數(shù)學物理方程主講：吳建成Ch1緒論§1基本概念一、基本概念與定義偏微分方程：指含有未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些偏導數(shù)的等式(描述自變量、未知函數(shù)及其偏導數(shù)之間的關系)；PDF的階：出現(xiàn)在PDF中的最高階偏導數(shù)的階數(shù)；一般形式為。注：F可以不顯含自變量和未知函數(shù)，但必須含有未知函數(shù)的某個偏導數(shù)。微分方程的分類：1、如果方程關于未知函數(shù)及其各階偏導數(shù)是線性

的，則稱此方程為線性方程，反之稱為非線性方程；2、如非線性方程對未知函數(shù)的所有最高階偏導數(shù)總體來說是線性的，則稱它為擬線性方程；3、如非線性方程中方程對未知函數(shù)的最高階偏導

數(shù)不是線性的，則稱它為完全非線性方程；4、對線性偏微分方程而言，將方程中不含未知函數(shù)及其偏導數(shù)的項稱為自由項。當自由項為零時，該方程稱為齊次方程，否則稱為非齊次方程。例1判斷下列方程類型：

一階線性一階擬線性三階擬線性一階非線性二階擬線性微分方程的解：

形式解：未經(jīng)過驗證的解為形式解。特解：通過定解條件確定了解中的任意常數(shù)后得到的解。通解：解中含有相互獨立的和偏微分方程階數(shù)相同的任意常數(shù)的解。古典解：如果將某個函數(shù)u

代入偏微分方程中，能使方程成為恒等式，則這個函數(shù)就是該偏微分方程的解。例2驗證是方程的解，其中f,g是任意兩個二階連續(xù)可微函數(shù)，a為正常數(shù)。解：故移項即證?！?三類典型方程的導出一、弦振動方程十八世紀達朗貝爾(D’Alembert)等人首先討論了如下的彈性弦的振動問題。

設有一根均勻柔軟的細弦，平衡時沿直線拉緊，而后以某種方法激發(fā)，使弦在鉛直平面內(nèi)作微小振動。求弦上各點的運動規(guī)律。將實際問題歸結為數(shù)學模型時，必須作一些理想化的假設，以便抓住問題最本質(zhì)的特征。在考察弦振動問題時的基本假設為:1.均勻細弦理解為弦的直徑與弦的長度相比可以忽略，以至可以將弦視為一條曲線，它的線密度ρ為常數(shù)。2.弦在一平面內(nèi)作微小橫振動，即弦的位置始終在一平面內(nèi)的一條直線段附近，且弦振動的幅度及弦在任意位置處的切線的傾角都很小。3.柔軟的弦可以假設為弦在形變時不抵抗彎曲，弦上各質(zhì)點間的張力方向與弦的切線方向一致，而弦的伸長形變與張力的關系服從胡克(Hooke)定律.

我們?nèi)∠业钠胶馕恢脼閤軸，建立如圖所示的坐標系。設u(x,t)是坐標為x的弦上一點在t時刻的(橫向)位移，在弦上任取一小段[x,x+△x]，這一段的弧長為：由假設2可知，很小，于是與1相比可以忽略不計，從而弧段NM在x軸方向的受力的總和為。由于弦只作橫向振動，因此

。由于弦作微小振動，根據(jù)假設2知都很小，從而因此可以近似地得到。弧段NM在u軸方向的受力總和為注意到

都很小，因此且弧段NM在u方向時刻t的運動加速度為，小弧段的質(zhì)量為，所以即也就是當

時取極限，得即一般說來，張力較大時弦振動速度變化較快，即

要比

g大得多，所以又可以把g略去。經(jīng)過這樣逐步略去一些次要的量，抓住主要的量。最后得到u(x,t)應近似地滿足的方程這里

。

(1)式稱為一維波動方程

如果弦還在橫向(位移

u的方向)受到外力的作用。設在時刻

t弦上

x點處的外力密度為

F(x,t)。仿照前面的推導，有這里

。

方程(2)與(1)的差別在于(2)的右端多了一個與未知函數(shù)u(x,t)無關的項，這個項稱為自由項。我們把含有自由項的方程稱為非齊次方程。自由項恒等于0的方程稱為齊次方程。(1)為齊次一維波動方程，(2)為非齊次一維波動方程。類似地，可以推出均勻薄膜的橫振動滿足二維波動方程其中是薄膜在時刻t和處的位移；,T為張力，為薄膜的面密度；表示t時刻、單位質(zhì)量膜在處所受垂直為Oxy平面上的有界區(qū)域。方向的外力；根據(jù)電磁場理論中的麥克斯韋方程，可以推出電場E和磁場H滿足的三維波動方程其中c是光速。二、熱傳導方程當一個物體內(nèi)部各點的溫度分布不均勻時，熱量會從溫度高的地方向溫度低的地方流動，這種現(xiàn)象稱為熱傳導。由于熱傳導過程總是表現(xiàn)為溫度隨時間和未知的變量而變化，所以解決熱傳導問題，歸結為求物體內(nèi)溫度的分布問題。

在物體Ω中任取一小區(qū)域為V，它的外表曲面為，如圖所示。熱場假設區(qū)域V內(nèi)點M(x,y,z)處在時刻t的溫度為u(x,y,z,t),n為曲面元素dS的單位外法向量。由熱傳導學中的Fourier實驗定律知：物體在無窮小時間dt內(nèi)流過一個無窮小面積元dS的熱量dQ與時間dt，熱流通過的面積dS及u沿dS的法向的方向導數(shù)成正比，即

其中k=k(x,y,z)稱為物體在點M(x,y,z)處的熱傳導系數(shù)，取正值。上式的負號表示熱流流向是溫度梯度的相反方向。當物體均勻且各向同性時，可令熱傳導系數(shù)k,物體的密度ρ，比熱c都為常數(shù)。利用上面的關系，在時間段內(nèi)，通過曲面流入?yún)^(qū)域V的全部熱量為：根據(jù)散度定理得，如果物體內(nèi)有熱源，設在單位時間內(nèi)單位體積所產(chǎn)生的熱量為F(x,y,z,t),則在內(nèi)熱源放出的熱量為：流入的熱量和物理內(nèi)部熱源產(chǎn)生的熱量使V內(nèi)溫度發(fā)生變化。區(qū)域V在時間間隔內(nèi)各點溫度從變化到。于是在內(nèi)V內(nèi)溫度升高所需的熱量為：由能量守恒定律，有，即由于時間間隔及區(qū)域V都是任意的，并且被積函數(shù)都是連續(xù)的，因此令，得稱（6）為三維熱傳導方程。如果物體內(nèi)部沒有熱源，即

f≡0,則得齊次熱傳導方程注1：在前面所討論的熱傳導問題中，作為特例，如果所考慮的物體是一根細桿或一塊薄板，或者即使不是細桿或薄板，而其中的溫度u只與x和t，或只與x,y和t有關，則方程（7）就變成一維熱傳導方程或二維熱傳導方程注2：雖然我們習慣上稱式（7）為熱傳導方程，但在生產(chǎn)實際中還有很多現(xiàn)象都可以用這種方程來描述。例如在電學中，海底電纜的電壓e也滿足方程其中k=RC，R為電阻，C為電容。又如導電線圈在所圍柱體內(nèi)的磁場H滿足方程其中，c為光速，μ為磁導率，σ為電容率。在研究物質(zhì)在液體中的擴散現(xiàn)象時，擴散物質(zhì)的濃度N(單位體積中擴散物質(zhì)的含量)也滿足方程

其中D是擴散系數(shù)，所以也稱熱傳導方程為擴散方程。

三、Laplace方程

在上面研究的溫度分布問題中，如果經(jīng)過相當長的時間后，區(qū)域內(nèi)各點的溫度隨時間的改變所發(fā)生的變化已不顯著，在數(shù)學上可近似看作，這時我們說溫度分布趨于定常，則此時熱傳導方程變?yōu)樯鲜椒Q為三維Laplace方程。若記Hamilton算子為

波動方程，熱傳導方程和Laplace方程是我們今后著重研究的三類方程，許多物理現(xiàn)象可歸結為這三類典型的方程。稱為Laplace算符，則上式變?yōu)橛浄Q方程為三維泊松方程。在電學中，該方程為電位滿足的方程，其中，為電荷密度?！?定解條件與定解問題

其中為已知函數(shù)。我們稱（1）為應滿足的初始條件。一、弦振動問題的定解條件1、初始條件方程（1）或（2）描述了弦振動的一般規(guī)律，但是弦振動的具體情況還與弦兩端的約束情況以及弦上各點在初始時刻的位移和速度有關，即還需附加邊界條件和初始條件。設弦在開始時刻位于點x的位移為，初速度為。即一般地，一個方程如果其關于時間的導數(shù)的最高階導數(shù)為n，則對應的初始條件需要給出未知函數(shù)關于時間直到n-1階導數(shù)的所有初始時刻的值。2、邊界條件

（1）為了確定弦的運動還需給出邊界條件。最簡單的邊界條件為已知端點的位移規(guī)律，即其中為兩個已知函數(shù)。這種邊界條件被稱為狄利克雷(Dirichlet)邊界條件（也稱為第一類邊值條件）。

特別地，如果在整個振動過程中弦的兩端保持固定，即都恒為0時，稱為第一類齊次邊值條件。也就是

（2）在前面所討論的弦振動問題中，若弦的一段（例如x=0）在u軸方向上自由滑動，且不受垂直方向的外力。這種邊界稱為自由邊界。由于在x=0處的張力的分量為

，于是

若邊界張力沿u方向的分量是關于時間t的一個已知函數(shù)w(t)，則相應的邊界條件為

這種類型的邊界條件稱為諾伊曼（Neumann）邊界條件，也稱為第二類邊界條件。

（3）若弦的一端束縛在與Ox軸垂直的彈簧上，彈簧的彈性系數(shù)為k。

u在x=l的值表示該彈性支承在該點的伸長。弦在支承拉力的垂直方向的分為。由Hooke定律，有因此在彈性支承的情況下，邊界條件歸結為其中為已知函數(shù)。在數(shù)學中還可以考慮更普遍的邊界條件

其中h(t)為已知函數(shù)。(6)(7)稱為第三類邊界條件，也稱洛平(Robin)邊界條件。邊界條件和初始條件統(tǒng)稱為定解條件，其中(2)(5)(7)稱為非齊次邊界條件，(3)(4)(6)稱為齊次邊界條件。一個偏微分方程及其附加的定解條件構成一個定解問題。在以后的討論中，我們把定解問題中的方程有時也稱為泛定方程。二、熱傳導方程的定解條件顯然與弦振動問題類似，單靠一個微分方程還不足以完全確定一個特定的物理過程。我們知道，對于一個物體，在一個確定的傳熱過程中，它的溫度分布依賴于開始時刻的溫度和物體表面上的溫度，因此還須對方程附加相應的初值條件和邊值條件。

初始條件下可以寫成：

其中為已知函數(shù)，它描述物體在t=0時刻的溫度分布。關于邊界條件，從物理現(xiàn)象發(fā)生的過程來看有三種情況：情形1：若物體的表面的溫度分布已知，這時可歸結為第一類邊界條件：其中是給定在上的已知函數(shù)。

情形2：若已知物體

表面上每一點的熱流密度q，也就是通過邊界曲面

上的單位面積單位時間內(nèi)的熱量已知，這實際上表示溫度

u沿邊界曲面

的法向導數(shù)是已知的，這時可以歸結為第二類邊界條件：其中

是給定在

上的已知函數(shù)。特別，如物體

的邊界是絕熱的，即物體與周圍介質(zhì)無熱交換，于是

，這時歸結為第二類齊次邊界條件：情形3：若已知通過

與周圍介質(zhì)發(fā)生熱量交換。不妨設周圍介質(zhì)在物體表面的溫度為

，則物體

和外部介質(zhì)的溫度差為：此時會產(chǎn)生熱量流動。根據(jù)牛頓熱交換定律：在無窮小時段內(nèi)，經(jīng)過物體表面的無窮小面積dS的流出（入）到周圍介質(zhì)中的熱量和物體與介質(zhì)在接觸面上的溫度差成正比。即這里

為熱交換系數(shù)。由傅里葉定律，應有。根據(jù)熱量守恒定律，得即其中。對于拉普拉斯方程和泊松方程，因為是描述穩(wěn)恒狀態(tài)的，與時間無關，所以不提初始條件，只提邊界條件，其邊界條件與前面兩類方程類似。三、Laplace方程的定解條件四、定解問題

把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應的定解條件結合在一起，就構成了一個定解問題。初始問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；(2)邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；

(3)混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。例：無限長弦振動的定解問題熱傳導方程的定解問題拉普拉斯方程和泊松方程定解問題只提邊值問題§4定解問題的適定性

任何一個定解問題，特別是從一些物理過程引起的定解問題，應該具有一定的現(xiàn)實性、確定性以及逼近性。所謂現(xiàn)實性，指這個問題有解存在；所謂確定性，指這個問題不至于有無窮多解，通常只要求唯一的解；所謂可逼近性，指這個問題可借助于較可行的方法近似的求解，因為附加條件的數(shù)據(jù)一般只能近似的給出。從數(shù)學上看，判斷一個定解問題是否合理，既是否能夠描述給定的物理狀態(tài)，一般來說有以下三個標準：(1)解的存在性(existence)：所給定的定解問題至少存

在一個解；(2)解的唯一性(uniqueness)：所給定的定解問題至

多存在一個解；

定解問題的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問題的適定性。一個定解問題若存在唯一、穩(wěn)定的解，則稱該問題是適定的；否則是不適定的。(3)解的穩(wěn)定性(stability)：當給定條件以及方程中的系數(shù)有微小變動時，相應的解也只有微小的變動。解的穩(wěn)定性也稱為解關于參數(shù)的連續(xù)依賴性。Hadamard例(1930年代)這個初始問題有解此定解問題是適定的不適定問題的求解是目前一個研究課題，有很重要的應用?！?線性疊加原理

物理上，幾種不同的原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨產(chǎn)生的效果的累加。例如幾個外力作用在一個物體上所產(chǎn)生的加速度可以用單個外力各自單獨作用在