第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第二講導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用要點提煉

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性考點1條件結(jié)論函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)f

＇(x)>0f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞

f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減

恒有

f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是常數(shù)函數(shù)思維拓展用充分必要條件詮釋導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系(1)f＇(x)>0(<0)是f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充分不必要條件.(2)f＇(x)≥0(≤0)是f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的必要不充分條件.(3)若f＇(x)在區(qū)間(a,b)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零,則f＇(x)≥0(≤0)是f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充要條件.增f

＇(x)<0f

＇(x)=0

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值考點21.函數(shù)的極值條件f

＇(x0)=0x0附近的左側(cè)f

＇(x)>0,右側(cè)f

＇(x)<0x0附近的左側(cè)f

＇(x)

0,右側(cè)f

＇(x)

0圖象極值f(x0)為極大值

為極小值

極值點x0為極大值點x0為

極小值點和極大值點統(tǒng)稱為極值點,極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.<>f(x0)極小值點

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值考點2易錯警示(1)極值點不是點,若函數(shù)f(x)在x1處取得極大值,則x1為極大值點,極大值為f(x1).(2)極大值與極小值沒有必然關(guān)系,極小值可能比極大值還大.(3)有極值的函數(shù)一定不是單調(diào)函數(shù).(4)f＇(x0)=0是x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點的必要不充分條件.例如,f(x)=x3,f＇(0)=0,但x=0不是極值點.2.函數(shù)的最值若在區(qū)間[a,b]上函數(shù)f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,則在[a,b]上f(x)必有最大值與最小值.

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值考點2辨析比較函數(shù)極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系

極值最值區(qū)別(1)極值是個“局部”概念,只能在定義域內(nèi)部取得;(2)在指定區(qū)間上極值可能不止一個,也可能一個都沒有.(1)最值是個“整體”概念,可以在區(qū)間的端點處取得;(2)最值最多有一個.聯(lián)系(1)極值有可能成為最值,最值只要不在區(qū)間端點處取得,必定是極值;(2)在區(qū)間[a,b]上圖象是一條連續(xù)曲線的函數(shù)f(x)若有唯一的極值,則這個極值就是最值.

生活中的優(yōu)化問題考點3生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題,這些問題通常稱為優(yōu)化問題.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的基本思路為:注意

在求實際問題的最大值、最小值時,一定要考慮實際問題的意義,不符合實際意義的值應(yīng)舍去.理解自測1.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“?”).(1)若函數(shù)f(x)在定義域上都有f

＇(x)<0,則函數(shù)f(x)在定義域上一定單調(diào)遞減.(

)(2)若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,則一定有f

＇(x)>0.(

)(3)在某區(qū)間上f

＇(x)>0(f

＇(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增(減)的充分不必要條件.(

)(4)在(a,b)上f

＇(x)≤0,且f

＇(x)=0的根有有限個,則f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減.(

)(5)函數(shù)f(x)=sinx-2x在(0,π)上單調(diào)遞減.(

)(6)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值是唯一的.(

)(7)函數(shù)的極大值比極小值大.(

)(8)f

＇(x0)=0是x0為可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的極值點的充分不必要條件.(

)???√?√√?(9)函數(shù)的最大值不一定是極大值,極大值也不一定是最大值.(

)2.[2022黑龍江省大慶市二校聯(lián)考][易錯題]如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象,則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(x)在[-2,-1]上是增函數(shù)B.當(dāng)x=3時,f(x)取得最小值C.當(dāng)x=-1時,f(x)取得極大值D.f(x)在[-1,2]上是增函數(shù),在(2,4]上是減函數(shù)√D考向掃描

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性考向1

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性考向1

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性考向1

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性考向1方法技巧1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法方法一:(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)f＇(x);(3)由f＇(x)>0(或<0)解出相應(yīng)的x的取值范圍,對應(yīng)的區(qū)間為f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間.方法二:(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)f＇(x),并求方程f＇(x)=0的根;(3)利用f＇(x)=0的根和函數(shù)不連續(xù)點的橫坐標(biāo)將函數(shù)的定義域分成若干

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性考向1個子區(qū)間,在這些子區(qū)間上討論f

＇(x)的正負(fù),由符號確定f(x)在子區(qū)間上的單調(diào)性.2.確定單調(diào)區(qū)間端點值的三個依據(jù):(1)導(dǎo)函數(shù)等于0的點;(2)函數(shù)不連續(xù)的點;(3)函數(shù)不可導(dǎo)的點.3.對于含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題,一般需對參數(shù)進行分類討論,如果一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)不好判斷,那么需要對一階導(dǎo)函數(shù)進行求導(dǎo),判斷二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù).分類討論主要是(1)討論f

＇(x)=0是否有根;(2)討論f

＇(x)=0的根是否在定義域內(nèi);(3)討論根的大小關(guān)系.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性考向1注意

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論;(2)區(qū)間端點可以屬于單調(diào)區(qū)間,也可以不屬于單調(diào)區(qū)間.2.變式[2021全國卷乙]已知函數(shù)f(x)=x3-x2+ax+1.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)求曲線y=f(x)過坐標(biāo)原點的切線與曲線y=f(x)的公共點的坐標(biāo).

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性考向1

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性考向1

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用考向2角度1已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

C

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用考向2

方法技巧已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的常見類型和解題技巧常見類型解題技巧已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(或遞減).轉(zhuǎn)化為f＇(x)≥0(或f＇(x)≤0)對x∈D恒成立問題.注意

不是f＇(x)>0(或f＇(x)<0)恒成立,“=”不能少,必要時還需對“=”進行檢驗.

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用考向2已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間.轉(zhuǎn)化為f＇(x)>0(或f＇(x)<0)在該區(qū)間上存在解集,這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成不等式有解問題.已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性,區(qū)間I中含有參數(shù).先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間,令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集,從而可求出參數(shù)的取值范圍.已知f(x)在區(qū)間D上不單調(diào).轉(zhuǎn)化為f＇(x)=0在區(qū)間D上有解求解.也可先求出f(x)在區(qū)間D上單調(diào)時參數(shù)的取值范圍,然后運用補集思想得解.

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用考向2

(-∞,-3]

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用考向2

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用考向2

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用考向2角度2比較大小或解不等式

C

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用考向2

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用考向2方法技巧利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧利用題目條件,構(gòu)造輔助函數(shù),借助導(dǎo)數(shù)研究構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性比較大小或解不等式.

B

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用考向2

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值考向3角度1求函數(shù)的極值或最值7.典例(1)[2017全國卷Ⅱ][理]若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點,則f(x)的極小值為(

)A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1(2)[2021新高考卷Ⅰ]函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為

.

A1解析

(1)因為f(x)=(x2+ax-1)ex-1,所以f＇(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1.因為x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點,所以-2是x2+(a+2)x+a-1=0的根,所以a=-1,f＇(x)=(x2+x-2)ex-1=(x+2)(x-1)ex-1.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值考向3

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值考向3方法技巧1.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域,求導(dǎo)數(shù)f＇(x);(2)求方程f＇(x)=0的根;(3)檢驗f＇(x)在方程f＇(x)=0的根的左右兩側(cè)的符號,具體如下表:xx<x0x0x>x0f＇(x)f＇(x)>0f＇(x)=0f＇(x)<0f(x)增極大值f(x0)減

xx<x0x0x>x0f＇(x)f＇(x)<0f＇(x)=0f＇(x)>0f(x)減極小值f(x0)增(4)得出結(jié)論.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值考向32.求函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值的方法(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(遞減),則f(a)為最小(大)值,f(b)為最大(小)值;(2)若函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有極值,則要先求出函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值,再與f(a),f(b)比較,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成;(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上有唯一一個極值點,這個極值點就是最值點,此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用中經(jīng)常用到.注意

求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值,一般要根據(jù)函數(shù)的極值及單調(diào)性畫出函數(shù)的大致圖象,借助圖象求解.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值考向3

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值考向3

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值考向3角度2已知函數(shù)的極值、最值求參數(shù)9.典例[2018北京高考][理]設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行,求a;(Ⅱ)若f(x)在x=2處取得極小值,求a的取值范圍.解析

(Ⅰ)因為f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,所以f＇(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex.f＇(1)=(1-a)e.由題設(shè)知f＇(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此時f(1)=3e≠0.所以a的值為1.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值考向3

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值考向3方法技巧1.已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的兩個要領(lǐng)列式根據(jù)極值以及極值點處導(dǎo)數(shù)為0列方程(組),利用待定系數(shù)法求解.驗證因為f

＇(x0)=0不是x0為極值點的充要條件,所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性.2.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上存在極值點,則y=f(x)在(a,b)上不是單調(diào)函數(shù),即函數(shù)y=f＇(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在變號零點.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值考向310.變式[2019全國卷Ⅲ][理]已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為-1且最大值為1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,說明理由.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值考向3

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值考向3

導(dǎo)函數(shù)圖象的應(yīng)用考向411.典例[2017浙江高考]函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f

＇(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是(

)A B C DD

導(dǎo)函數(shù)圖象的應(yīng)用考向4解析

根據(jù)題意,已知導(dǎo)函數(shù)的圖象有三個零點,且每個零點的兩邊導(dǎo)函數(shù)值的符號相反,因此函數(shù)f(x)在這些零點處取得極值,根據(jù)極值個數(shù)和極值點符號可排除A,B;記導(dǎo)函數(shù)f＇(x)的零點從左到右分別為x1,x2,x3,又在(-∞,x1)上f＇(x)<0,在(x1,x2)上f＇(x)>0,所以函數(shù)f(x)在(-∞,x1)上單調(diào)遞減,排除C.選D.

導(dǎo)函數(shù)圖象的應(yīng)用考向4方法技巧導(dǎo)函數(shù)圖象的應(yīng)用策略(1)先找導(dǎo)數(shù)為0的點,再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號,進而判斷函數(shù)極值的情況.(2)由導(dǎo)函數(shù)y=f＇(x)的圖象可以看出y=f＇(x)的值的正負(fù),從而可得函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.

導(dǎo)函數(shù)圖象的應(yīng)用考向4

B

導(dǎo)函數(shù)圖象的應(yīng)用考向4

導(dǎo)函數(shù)圖象的應(yīng)用考向4對于③,由題圖知,在區(qū)間[a,x3]上,f＇(x)≥0,在區(qū)間[x3,x5]上,f＇(x)≤0,在區(qū)間[x5,b]上,f＇(x)≥0,所以y=f(x)有一個極大值點x3和一個極小值點x5,故③錯誤;對于④,由題圖知,在區(qū)間[x2,x3]上,f＇(x)≥0,且f＇(x)單調(diào)遞減,故y=f(x)單調(diào)遞增,故f＇(p)>f＇(q),f(p)<f(q),故[f(p)-f(q)]·[f＇(p)-f＇(q)]<0,即④正確.綜上,正確命題的序號是②④.故選B.

利用導(dǎo)數(shù)解最優(yōu)化問題考向513.典例[2020江蘇高考]某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁,橋址位置的豎直截面圖如圖所示:谷底O在水平線MN上,橋AB與MN平行,OO＇為鉛垂線(O＇在AB上).經(jīng)測量,左側(cè)曲線AO上任一點D到MN的距離h1(米)與D到OO＇的距離a(米)之間滿足關(guān)系式h1=140a2;右側(cè)曲線BO上任一點F到MN的距離h2(米)與F到OO＇的距離b(米)之間滿足關(guān)系式h2=-1800b3+6b.已知點B到OO＇的距離為40米.(1)求橋AB的長度;(2)計劃在谷底兩側(cè)建造平行于OO＇的橋墩CD和EF,

利用導(dǎo)數(shù)解最優(yōu)化問題考向5且CE為80米,其中C,E在AB上(不包括端點).橋墩EF每米造價k(萬元),橋墩CD每米造價32k(萬元)(k>0),問O＇E為多少米時,橋墩CD與EF的總造價最低?

導(dǎo)函數(shù)圖象的應(yīng)用考向4

導(dǎo)函數(shù)圖象的應(yīng)用考向4

x(0,20)20(20,40)f＇(x)-0+f(x)↘極小值↗所以當(dāng)x=20時,f(x)取得最小值.答:(1)橋AB的長度為120米;(2)當(dāng)O＇E為20米時,橋墩CD和EF的總造價最低.

導(dǎo)函數(shù)圖象的應(yīng)用考向4方法技巧利用導(dǎo)數(shù)解決生活中實際應(yīng)用問題的一般步驟注意

在利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題時,若在定義域內(nèi)只有一個極值,則這個值即為最值.攻堅克難運用構(gòu)造法求解f(x)與f＇(x)共存的不等式問題數(shù)學(xué)探索類型1只含f

＇(x)型14.典例[2021鄭州市三模]已知奇函數(shù)f(x)在R上的導(dǎo)數(shù)為f‘(x),且當(dāng)x∈(-∞,0]時,f’(x)<1,則不等式f(2x-1011)-f(x+1010)≥x-2021的解集為（）

A.(2021,+∞) B.[2021,+∞)C.(-∞,2021] D.(-∞,2021)解析

令g(x)=f(x)-x,

(由條件f＇(x)<1構(gòu)造函數(shù)g(x))則g＇(x)=f＇(x)-1,因為當(dāng)x∈(-∞,0]時,f＇(x)<1,所以當(dāng)x∈(-∞,0]時,g＇(x)<0,g(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減,又函數(shù)f(x)為奇函數(shù),所以g(-x)=f(-x)-(-x)=-f(x)+x=-g(x),即g(x)也為奇函數(shù),C運用構(gòu)造法求解f(x)與f＇(x)共存的不等式問題數(shù)學(xué)探索所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減.(判斷g(x)的單調(diào)性)由f(2x-1011)-f(x+1010)≥x-2021,得f(2x-1011)-(2x-1011)≥f(x+1010)-(x+1010),即g(2x-1011)≥g(x+1010).(將所求不等式兩邊變?yōu)間(x)的同型)由g(x)單調(diào)性可得2x-1011≤x+1010,解得x≤2021,(根據(jù)g(x)的單調(diào)性解不等式)即原不等式的解集為(-∞,2021].運用構(gòu)造法求解f(x)與f＇(x)共存的不等式問題數(shù)學(xué)探索

方法技巧(1)對于不等式f

＇(x)+g＇(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)+g(x).(2)對于不等式f

＇(x)-g＇(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x).(3)對于不等式f

＇(x)>k(或<k)(k≠0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-kx或F(x)=f(x)-kx+b.運用構(gòu)造法求解f(x)與f＇(x)共存的不等式問題數(shù)學(xué)探索類型2

f(x)±f

＇(x)型15.典例[2022湖南省湘潭市一模]已知定義域為R的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f

‘(x),且f

’(x)>f(x),若實數(shù)a>0,則下列不等式恒成立的是（）A.af(lna)≥ea-1f(a-1)B.af(lna)≤ea-1f(a-1)C.ea-1f(lna)≥af(a-1)D.ea-1f(lna)≤af(a-1)D運用構(gòu)造法求解f(x)與f＇(x)共存的不等式問題數(shù)學(xué)探索解析

令g(x)=f(x)ex,則g＇(x)=f

＇(x)-f(x)ex>0,∴g(x)為增