(jù)是當時用這種方法測h的最佳數(shù)據(jù)，曾長期在國際上沿用。

然而，這樣一位大師級的人物，卻因受一樁冤案的牽連而在很長一段時間里銷聲匿跡。

抗戰(zhàn)初期，呂正操（國民黨五十三軍一三。師六九一團任團長）率部北上抗日。輔仁大

學(xué)化學(xué)系教師共產(chǎn)黨員張珍為呂正操部尋找抗日知識分子，從事軍隊的技術(shù)后勤工作。他找

到葉企孫的學(xué)生熊大縝。熊很快就奔赴呂正操部，利用專業(yè)知識為部隊制造炸藥、無線電等

軍用器材。當時黨內(nèi)由于革命斗爭的異常復(fù)雜，易受極左思想的影響，對知識分子產(chǎn)生懷疑，

組織了所謂的“鋤奸隊”。熊大縝被“鋤奸隊”當作特務(wù)關(guān)押，未經(jīng)審理就被處死，并定案

為特務(wù)。

由于熊大縝是葉企孫的學(xué)生，從軍后又與葉頗多聯(lián)絡(luò)，文革中，葉企孫便被誣為特務(wù)頭

子。1977年1月葉企孫含冤去世。

1987年，葉企孫得到平反。1992年，海內(nèi)外127位知名學(xué)者聯(lián)名向清華大學(xué)呼吁為葉

企孫建立銅像。1995年，清華大學(xué)舉行了隆重的銅像落成儀式。2001年，葉企孫的傳記《中

國科技的基石》問世。至此，這位中國當代科技的奠基人，終于得到了他應(yīng)有的榮光?！吨?/p>

國科技的基石》作者之一、葉企孫的學(xué)生虞昊回憶說，葉企孫不善言辭，給人一種很嚴厲的

印象，而接觸過他的學(xué)生都對他非常敬愛。虞昊記得剛?cè)雽W(xué)不久，全班30多個學(xué)生就被葉

師請到自己的宿舍小聚，在聚會上葉師逐個和學(xué)生談話，了解學(xué)生的學(xué)業(yè)和家庭狀況。有個

高個子同學(xué)家境不好，衣衫破舊，葉師對他說：“以后有困難就來找我?！焙髞?，“找葉先

生去”成了學(xué)生們遇到困難常說的話。

有一年暑假，王遂昌手頭拮據(jù)沒錢回家，葉師知道后便說：“我給你錢，回家去吧。”

葉老從監(jiān)獄放出后，住在斗室中，從無一句怨言。朋友來看他，想聽他訴說遭遇，他

從書架上取出《宋書?范曄傳》讀了一段范曄在逆境中的自述，以表白自己的心境：“吾狂

釁覆滅，豈復(fù)可言，汝等皆當以罪人棄之，然吾平生行己任懷，應(yīng)猶可■尋。至于能不，意中

所解，汝等或不細知?！睆闹锌梢娙~老的情懷和風(fēng)范。

23位兩彈一星功勛獎?wù)芦@得者中有位是他的學(xué)生，兩位是他的學(xué)生的學(xué)生。121運動負

責(zé)與政府交涉開追悼會；破格提拔華羅庚；邀請朗之萬、狄拉克和玻爾訪華；中國物理學(xué)會

設(shè)立葉企孫物理學(xué)獎（固體物理）。

前排右起依次為葉企孫、張奚若、陳毅、吳啥。后排右起為潘光旦、張子高、周培源

美諜報隊“搶”了數(shù)千德國科學(xué)家

牛寶成

第二次世界大戰(zhàn)后期，盟軍在法國登陸后，美軍以一個傘兵師、兩個裝甲師加上整個第6

集團軍的兵力，組成了一支戰(zhàn)斗力極強的作戰(zhàn)部隊。這支部隊斜插法軍戰(zhàn)線，任務(wù)只有一個，

那就是掩護一支被稱為“阿爾索斯”的諜報隊。這支諜報隊的主要目的是搶奪德國和意大利

的大批科學(xué)家、工程師，并將他們安全地帶回美國，進而確保戰(zhàn)后美國的原子物理學(xué)、核物

理學(xué)、化學(xué)和數(shù)學(xué)等學(xué)科能夠快速發(fā)展。

1939年，美國總統(tǒng)羅斯福接受了愛因斯坦等科學(xué)家的建議，開始了美國研制原子彈的工

作。然而，隨著名為“曼哈頓工程”的研制工作不斷深入，美國人開始越來越擔(dān)心德國------

在核物理學(xué)方面，德國的科學(xué)家哈恩、海森堡等人與愛因斯坦齊名，再加上整個歐洲的工業(yè)

生產(chǎn)能力，德國人完全可以研制出原子彈。為搞清德國核武器研究的進展情況，1943年底,

美國陸軍成立了一個代號“阿爾索斯”的特殊諜報隊，隊員都來自美國陸軍和海軍情報系

統(tǒng)，隊長為帕希上校。此外，“阿爾索斯”還需要?名科學(xué)家，他必須是原子物理學(xué)家，且

沒有參加“曼哈頓工程”，這樣一來，即使被德軍俘虜，他也不會說出美國制造原子彈的秘

密。“阿爾索斯”最后選中了丹麥物理學(xué)家高德斯密特，因為高德斯密特不僅具備上述條件,

而且還能說一口流利的法語和德語，特別是他認識許多德國科學(xué)家，與美國人非常想得到的

德國核物理學(xué)家海森堡相當要好。人員齊備后，美國軍方為“阿爾索斯”制定了三項作戰(zhàn)任

務(wù)：一是抓捕德國核物理學(xué)家；二是奪取德國人手中的鈾金屬及礦石；三是借機破壞德國可

能用于原子彈計劃的一切工業(yè)設(shè)施。

1943年12月，“阿爾索斯”將卡耳佛特少校派到倫敦。他首先查閱了德國近期和過期

的全部物理雜志，并詢問了逃到美國的所有歐洲物理學(xué)家，如愛因斯坦和費米等人，然后開

出一張共有50名可能參與德國核研制工作的科學(xué)家名單。1944年6月，美國第5集團軍攻

陷羅馬，“阿爾索斯”的隊員也隨之集中到那里，他們每個人手中都有這份標明了德國科學(xué)

家簡歷、住址和工作地點的名單。然而，由于盟軍連續(xù)不斷的轟炸，許多德國科學(xué)家不知去

向，所以，盡快查清納粹德國把這些科學(xué)家藏在哪兒以及他們正在干什么，成為“阿爾索斯”

面臨的最大問題。不久，“阿爾索斯”得到一個情報，據(jù)一位瑞士科學(xué)家說，德國最著名的

核物理學(xué)家海森堡博士就住在黑辛根附近，而且在這一地區(qū)還藏有其他德國科學(xué)家。1945

年3月，美軍進入德國本土，“阿爾索斯”進入黑辛根鎮(zhèn)的海德堡附近，占據(jù)了當?shù)氐囊恍?/p>

實驗室，并俘獲了德國在原子能研究方面的主要科學(xué)家哈恩和勞埃。哈恩等人很快被送到海

德堡，然而海森堡還沒有抓到，這是“阿爾索斯”最擔(dān)心的事，因為他們害怕蘇聯(lián)人搶在他

們之前把這些科學(xué)家弄到手。當“阿爾索斯”的隊員來到黑辛根時;海森堡已經(jīng)在兩周前離

開了。5月2日，“阿爾索斯”秘密進入烏爾費爾德鎮(zhèn)，天快要黑的時候，一名隊員發(fā)現(xiàn)了

海森堡的住宅。他們進去一看，海森堡正在屋里。為了保險，“阿爾索斯”隊員命令海森堡

留在家中不要亂跑，以免發(fā)生意外。第二天，諜報隊員帶來了一個步兵營，趕到海森堡的住

宅帶走了這位科學(xué)家。至此，“阿爾索斯”諜報隊成功地將二十幾個德國核物理學(xué)家一一抓

獲。直到此時，美國人才松了一口氣。因為在他們看來，抓到一個海森堡比消滅十個德國師

重要得多。

到第二次世界大戰(zhàn)結(jié)束時，“阿爾索斯”諜報隊通過各種手段，把德國、意大利的幾千

名科學(xué)家、工程師帶到了美國本土。1945年10月，“阿爾索斯”正式解散。那些被“阿爾

索斯”“搶”過來的科學(xué)家對美國原子物理學(xué)、核物理學(xué)、化學(xué)和數(shù)學(xué)等學(xué)科的發(fā)展起到了

不可估量的作用。

測不準關(guān)系

微觀粒子的運動不是軌道運動，這一點我們可以作如下解釋：繼德布羅意之后，1927

年，海森堡在研究粒子和波動的二象性時，得到一個重要的結(jié)果：微觀粒子不可能同時具有

確定的動量和坐標。即用△夕表示粒子坐標的不確定值和Ap表示粒子動量不確定值，在量

子力學(xué)所容許的最精確的描述，bq與2的乘積滿足測不準關(guān)系

AqAp?h

它揭示：量子在客觀上不能同時具有確定的坐標位置及相應(yīng)的動量，因此這生動地說明

微觀粒子的運動不是軌道運動，微觀粒子的運動狀態(tài)不是用坐標和動量來描述的，而是用波

函數(shù)或量子數(shù)來描述的。

值得指出的是，在經(jīng)典力學(xué)的理論中，粒子可以同時具有確定的坐標和動量，這并不是

在實際上我們可以任意的精確度做到這一點，而是說在經(jīng)典的理論中，原則上不允許對這種

精確度有任何限制。特別地在經(jīng)典范圍內(nèi)，波動量很小，以致于探測不到。因此認為物質(zhì)有

確定的坐標和動量，這并不與測不準關(guān)系發(fā)生矛盾。

在量子力學(xué)中，微觀粒子的運動狀態(tài)稱為量子態(tài)。量子態(tài)由一組量子數(shù)來表征。這組量

子數(shù)的數(shù)目等于粒子的自由度數(shù)。

在量子力學(xué)中，微觀粒子的能量是不連續(xù)的，不連續(xù)的能量用能級表示。如果一個能級

的量子態(tài)不止一個，該能級就稱為簡并的。一個能級的量子態(tài)數(shù)稱為該能級的簡并度。如果

一個能級只有一個量子態(tài)，該能級稱為非簡并的。

（一）自旋

一個質(zhì)量為機，電荷為-e的電子的自旋角動量S和自旋磁矩〃之比為

-〃=---e-

Sm

沿z方向加外磁場8,角動量S在z方向有兩個獨立分量為S.=加優(yōu)，其中，"，=土,為

z'2

自旋量子數(shù)，這時自旋磁矩〃和勢能均不連續(xù)，

eh,efi

=-=-土---

4m2m

ehB=土迎

E=-------mcs-

m2m

能級為非簡并。

（~）線性諧振子

圓頻率為8的線性諧振子的能量可能值為

*/1、

8n=n（t）｛nH—）,n=0,1,2,

所有能級等間距，均為力。。能級為非簡并。

（三）轉(zhuǎn)子

M2

轉(zhuǎn)子的能量￡=2一

21

量子理論要求屈2=/（/+1）方2,/=0,1,2,

對于一定的/,角動量在z方向的投影M.只能取分離值：

M.=mh,m=-l,-Z+1-1,/

共2/+1個可能的值。在量子理論中自由度為二的轉(zhuǎn)子的運動狀態(tài)由兩個量子數(shù)/和m表

征。轉(zhuǎn)子的能量

/（/+1）力2

￡,=-----------,1=0,1>2>

121

基態(tài)非簡并，激發(fā)態(tài)簡并，簡并度為2/+1。

（四）自由粒子

一維自由粒子

考慮處于長度為L的一維容器中自由粒子的運動狀態(tài)。

周期性邊界條件要求粒子可能的運動狀態(tài)，其德布羅意波長久滿足

=

L二|〃,nx0,1,2,.

考慮到一維空間中波動可以有兩個傳播方向，由女=2萬//I,波矢量心的可能值為

2萬

k--n,n=0,±1,±2,.

*L

由德布羅意關(guān)系萬=力》，該一維自由粒子動量的可能值為

2/八

Px=FM，nx=0,±1,±2,.

一維自由粒子能量的可能值為

63

=理=生中〃n=0,±1,土2,

"2mmL~x

一維自由粒子的運動狀態(tài)用量子數(shù)〃，表示，能量值決定于%。基態(tài)非簡并，激發(fā)態(tài)為二度

簡并。

三維自由粒子

考慮處于長度為L的三維容器中自由粒子的運動狀態(tài)。

假設(shè)此粒子限制在一個邊長為L的方盒子中運動，仿照一維粒子的情形，該粒子在三

個方向動量的可能值為

2就,.-

pr=-^-nx=0,±1,±2,...

2疳i._

=---,〃、.=0,±1,±2,...

yLyy

2徜,.,-

p一-〃一，n.=0,+1,±2,...

能量的可能值為

￡=4（P：+0：+/）=2萬2力2〃；+〃：+〃；

ml3

在宏觀體積和微觀體積兩種情況下對三維自由粒子量子態(tài)采取不同的描述方法。

(1)在微觀體枳下，粒子的動量值和能量值的分離性很顯著，粒子運動狀態(tài)由三個量子

2^2方2

數(shù)表征。能量值決定于注+〃：+〃"如對于〃"鼠+/=1的能級￡=f

'm

六個量子態(tài)與之對應(yīng)，(0,0,1),(0,0-1),(0,1,0),(0-1,0),(1,0,0),(-1,0,0)

所以該能級為六度簡并，而基態(tài)為非簡并。

(2)在宏觀體積下，粒子的動量值和能量值是準連續(xù)的，這時往往考慮在體積V=d內(nèi)，

在P.1.至！JPN+"Px，P,V到Py+"P,?，Pz到Pz+d/?z的動量范圍內(nèi)的自由粒子的量

子態(tài)數(shù)。

在px至ijpx+dpx的范圍內(nèi)可能Pi的數(shù)目為

dn—d

2徜PxA

在Py到Py+即),的范圍內(nèi)可能P),的數(shù)目為

dn^-dp

,2就

在p,到p°+dp,的范圍內(nèi)可能p,的數(shù)目為

L,

aJn.=----dp.

z2徜z

在體積V=Z7內(nèi)，在Px到p*+dp,.,Py到Rr+dp,,,p：到％+dp：的動量范圍粒子量

子態(tài)數(shù)為

dnxdnydn,=(^-ydpxdpy.dp,=-jdpxdpvdpz

2.7mn

微觀粒子的運動必須遵守測不準關(guān)系，不可能同時具有確定的動量和坐標，所以量子態(tài)

不能用M空間的一點來描述，如果硬要沿用廣義坐標和廣義動量來描述量子態(tài)，那么一個

狀態(tài)必然對應(yīng)于〃空間中的一個體積元，而不是一個點，這個體積元稱為量子相格。自山

度為1的粒子，相格大小為普朗克常數(shù)AqApa//,如果自由度為廠，相格大小為

△%…bqN\…”7Xh'

因此的含義為以空間體積丫3〃/〃3〃工中的量子態(tài)數(shù)。

在動量空間用球坐標P、。、夕描述粒子的動量和體元為

px=psin8cos0

py=psin。sin夕

p_-pcos。

d/i=p2sinOdpdOd(p

Px-Jp.

在體積v內(nèi)，動量大小在p到〃+dp,方向在。到e+d。，夕到e+d°范圍內(nèi)，粒子量

子態(tài)數(shù)為

V2.

dn(p,O,(p)=—sin3dpd3d(p

n

在體積V內(nèi)，動量大小在p到p+即，方向在全空間范圍內(nèi)，粒子量子態(tài)數(shù)為

dn（p）=jy￡Jp~sin6dpd6d（p=p2dp

在體積V內(nèi)，能量大小在￡到￡+1￡,方向在全空間范圍內(nèi)，粒子的量子態(tài)數(shù)可由

￡-p2/2m,p2=2ms,p-yj2ms,dp=Jm/2gde

得到D⑹de=平(2〃z嚴/A八

。（外表示單位能量間隔內(nèi)粒子可能的量子態(tài)數(shù)，稱為態(tài)密度。如果粒子的自旋不為零,

以上量子態(tài)數(shù)公式需乘以2。

6.3系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述

系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)是指系統(tǒng)的力學(xué)運動狀態(tài)。

全同的粒子組成的系統(tǒng)

就是由具有完全相同的屬性（相同的質(zhì)量、自旋、電荷等）的同類粒子所組成的系統(tǒng),

如自由電子組成的自由電子氣體是全同的粒子組成的系統(tǒng)。

近獨立的粒子組成的系統(tǒng)

是指粒子之間的相互作用很弱，相互作用的平均能量遠小于單個粒子的平均能量，因而可以

忽略粒子之間的相互作用。近獨立的粒子組成的系統(tǒng)的能量可以表達為單個粒子的能量之

和，

i=\

理想氣體就是由近獨立的粒子組成的系統(tǒng)。

系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經(jīng)典描述

單個粒子的經(jīng)典運動狀態(tài)，由r個廣義坐標和r個廣義動量來描述，當組成系統(tǒng)的N個

粒子在某一時刻的運動狀態(tài)都確定時，也就確定了整個系統(tǒng)的在該時刻的運動狀態(tài)。因此確

定系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)需要%,%2，…，外?，P”，Pn，…，P”.這2rN個變量來確定。

全同粒子是可以分辨的（因為經(jīng)典粒子的運動是軌道運動，原則上是可以被跟蹤的）。

如果在含有多個全同粒子的系統(tǒng)中，將兩個粒子的運動狀態(tài)加以交換，交換前后，系統(tǒng)的力

學(xué)運動狀態(tài)是不同的。

第，個粒子和第j個粒子狀態(tài)本來為（或國；2,…，成，P；”P；2,…，P。）和

（彘，力，…，琮，叫，P；2,…，P；r）如果將它們加以交換,系統(tǒng)運動狀態(tài)是不同的。如下圖：

交換前交換后

?個粒子在某時刻的力學(xué)運動狀態(tài)可以在U空間中用一個點表示，由N個全同粒子組

成的系統(tǒng)在某時刻的微觀運動狀態(tài)可以在口空間中用N個點表示，那么如果交換兩個代表

點在口空間的位置，相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是不同的。

系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述

全同粒子是不可分辨的，在含有多個全同粒子的系統(tǒng)中，將任何兩個全同粒子加以對換,

不改變整個系統(tǒng)的微觀狀態(tài)，此為微觀粒子的全同性原理。

微觀粒子可分為兩類：

(1)玻色子：即自旋量子數(shù)是整數(shù)的粒子。

如光子自旋量子數(shù)為1、加介子自旋量子數(shù)為0,是玻色子

(2)費米子：即自旋量子數(shù)為半整數(shù)的粒子。

如電子、質(zhì)子、中子等自旋量子數(shù)都是1/2,是費米子

復(fù)合粒子的分類：

凡是由玻色子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子；由偶數(shù)個費米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子，由

奇數(shù)個費米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是費米子。

如，I“原子、2”核、核、'He原子為玻色子

2"原子、3〃核、'He核、原子為費米子

費米子遵從泡利不相容原理，即在含有多個全同近獨立費米子的系統(tǒng)中，占據(jù)一個個體

量子態(tài)的費米子不可能超過一個，而玻色子構(gòu)成的系統(tǒng)不受泡利不相容原理的約束。費米子

和玻色子遵從不同的統(tǒng)計。

微觀粒子還受到空間的限制，因而分為定域的和非定域的，定域系統(tǒng)可用粒子的位置來

分辨粒子，對于非定域系統(tǒng)，必須考慮微觀粒子的全同性原理。

系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述是山系統(tǒng)的波函數(shù)或量子數(shù)來表征。對不同的系統(tǒng)來說,

對一確定的分布，其微觀狀態(tài)是不同的。我們主要研究由定域子、玻色子、費米子所組成的

系統(tǒng)。

玻爾茲曼系統(tǒng)(定域系統(tǒng))

把由可分辨的全同近獨立的粒子組成,且處在同一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的

系統(tǒng)稱作玻爾茲曼系統(tǒng)。

玻色系統(tǒng)

把由不可分辨的全同近獨立的玻色粒子組成，不受泡利不相容原理的約束，即處在同…

個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)稱作玻色系統(tǒng)。

費米系統(tǒng)

把由不可分辨的全同近獨立的費米粒子組成，受泡利不相容原理的約束，即處在同一個

個體量子態(tài)上的粒子數(shù)最多只能為1個粒子的系統(tǒng)稱作費米系統(tǒng)。

由可分辨和不可分辨粒子組成的系統(tǒng)，在確定其微觀狀態(tài)數(shù)時方法有所不同。對于可分

辨的全同粒子，確定由近獨立粒子組成的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)歸結(jié)為確定每一個粒子的個體量子

態(tài)；對于不可分辨的全同粒子，確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)歸結(jié)為確定每一個體量子態(tài)的粒子數(shù)。

下面以一例子來說明。

設(shè)系統(tǒng)由兩個粒子組成，粒子的個體量子態(tài)有3個，如果這兩個粒子是定域子、玻色子、

費米子時，試分別討論系統(tǒng)各有那些可能的微觀狀態(tài)？

定域子屬于玻爾茲曼系統(tǒng)，粒子可以分辨，每個個體量子態(tài)能容納的粒子數(shù)不受限制，

以A、B表示可以分辨的兩個粒子，它們占據(jù)3個個體量子態(tài)可以有以下的方式：

量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài)3

1AB

2AB

3AB

4AB

5BA

6AB

7BA

8AB

9BA

因此，對■于定域系統(tǒng)可有9種不同的微觀狀態(tài)。

玻色子屬于玻色系統(tǒng)，粒子不可分辨，每一個個體量子態(tài)所能容納的粒子數(shù)不受限制,

由于不可分辨，令人=8,兩個粒子占據(jù)3個個體量子態(tài)有以下的方式：

量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài)3

1AA

2AA

3AA

4AA

5AA

6AA

因此，對于玻色系統(tǒng)，可以有6種不同的微觀狀態(tài)。

費米子屬于費米系統(tǒng)，粒子不可分辨，每個個體量子態(tài)最多能容納一個粒子，兩個粒子占

據(jù)3個個體量子態(tài)有以下的方式：

量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài)3

1AA

2AA

3AA

因此，對于費米系統(tǒng)，可以有3個不同的微觀狀態(tài)。

經(jīng)典統(tǒng)計物理學(xué)

在經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計物理學(xué)稱為經(jīng)典統(tǒng)計物理學(xué)。

量子經(jīng)典統(tǒng)計物理學(xué)

在量子力學(xué)基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計物理學(xué)稱為經(jīng)典統(tǒng)計物理學(xué)。

兩者在原理上相同，區(qū)別在于微觀狀態(tài)的描述。

6.4等概率原理

宏觀狀態(tài)和微觀狀態(tài)的區(qū)別

宏觀狀態(tài)：平衡狀態(tài)下由一組參量表示，如N、E、Vo

微觀狀態(tài)：由廣義坐標和廣義動量或一組量子數(shù)表示。

為了研究系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)，沒必要也不可能追隨微觀狀態(tài)的復(fù)雜變化，只要知道各個微

觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率，就可以用統(tǒng)計方法求微觀量的統(tǒng)計平均值。因此，確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)

的概率是統(tǒng)計物理的根本問題。

等幾率原理：

對于處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。既然這

些微觀狀態(tài)都同樣滿足具有確定N、E.V的宏觀條件，沒有理由認為哪一個狀態(tài)出現(xiàn)的概

率更大一些。這些微觀狀態(tài)應(yīng)當是平權(quán)的。

等幾率原理是統(tǒng)計物理學(xué)中的一個合理的基本假設(shè)。該原理不能從更基本的原理推出，

也不能直接從實驗上驗證。它的正確性在于從它推出的各種結(jié)論與客觀實際相符而得到肯

定。

6.5分布和微觀狀態(tài)

設(shè)一個系統(tǒng)由大量全同的近獨立的粒子組成，具有確定的粒子數(shù)N、能量E和體積匕

約束條件為：

E、N>V=Const?

N個粒子的在各能級的分布可以描述如下：

能級<?,,￡2,￡,...

簡并度g,CD2,0)!...

粒子數(shù)a｝,a2,a,...

即，能級與上有q個量子態(tài)，為個粒子，以符號｛四｝表示數(shù)列q,a2,a,...,稱

為一個分布。顯然，對于具有確定的N,E,V的系統(tǒng)，分布必須滿足

￡%=N，>向=E

II

給定了一個分布，只能確定處在每一個能級句上的粒子數(shù)為,能級的簡并度為回，它與微

觀狀態(tài)是兩個性質(zhì)不同的概念。微觀狀態(tài)是粒子的運動狀態(tài)，即量子態(tài)。

分布只表示每一個能級上有幾個粒子，如的=1,恁=4,…4=6,表示在第一個能級上

有1個粒子，在第2個能級上有4個粒子，在第3個能級上有6個粒子。如ai=O,a2=2,...

的=9,表示在第一個能級上有0個粒子，在第2個能級上有2個粒子，在第3個能級上有9

個粒子。

而微觀狀態(tài)是粒子運動狀態(tài)或稱為量子態(tài)。它反映的是粒子運動特征。例如：在某一能

級上，假設(shè)有3個粒子，這三個粒子是如何占據(jù)該能級的量子態(tài)，也就是它的微觀狀態(tài)。

就一個確定的分布而言，與它相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)是確定的。不同的分布，有不同的微觀

狀態(tài)數(shù)。如上邊提到的分布｛1,4,6｝和｛0,2,9｝,它們分別有不同的微觀狀態(tài)數(shù)。

對于非定域系，確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定處在每一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)。因此

在分布給定后，為了確定非定域系的微觀狀態(tài)，還必須對每一個能級J確定為個粒子占據(jù)

其外個量子態(tài)的方式。對于定域系，確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定每一個粒子的個體量子

態(tài)。因此在分布給定后，為了確定定域系的微觀狀態(tài)，還必須確定處在每一能級馬上的是

哪4個粒子，以及在每一能級上為個粒子占據(jù)其助個量子態(tài)的方式。每一種不同的占據(jù)

方式都反映不同的運動狀態(tài)。

下面我們將分別討論玻耳茲曼系統(tǒng)（定域系統(tǒng)）、玻色系統(tǒng)、費米系統(tǒng)與一個分布相對應(yīng)

的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)。

三種統(tǒng)計的微觀狀態(tài)數(shù)

同一個分布對于玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費米系統(tǒng)給出的微觀狀態(tài)數(shù)顯然是不同的，

下面分別加以討論：

1玻耳茲曼系統(tǒng)（定域系統(tǒng)）：粒子可以分辨，若對粒子加以編號，則為粒子占據(jù)能級￡,上的

例個量子態(tài)時，是彼此獨立、互不關(guān)聯(lián)的。分布相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為:

,,M___

嫦=>n嫁'nMf!球na'"

I

?！狥T

MB"為"/，

I

2玻色系統(tǒng)：粒子不可分辨，每個個體量子態(tài)能容納的粒子個數(shù)不受限制。首先為個粒子占

據(jù)能級句上的q個量子態(tài)有（例+為-1）!/4!（助-1）!種可能方式。將各種能級的結(jié)果相

乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：

口。。O□OQOOOQOOOO

,八/八，(<w+a,—1)!Tr(<y；+a—1)!

Q+…nQ+-1)!nz二0—"(…t

=n（—!

￡a!（助-1）!

3費米系統(tǒng)：粒子不可分辨，每一個個體量子態(tài)最多只能容納一個粒子。為個粒子占據(jù)能級

句上的例個量子態(tài)，相當于從例個量子態(tài)中挑出4個來為粒子所占據(jù)，有

g!/q!（q-4）!種可能的方式。將各能級的結(jié)果相乘，就得到費米系統(tǒng)與分布相應(yīng)的微觀

狀態(tài)數(shù)為：

用!/4!（例_%）!=口助，~-

/—可）!

=]~[___如___

FDtz!（6>,-a,）!

如果在玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)中，任一能級J上的粒子數(shù)均遠小于該能級的量子態(tài)數(shù)，即

±<<1（對所有能級）

g

稱為經(jīng)典極限條件，也稱非簡并性條件。經(jīng)典極限條件表示，在所有的能級，粒子數(shù)都遠小

于量子態(tài)數(shù)。

此時有：

Q_口⑷+-_J-T（①/+%1）（例+6-2）…例媛'_QMB

a!（（y,-1）!；a!J菽一N!

Q=口例！=rjq⑷-1）…?一5+1）hp-r=Q..&

FD'IJalQ-aJ!a!a\N!

在玻色和費米系統(tǒng)中，。,個粒子占據(jù)能級J上的助個量子態(tài)時本來是存在關(guān)聯(lián)的，但在滿

足經(jīng)典極限條件的情形下，由于每個量子態(tài)上的粒子數(shù)遠小于1,粒子間的關(guān)聯(lián)可以忽略。

這時Q&a=。尸八=2#，全同性的影響只表現(xiàn)在因子1/N!上。

經(jīng)典統(tǒng)計中的分布和微觀狀態(tài)數(shù)

對于經(jīng)典系統(tǒng)，由于對坐標和動量的測量總存在一定的誤差，假設(shè)AgApu%,這時經(jīng)

典系統(tǒng)的一個運動狀態(tài)不能用一個點表示，而必須用一個體積元表示，該體積元的大小

的?…的「詼?…而，=%

表示經(jīng)典系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)在H空間所占的體積，稱為經(jīng)典相格。這里/由測量精度決

定，最小值為普朗克常量。

現(xiàn)將〃空間劃分為許多體積元,以句表示運動狀態(tài)處在△助內(nèi)的粒子所具有的能

量，內(nèi)粒子的運動狀態(tài)數(shù)為這樣，N個粒子處在各Aq的分布｛%｝可表示

為

體積元△外，△七，???

能級81、????%，

△四△口2Aa)[

簡并度

穌

粒子數(shù)%,

由于經(jīng)典粒子可以分辨，處在一個相格內(nèi)的粒子個數(shù)不受限制，所以經(jīng)典系統(tǒng)遵從玻耳

茲曼系統(tǒng)的統(tǒng)計規(guī)律，所以與分布｛用｝相應(yīng)的經(jīng)典系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：

2!&叱

I

6.6玻耳茲曼分布

在上一講中，我們得到了與一個分布相對應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)。而且舉例說明了對于

一個孤立系統(tǒng)的約束條件不變的條件下，即E、N、V=Consto對于不同的分布系統(tǒng)的微觀

狀態(tài)數(shù)是不同的?？赡艽嬖谶@樣一個分布，它使系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)最多。

根據(jù)等幾率原理，對處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，每一個可能的微觀狀態(tài)數(shù)的幾率是相等的。

因此，微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的幾率最大，稱為最可兒分布（最概然分布）。

下面推導(dǎo)玻耳茲曼系統(tǒng)（定域系統(tǒng)）粒子的最概然分布——玻耳茲曼分布。

斯太林公式：lnm!=w（lnm-1）

三種分布的推導(dǎo)

玻耳茲曼分布

A7I一

對兩邊取媚取對數(shù)得：

11%!/

/

InQ=InInq!+￡為Incol

ii

N>>1,若假設(shè)源,3沁>1可得到：

In。=N(lnN-l)-^6zz(lnal-1)+^。/也乃

ii

=N[nN-^at\nat+^atinco,

ii

兩邊關(guān)于。/求變分，5InQ=-，Ina16al13al+￡西

=->n（蟲）血

/g

但這些為不完全是獨立的，必須滿足約束條件：

和向

N=￡%E=￡1a

ii

助則必須滿足：m=￡物=0和切=Z助與=。

//

為求在此約束條件下的最大值，使用拉格朗日乘數(shù)法，取未定因子為。和￡分別乘以上

面兩式，有aSN=，aS/=0和（36E=f[38a國=0,令bln￡l=0,從中減去后兩式

Ii

bln豆—aSN—優(yōu)E=W[In（幺）+a+班/叢/=0

則有：ln（—）+a+=0,

p8l

助

即，4=32-。-網(wǎng)

上式給出了玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布，稱為玻耳茲曼分布。a和￡分別山下面條件決

定

N=工3「網(wǎng)

I

E=工7①①”網(wǎng)

I

由玻耳茲曼分布a,=0,e-a-囪，每個量子態(tài)上的平均粒子數(shù)為土=e-a-網(wǎng)，這時下標改

例

為，，表征量子態(tài)的量子數(shù)。玻耳茲曼分布也可表示為處在能量為凡的量子態(tài)S上的平均粒

子數(shù)

￡=e-m

a和￡分別由下面條件決定

N=Zv

S

E=?L

s

說明

（1）InO取極大值的條件不僅要求blnQ=0,同時要求621no<0。

證明：對blnQ=-工山（幺）皿關(guān)于為再求變分，有

尸InQ=-迂皿當血=<o

(2)一個處在宏觀平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)可能給出的微觀狀態(tài)數(shù)為各種分布對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)

的總和，其中最概然分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)比其他分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)大得多，因此可以

用最概然分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)來近似系統(tǒng)總的微觀狀態(tài)數(shù)。

現(xiàn)將玻耳茲曼分布的微觀狀態(tài)數(shù)。與對玻耳茲曼分布有偏離△為3=1,2…)的一個

分布的微觀狀態(tài)數(shù)。+AO加以比較。對。+AO作泰勒展開，

1,

ln(Q+AQ)=lnQ+JlnQ+—J-lnQ+---

Q+AQ_1y(Ao,)2

n-Q--~2Ya,

假設(shè)對玻耳茲曼分布的相對偏離必?IO",則

。+A。1十A%211n-10Ki

In-------=——>(一L)%=——xlON

Q21al2

Q+AQ5

對于N=1023的宏觀系統(tǒng)，we-10'o這個估計說明，即使對最概然分布僅有極小

Q

偏離的分布，它的微觀狀態(tài)數(shù)與最概然分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)相比也接近于零。

(3)斯太林公式lnm!=機(In機-1)要求為〉>1,實際情況往往不滿足。

(4)以上理論可以推廣到含有多個組元的情形。

經(jīng)典統(tǒng)計中玻耳茲曼分布的表達式

a一網(wǎng)

L/

a和￡分別由下面條件決定

N=\也e-*網(wǎng)

-a-%

6.7玻色分布和費米分布

上節(jié)已經(jīng)求出了玻耳茲曼系統(tǒng)的最概然分布,本節(jié)將推導(dǎo)玻色系統(tǒng)利費米系統(tǒng)中粒子的

最概然分