穩(wěn)態(tài)對(duì)流擴(kuò)散方程參數(shù)反演的變分有限元法

1總結(jié)2學(xué)習(xí)方法2.1正則化法的求解考慮靜態(tài)對(duì)稱(chēng)擴(kuò)展方程。其中:uf057是平面上的有界區(qū)域a(x,y)、b(x,y)和c(x,y)都是uf057上足夠光滑的函數(shù),且a(x,y)uf0b3a當(dāng)所給的數(shù)據(jù)有微小變化時(shí),將導(dǎo)致求得的解出現(xiàn)不可接受的誤差,這就是所謂的不適定性問(wèn)題。對(duì)于這種不適定問(wèn)題,可以采用正則化方法的最小值,其中uf067為正則參數(shù),R(a)為正則項(xiàng)。R(a)有以下三種形式:本文采用第一種形式正則化,即取則目標(biāo)函數(shù)為結(jié)合已知數(shù)據(jù)u(x,y)的測(cè)量值u引入Sobolev空間H對(duì)式(1)中第一個(gè)等式兩邊同乘v(x,y)后在uf057上進(jìn)行積分,并應(yīng)用Green公式,則有上式寫(xiě)成內(nèi)積形式為此時(shí)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為在滿足式(5)的條件下,尋求a(x,y)的值使式(4)達(dá)到最小。此問(wèn)題為一條件極值問(wèn)題,根據(jù)拉格朗日乘子法,可寫(xiě)出拉格朗日函數(shù)為其中:p為引入的拉格朗日因子,且滿足puf0ceH下面求L(a,p,u)關(guān)于變量(a,u,p)在方向(7)a即用同樣的方法可得:根據(jù)極值的必要條件可得:在應(yīng)用最速下降法求解參數(shù)反問(wèn)題時(shí),需要計(jì)算J(a)的梯度。根據(jù)拉格朗日理論此時(shí)梯度的求解步驟為:先給定初值a,通過(guò)(9)式求出u,再通過(guò)(10)式求出p,代入(12)式便可求出J(a)的梯度g。2.2“基本元”的“三角單元”上述所給出的函數(shù)都為連續(xù)的,用適當(dāng)?shù)木W(wǎng)格將求解區(qū)域uf057劃分,形成有限個(gè)不重疊的“基本元”。一般采用如圖1所示的三角單元。構(gòu)造有限維子空間則對(duì)于任意的uf0b5p、(3)u和uf0b5g,可使它們滿足:這樣便得到了求解的離散形式,并可通過(guò)有限元方法對(duì)上式進(jìn)行求解。為了計(jì)算方便,不防取u(x,y)的測(cè)量值u其中u2.3最速下降法計(jì)算給定a其中uf06c(1)Armijo型線性搜索求步長(zhǎng)uf06c比uf066(0)(28)J(a利用函數(shù)uf066(uf06c由于D容易證明:不等式(16)對(duì)充分小的正數(shù)uf06c第1步,若uf06c第2步,給定常數(shù)uf062(28)10第3步,若uf06c第4步,令uf06c(2)最速下降法計(jì)算:第1步,給定初點(diǎn)a第2步,計(jì)算搜索方向D第3步,若D3算法的穩(wěn)定性分析本節(jié)給出兩個(gè)具體數(shù)值算例。給定a(x,y)的真值為取uf067(28)10給定a(x,y)的真值為取uf067(28)10從上述數(shù)值算例可以看出,隨著uf064的變小,數(shù)值解與精確解的誤差不斷的縮小,并且其目標(biāo)函數(shù)值也相應(yīng)減少,但uf064的變化對(duì)數(shù)值求解的計(jì)算量影響不大,表明此算法具有較好的穩(wěn)定性,其精度也令人滿意。4模型有效性檢驗(yàn)本文研究了二維的穩(wěn)態(tài)對(duì)流擴(kuò)散方程中參數(shù)反演問(wèn)題。主要是利用變分有限元法并在反演的過(guò)程中引入了Tikhonov正則項(xiàng),避免了反演的不適定性(即解不連續(xù)依賴(lài)于輸入數(shù)據(jù))問(wèn)題。數(shù)值模擬結(jié)果表明,該方法具有較高的精度、較好的穩(wěn)定性和抗噪性。所提出的方法,對(duì)