2021年湖南省婁底市漣源茅塘鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過(guò)，則可以是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A2.把[0,1]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)x分別轉(zhuǎn)化為[0,4]和[4,1]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)，，需實(shí)施的變換分別為A．

B．

C．

D．參考答案：C由隨機(jī)數(shù)的變換公式可得，.故選C．

3.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)P和Q滿足條件：①P和Q都在函數(shù)y=f（x）的圖象上；②P和Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)[P，Q]是函數(shù)y=f（x）的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”（[P，Q]與[Q，P]看作同一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”）．已知函數(shù)，則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有(

)A．0對(duì) B．1對(duì) C．2對(duì) D．3對(duì)參考答案：C【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用．【專(zhuān)題】壓軸題；新定義；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意：“友好點(diǎn)對(duì)”，可知，欲求f（x）的“友好點(diǎn)對(duì)”，只須作出函數(shù)y=﹣x2﹣4x（x≤0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，看它與函數(shù)f（x）=log2x（x＞0）交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．【解答】解：根據(jù)題意：當(dāng)x＞0時(shí)，﹣x＜0，則f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x，可知，若函數(shù)為奇函數(shù)，可有f（x）=x2﹣4x，則函數(shù)y=﹣x2﹣4x（x≤0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是y=x2﹣4x由題意知，作出函數(shù)y=x2﹣4x（x＞0）的圖象，看它與函數(shù)f（x）=log2x（x＞0）交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到友好點(diǎn)對(duì)的個(gè)數(shù)．如圖，觀察圖象可得：它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是：2．即f（x）的“友好點(diǎn)對(duì)”有：2個(gè)．故答案選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及數(shù)形結(jié)合的思想，解答的關(guān)鍵在于對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”的正確理解，合理地利用圖象法解決．4.已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（

）A．1

B．

C．

D．2參考答案：C

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)的模．5.A

B

C

D

參考答案：B6.在中，，，分別為的重心和外心，且，則的形狀是（

▲

）A．銳角三角形

B．鈍角三角形

C．直角三角形

D．上述三種情況都有可能參考答案：B【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用F3以BC所在的邊為x軸建立坐標(biāo)系，設(shè)A的坐標(biāo)為（a,b）B(0,0)，C（5,0），G(,m)則（5,0）,=(，m-),由得（）.5=5，a=-,則為負(fù)值，所以為鈍角三角形?！舅悸伏c(diǎn)撥】得（）.5=5，a=-,則為負(fù)值，得鈍角三角形。7.已知為定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)于恒成立（為自然對(duì)數(shù)的底），則

A．

B．

C．

D．與大小不確定參考答案：A8.設(shè)函數(shù)，則，則（）A.在單調(diào)遞增，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.在單調(diào)遞增，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.在單調(diào)遞減，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.在單調(diào)遞減，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱參考答案：D,由得，再由,所以.所以y=f(x)在在單調(diào)遞減,其圖象關(guān)于直線對(duì)稱,故選D.9.對(duì)于曲線C所在平面內(nèi)的點(diǎn)O，若存在以O(shè)為頂點(diǎn)的角θ，使得θ≥∠AOB對(duì)于曲線C上的任意兩個(gè)不同點(diǎn)A、B恒成立，則稱θ為曲線C相對(duì)于O的“界角”，并稱最小的“界角”為曲線C相對(duì)于O的“確界角”，已知曲線M：y=，（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則曲線M相對(duì)于O的“確界角”為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，過(guò)點(diǎn)O作出兩條直線與曲線無(wú)限接近，當(dāng)x≤0時(shí)，曲線y=與直線y=k1x無(wú)限接近，考慮漸近線，求出k1=﹣3；當(dāng)x＞0時(shí)，設(shè)出切點(diǎn)，求出切線的斜率，列出方程，求出切點(diǎn)（1，2），即得k2=2，再由兩直線的夾角公式即可得到所求的“確界角”．【解答】解：畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，過(guò)點(diǎn)O作出兩條直線與曲線無(wú)限接近，設(shè)它們的方程分別為y=k1x，y=k2x，當(dāng)x≤0時(shí)，曲線y=與直線y=k1x無(wú)限接近，即為雙曲線的漸近線，故k1=﹣3；當(dāng)x＞0時(shí)，y′=ex﹣1+xex﹣1，設(shè)切點(diǎn)為（m，n），則n=k2m，n=mem﹣1+1，k2=em﹣1+mem﹣1，即有m2em﹣1=1，由x2ex﹣1（x＞0）為增函數(shù)，且x=1成立，故m=1，k2=2，由兩直線的夾角公式得，tanθ=||=1，故曲線C相對(duì)于點(diǎn)O的“確界角”為．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義“確界角”及應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求切線，雙曲線的性質(zhì)：漸近線，屬于中檔題．10.給出下列四個(gè)命題：①

②③

④其中正確命題的序號(hào)是①②③④（A）①②

（B）①③

（C）③④

（D）②④參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.與直線x+y﹣2=0和曲線x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．參考答案：（x﹣2）2+（y﹣2）2=2【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】由題意可知先求圓心坐標(biāo)，再求圓心到直線的距離，求出最小的圓的半徑，圓心坐標(biāo)，可得圓的方程．【解答】解：曲線化為（x﹣6）2+（y﹣6）2=18，其圓心到直線x+y﹣2=0的距離為．所求的最小圓的圓心在直線y=x上，其到直線的距離為，圓心坐標(biāo)為（2，2）．標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．故答案為：（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是中檔題．12.已知等差數(shù)列的公差為2,若成等比數(shù)列,則=___________

參考答案：-413.數(shù)列{14－2n}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{︱14－2n︱}的前n項(xiàng)和為Sn′，若Sn的最大值為Sm，則n≥m時(shí)，Sn′＝

參考答案：14.在多項(xiàng)式的展開(kāi)式中，xy3的系數(shù)為_(kāi)__________．參考答案：120

根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式可知，的系數(shù)應(yīng)為.15.設(shè)x、y、z?R+，若xy+yz+zx=1，則x+y+z的取值范圍是__________.

參考答案：

：因?yàn)閤、y、z?R+，若xy+yz+zx=1，則，所以，即x+y+z的取值范圍是16.已知圓C：x2＋y2＝12，直線l：4x＋3y＝25，圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率為_(kāi)_______．參考答案：.17.如圖，半圓的直徑AB＝4，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則·＋·的最小值是

.參考答案：-2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題滿分12分）如圖，一簡(jiǎn)單幾何體ABCDE的一個(gè)面ABC內(nèi)接于圓O,G、H分別是AE、BC的中點(diǎn)，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC平面ABC.（I）證明:GH//平面ACD；（II）若AC=BC=BE=2,求二面角O-CE-B的余弦值.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；二面角的平面角及求法．G4G9G11（I）見(jiàn)解析;（II）

解析：（I）證明：連結(jié)GO,OH

∵GO//AD,OH//AC.....................................................................................（2分）∴GO//平面ACD,OH//平面ACD,又GO交HO于O......................................（.4分）∴平面GOH//平面ACD.........................................................................（5分）∴GH//平面ACD........................................................................................（6分）（II）

法一：以CB為x軸，CB為y軸，CD為z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系則C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2)平面BCE的法向量，設(shè)平面OCE的法向量............（8分）∴則，故令.........................................................................（10分）∵二面角O-CE-B是銳二面角，記為，則......................................（12分）法二：過(guò)H作HMCE于M，連結(jié)OM∵DC平面ABC

∴平面BCDE平面ABC又∵AB是圓O的直徑

∴ACBC,而AC//OH∴OHBC

∴OH平面BCE.......................................................................（8分）∴OHCE,又HMCE于M

∴CE平面OHM∴CEOM

∴是二面角O-CE-B的平面角................................（10分）由且CE=.

∴∴

又OH=在.

.........................（11分）∴......................................（12分）【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）連結(jié)GO，OH，證明GO∥平面ACD，OH∥平面ACD，利用平面與平面平行的判定定理證明平面GOH∥平面ACD．然后證明GH∥平面ACD．（Ⅱ）以CB為x軸，CB為y軸，CD為z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求出C，B，A（，O，E的坐標(biāo)，平面BCE的法向量，平面OCE的法向量．二面角O﹣CE﹣B是銳二面角，記為θ，利用空間向量的數(shù)量積求解cosθ即可．19.（12分）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，下頂點(diǎn)為B，過(guò)A、O、B（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為．（1）求橢圓的方程；（2）已知點(diǎn)M在x軸正半軸上，過(guò)點(diǎn)B作BM的垂線與橢圓交于另一點(diǎn)N，若∠BMN=60°，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．參考答案：解：（1）依題意知,,-----------------------------------------------------------1分∵△AOB為直角三角形，∴過(guò)A、O、B三點(diǎn)的圓的圓心為斜邊AB的中點(diǎn)，∴，即，--------------------------------3分∴橢圓的方程為.-----------------------------------------4分（2）由（1）知，依題意知直線BN的斜率存在且小于0，設(shè)直線BN的方程為，則直線BM的方程為：，------------------------------------------------------------5分由消去y得，----------------------------------------------6分解得：，,---------------------------------------------------------------7分∴∴,------------------------------------------------8分【注：學(xué)生直接代入弦長(zhǎng)公式不扣分！】在中，令得，即∴，-----------------------------------------------------------------------------------9分在Rt△MBN中，∵∠BMN=60°，∴,即，整理得，解得，∵，∴，------------------------------------------------------11分∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為.---------------------------------------------------------------------------12分

20.已知點(diǎn)P是橢圓C上任一點(diǎn)，點(diǎn)P到直線l1：x=﹣2的距離為d1，到點(diǎn)F（﹣1，0）的距離為d2，且=．直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B（A，B都在x軸上方），且∠OFA+∠OFB=180°．（1）求橢圓C的方程；（2）當(dāng)A為橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線l方程；（3）對(duì)于動(dòng)直線l，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無(wú)論∠OFA如何變化，直線l總經(jīng)過(guò)此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【分析】（1）設(shè)P（x，y），得，由此能求出橢圓C的方程．（2）由已知條件得kBF=﹣1，BF：y=﹣1（x+1）=﹣x﹣1，代入，得：3x2+4x=0，由此能求出直線l