滾動(dòng)軸承周期運(yùn)動(dòng)倍化分岔的混沌行為

軸承是影響整個(gè)設(shè)備的設(shè)備核心的部件。而軸承又是極易發(fā)生故障的部件之一。當(dāng)軸承發(fā)生故障時(shí)，振動(dòng)行為非常復(fù)雜，目前主要研究集中在軸承外圈的振動(dòng)信號(hào)上，對(duì)軸承故障面的非線性行為研究較少，而在故障軸承中由碰撞引起的非線性行為又是振動(dòng)的關(guān)鍵行為，這對(duì)軸承的故障診斷和軸承設(shè)計(jì)有著非常重要的影響。目前對(duì)軸承系統(tǒng)的故障行為主要集中在數(shù)值仿真方面。通常根據(jù)軸承的力學(xué)方程，在正常軸承系統(tǒng)中引入一個(gè)故障沖擊來(lái)模擬故障，相對(duì)比較簡(jiǎn)單、單一，忽略了軸承內(nèi)部復(fù)雜的非線性行為。關(guān)貞珍等而在實(shí)際軸承發(fā)生故障時(shí)，滾動(dòng)體和內(nèi)外圈之間的作用就會(huì)發(fā)生相當(dāng)于含間隙的彈性碰撞，此時(shí)的系統(tǒng)是一個(gè)非光滑的分段彈性系統(tǒng)。由于滾動(dòng)體和內(nèi)圈外圈之間的間隙都非常的小，滾動(dòng)體很容易發(fā)生碰撞而出現(xiàn)非光滑系統(tǒng)的穩(wěn)定性失穩(wěn)問(wèn)題，因此必須考慮碰撞分界面處的非線性振動(dòng)行為來(lái)研究振動(dòng)機(jī)理。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)碰撞系統(tǒng)的非線性振動(dòng)行為做了大量的研究。Luo本文建立了三自由度軸承內(nèi)圈故障系統(tǒng)的非光滑模型，將光滑系統(tǒng)的Floquet理論引入到該系統(tǒng)來(lái)分析系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)發(fā)生倍化分岔的條件。通過(guò)在碰撞面處建立Poincaré映射，結(jié)合理論分析通過(guò)數(shù)值方法來(lái)進(jìn)一步揭示故障軸承系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)倍化分岔通向混沌的現(xiàn)象。對(duì)大型高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械的安全性、可靠性、故障檢測(cè)和工業(yè)噪音控制等問(wèn)題的解決具有一定理論指導(dǎo)意義。1軸承單個(gè)滾動(dòng)軸承建模分析本文根據(jù)軸承實(shí)際情況簡(jiǎn)化了該模型見(jiàn)圖1(a)，為了研究當(dāng)軸承內(nèi)圈發(fā)生故障時(shí)，內(nèi)圈與單個(gè)滾動(dòng)體的碰撞振動(dòng)的非線性行為，建立了當(dāng)內(nèi)圈存在故障的情況下的軸承單個(gè)滾動(dòng)體的碰撞模型見(jiàn)圖1(b)。軸承內(nèi)圈發(fā)生破損故障時(shí)，滾動(dòng)體和內(nèi)圈發(fā)生了碰撞接觸，屬于振沖系統(tǒng)，D為故障深度;同時(shí)內(nèi)圈、外圈與每個(gè)滾動(dòng)體碰撞時(shí)，對(duì)每個(gè)滾動(dòng)體來(lái)說(shuō)沖擊力都是在徑向方向振動(dòng)的，因此軸承單個(gè)滾動(dòng)體分段線性彈性碰撞模型具有一定的合理性。M為了描述該軸承系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，引入一個(gè)分界面，以內(nèi)圈故障與滾動(dòng)體剛接觸時(shí)的碰撞面為分界面如圖1距離滾動(dòng)體為D的平面。由于碰撞面是隨M表示物塊M根據(jù)上面的分析，可建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為:2基解矩陣與特征乘子將式(3)和式(4)寫(xiě)為規(guī)范式:設(shè)式(5)的一個(gè)解x(t)從區(qū)域v下面來(lái)求分界面處的切換矩陣。(1)從區(qū)域v式中:f(2)從區(qū)域v下面求各光滑區(qū)域的基解矩陣。在區(qū)域v式(10)中:式(10)的擾動(dòng)在周期解x(t)處線性化系統(tǒng)的基解矩陣為:同理，在區(qū)域v這里，于是系統(tǒng)的Floquet特征乘子即為單值矩陣式(15)的特征值。對(duì)于式(5)這樣的非光滑系統(tǒng)，由于分界面是光滑的，系統(tǒng)的Floquet特征乘子是連續(xù)穿越單位圓周的。當(dāng)有一個(gè)Floquet特征乘子沿實(shí)軸從(-1,0)穿出單位圓，其它特征乘子仍位于單位圓內(nèi)時(shí)，式(5)穩(wěn)定的周期解將發(fā)生倍化分岔。3基于poincar-pcr的運(yùn)動(dòng)方程為了通過(guò)數(shù)值仿真進(jìn)一步揭示滾動(dòng)軸承系統(tǒng)式(3)和式(4)的倍化分岔現(xiàn)象以及其它復(fù)雜的的動(dòng)力學(xué)行為，在分界面∑處取Poincare截面如下:式中:θ=ω當(dāng)ω仍在單位圓周內(nèi)。由此可見(jiàn)軸承內(nèi)圈故障系統(tǒng)在ω由圖3和圖4可知，系統(tǒng)起初處于穩(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)(見(jiàn)圖5)。當(dāng)ω4基于周期二運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)仿真本文建立了軸承內(nèi)圈發(fā)生破損故障時(shí)的三自由度分段非光滑模型，計(jì)算了切換矩陣，結(jié)合光滑系統(tǒng)的Floquet理論分析了該系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)發(fā)生倍化分岔的條件。數(shù)值仿真驗(yàn)證了理論分析的正確性并進(jìn)一步揭示了系統(tǒng)的周期倍化現(xiàn)象以及周期二運(yùn)動(dòng)的NermarkSacker分岔、多周期和混沌等復(fù)雜的非線性行為。在圖2中，V式中，對(duì)式(1)和式(2)引入無(wú)量綱量:可得無(wú)量綱方程:式中，因?yàn)槲覀冄芯康氖鞘?5)穿越了分界面的周期解，將切換矩陣式(8)和式