非線性結構周期解共振峰值的優(yōu)化方法

非線性模態(tài)性質的求解方法工程中非線性結構的循環(huán)解算方法大致可分為兩類：時間間隔方法（如射擊法）和頻率范圍方法（如波形平衡法及其變體）。除了周期解的求解方法研究外,周期解的穩(wěn)定性分析是很重要的當非線性結構某個參數連續(xù)變化時,連續(xù)延拓方法通常用于跟蹤周期解。最近,文獻[4]采用打靶法和偽弧長連續(xù)方法研究非線性系統(tǒng)的非線性模態(tài)性質。在漸近方法(AsymptoticNumericalMeth-od)框架內,文獻[5]提出了一種結合諧波平衡法和HILL法的連續(xù)方法。在文獻[6]中,諧波平衡法和偽弧長方法被用于分析幾何非線性葉盤結構的自由和強迫振動特性。研究確定非線性結構共振峰值的方法是很有必要的。例如,Petrov應用諧波平衡法計算包括摩擦阻尼影響的失諧葉盤結構最壞振動情形為了克服重復求根計算和處理參數不確定問題,本文提出了一種非線性結構共振峰值求解方法。下面首先介紹確定非線性結構共振峰值的新方法,然后通過典型Duffing振子算例驗證本文方法并通過幾何非線性葉盤結構數值算例演示本文方法的優(yōu)點,最后給出相關結論。1非線性系統(tǒng)周期說本節(jié)提出了確定非線性結構共振極值的方法,將確定非線性結構共振峰值問題轉換為非線性約束優(yōu)化問題,首次采用非線性代數方程組等式約束和穩(wěn)定性不等式約束計算非線性系統(tǒng)的周期解。下面首先研究基于時域打靶法的非線性等式約束,其次分析基于狀態(tài)轉移矩陣穩(wěn)定性分析方法的非線性不等式約束條件,然后綜合非線性等式約束和不等式約束限制條件,給出基于時域打靶法和狀態(tài)轉移矩陣穩(wěn)定性分析方法的共振峰值求解方法,最后采用OQNLP多重啟全局優(yōu)化算法求解該非線性約束優(yōu)化問題。1.1剛度運動方程采用打靶法求解非線性系統(tǒng)的周期解,考慮具有n個自由度機械系統(tǒng)的運動方程式中M,C和K分別表示質量、阻尼和剛度矩陣;引入狀態(tài)向量打靶法的實質是求解邊界值問題,該邊界值問題通過如下打靶函數定義式中打靶法的關鍵是尋找滿足式(3)所示打靶函數的初始條件z1.2基于狀態(tài)轉移矩陣特征乘子求解采用狀態(tài)轉移矩陣法來判定周期解的穩(wěn)定性。定義D為導算子,則狀態(tài)轉移矩陣式中通過對式(4)在一個周期內數值積分便得到狀態(tài)轉移矩陣。最終,便可計算得到狀態(tài)轉移矩陣在周期T處的N=2n個Floquet特征乘子:ρ其中ρ=[ρ采用Floquet理論,通過解式(4)所示的初始值問題,得到狀態(tài)轉移矩陣的特征乘子。最終,式(5)表示的周期解穩(wěn)定性條件便構成了非線性約束優(yōu)化問題的非線性不等式約束條件。1.3使用oqnlp多時間節(jié)點計算本文目標是求解非線性結構的共振峰值,所以式(3)表示的非線性代數方程組和式(5)表示的周期解穩(wěn)定性條件必須聯立。因而,尋求非線性結構中具有最大振動幅值的周期解可轉化為下述非線性約束優(yōu)化問題:式中‖u‖非線性約束優(yōu)化問題式(6)的求解和有效計算是很重要的問題。在本文研究中,采用文獻[8]的OQNLP多重啟算法求解式(6)。OQNLP多重啟算法優(yōu)化過程分為兩個主要階段。在第一階段計算所有試點的罰函數,從OptQuest數據庫選擇具有最好罰函數值的試點作為SQP算法的起始點。在主要迭代循環(huán)第二階段,選取滿足位移過濾和績效過濾條件的試點啟動局部搜索算法進行優(yōu)化求解。OQNLP多重啟算法的具體原理論述可參考文獻[8]。2計算值的示例為驗證本文方法,并演示其能力,本節(jié)給出2個數值算例。2.1duffing振子采用Duffing振子作為算例。為驗證本文方法并分析其精度,本文方法結果將與文獻[6]中HBM-ANM-HILL方法得到的結果進行比較。Duffing振子的運動方程為式中μ,β表示阻尼系數和非線性剛度系數;f表示力幅值。給定f=1.25,μ=0.1和β=1,使用HBM-ANM-HILL方法得到的Duffing振子的頻率響應曲線如圖1所示,其中H從圖1中可觀察到典型的骨架曲線。圖1中在激勵頻率ω=2.44時,系統(tǒng)達到共振峰值2.624,并存在2個分叉點S1和S2。在激勵頻率ω=2存在多解C,D和E,其中D是不穩(wěn)定的周期解。下面研究三種情形以驗證本文方法:a找到共振峰值p為搜尋共振峰值P,式(6)中優(yōu)化目標設置為具有穩(wěn)定周期解的Duffing振子振動幅值最大化。需要確定的未知優(yōu)化變量為初始條件z穩(wěn)定性正則方程對于求解分叉點S1和S2,根據Floquet理論,分叉點的所有Floquet乘子的模的最大值等于1,考慮到數值精度,式(6)穩(wěn)定性不等式約束條件更改為|max(|ρ|)-1|<10仿真結果及分析在計算多解集合C,D和E時,振動頻率不包括在優(yōu)化變量中,因而在非線性優(yōu)化問題式(6)中只有2個優(yōu)化變量,即初始位移和初始速度。在求解周期解D時,式(6)中周期解穩(wěn)定性條件要改變符號以尋求不穩(wěn)定的周期解。應用OQNLP多重啟算法和SQP優(yōu)化算法優(yōu)化求解以上三種情形對應的周期解。優(yōu)化算法設置為:序列二次規(guī)劃方法最大迭代次數設置為600。非線性等式約束和非線性不等式約束誤差ε設置為10在OQNLP多重啟算法優(yōu)化成功后,優(yōu)化結果示于表1,為與HBM-ANM-HILL比較,表2列出了HBM-ANM-HILL對應結果。通過比較表1和2可知,雖然存在微量差異,本文方法與HBM-ANM-HILL方法得到的結果是一致的。表3列出了本文方法在這些周期解的非線性等式約束和穩(wěn)定性不等式約束條件。由表3可知,所有打靶函數值的最大絕對誤差為8.3933×10為與HBM-ANM-HILL方法對比,表4列出了該法得到的這些周期解的Floquet乘子。比較表3和4的Floquet乘子表明本文方法和HBM-ANM-HILL方法的結果是一致的,差異很小。由表3和4可知,解P,C,E是穩(wěn)定的,因為Floquet乘子的模均小于1。對于周期解D,Floquet乘子的模最大值為2.2343。而分叉點S1和S2的Floquet乘子的模的最大值為1.0000。以上說明,通過改變穩(wěn)定性不等式約束條件和優(yōu)化目標,本文方法能正確地獲取共振峰,分叉點和多解集合,包括不穩(wěn)定周期解。圖2給出了本文方法得到的周期解的時域響應及其與時域積分方法的位移絕對誤差。由圖2(b)可知,兩種方法具有較好的一致性。本文方法在振動頻率2.4396rad/s處達到共振峰值2.6239,通過與圖1所示HBM-ANM-HILL方法相應結果比較可知本文方法正確地得到共振峰值點P。2.2約束響應和穩(wěn)定性約束第二個數值算例研究具有幾何非線性和不確定參數的葉盤結構振動問題。采用文獻[6]中的典型葉盤結構,圖3給出了幾何模型。圖3所示模型共有6個扇區(qū)葉片,每個扇區(qū)葉片根部采用固定支撐邊界條件,該模型運動微分方程為式中u=[u采用文獻[6]所示系統(tǒng)參數仿真值a=8.7662×10采用葉片剛度不確定,模擬形式為式中a(i)表示第i個葉片的剛度,v為考慮參數不確定對共振峰值的影響,不確定向量v不同階次激勵作用下優(yōu)化解的非線性等式約束和穩(wěn)定性不等式約束條件示于表6。由表6可知,非線性代數方程組等式約束和穩(wěn)定性不等式條件均得到滿足,優(yōu)化解對應的Floquet乘子的模最大值都小于1,因而這些解是穩(wěn)定的。對應于不同階次激勵作用下的系統(tǒng)時間歷程響應示于圖4。在階次激勵2作用下,2,4和6號葉片相對于其余3個葉片振動強烈。在3階次激勵作用下出現了強烈的振動響應局部