統(tǒng)計(jì)與概率課標(biāo)解讀及教學(xué)思考

張丹北京教育學(xué)院賈福錄北京教育科學(xué)研究院宋燕暉東城區(qū)史家小學(xué)分校四個(gè)話題數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容變化及主線分析數(shù)據(jù)分析的方法數(shù)據(jù)的隨機(jī)性及簡(jiǎn)單事件發(fā)生的可能性話題一：數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵1．在實(shí)驗(yàn)稿《課標(biāo)》中“統(tǒng)計(jì)觀念”是核心概念，現(xiàn)在為什么改名為“數(shù)據(jù)分析觀念”呢？統(tǒng)計(jì)學(xué)是關(guān)于收集和分析數(shù)據(jù)的科學(xué)和藝術(shù)。

——《不列顛百科全書》統(tǒng)計(jì)的核心是數(shù)據(jù)分析，“數(shù)據(jù)是信息的載體，這個(gè)載體包括數(shù)，也包括言語、信號(hào)、圖像，凡是能夠承載事物信息的東西都構(gòu)成數(shù)據(jù)，而統(tǒng)計(jì)學(xué)就是通過這些載體來提取信息進(jìn)行分析的科學(xué)和藝術(shù)”。話題一：數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵2．?dāng)?shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵了解現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析作出判斷，體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含著信息。了解同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法。通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性，一方面對(duì)于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。話題一：數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵[案例]售貨員的人數(shù)商店經(jīng)理要合理地安排售貨員的人數(shù)。售貨員過多顯然對(duì)商店是浪費(fèi)，售貨員太少將使一些顧客離去而減少商店收入。安排多少售貨員依賴于顧客的人數(shù)，而顧客的人數(shù)是隨機(jī)的，事先無法確定。商店經(jīng)理有辦法嗎？假定商店經(jīng)理知道任一時(shí)刻來到k個(gè)顧客的概率p如下：

k01234567>7p0.030.100.140.190.210.190.090.040.01

話題一：數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵3．如何發(fā)展學(xué)生的“數(shù)據(jù)分析觀念”？第一，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的過程，體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息。

案例：清華附屬小學(xué)安華《統(tǒng)計(jì)》話題一：數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵第二，鼓勵(lì)學(xué)生掌握數(shù)據(jù)分析的方法，根據(jù)問題的背景能選擇合適的方法。話題一：數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵體育課上11名男同學(xué)100米跑的成績(jī)：13秒217秒13秒515秒812秒17秒116秒715秒617秒16秒616秒7不同的情況選擇不同的統(tǒng)計(jì)量平均數(shù)：15秒6，中位數(shù)：16秒6（1）如果選擇參加一項(xiàng)比賽，希望有一半的男同學(xué)可以參加，選擇哪個(gè)成績(jī)作為標(biāo)準(zhǔn)？（2）如果希望確定一個(gè)較高的標(biāo)準(zhǔn)，選擇哪個(gè)成績(jī)作為標(biāo)準(zhǔn)？（答案不唯一）（3）可修改為：如果要確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，你如何確定？為什么?第三，通過數(shù)據(jù)分析，讓學(xué)生感受數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域的教學(xué)重點(diǎn)是發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)觀念，難點(diǎn)在于如何創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)幕顒?dòng)，體現(xiàn)隨機(jī)性以及數(shù)據(jù)獲得、分析、處理，進(jìn)而作出決策的全過程?！穼幹性掝}一：數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵案例：上學(xué)時(shí)間學(xué)生記錄自己在一個(gè)星期內(nèi)每天上學(xué)途中所需要的時(shí)間，如果把記錄時(shí)間精確到分，可能學(xué)生每天上學(xué)途中需要的時(shí)間是不一樣的，可以讓學(xué)生感悟數(shù)據(jù)的隨機(jī)性；更進(jìn)一步，讓學(xué)生感悟雖然數(shù)據(jù)是隨機(jī)的，但數(shù)據(jù)較多時(shí)具有某種穩(wěn)定性，可以從中得到很多信息，比如，通過一個(gè)星期的調(diào)查可以知道“大概”需要多少時(shí)間。話題一：數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵為什么把數(shù)據(jù)分析觀念作為核心概念它們是學(xué)生在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中最應(yīng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的重要方面(教育價(jià)值)核心概念往往是一類課程內(nèi)容的核心或聚焦點(diǎn)，它有利于我們把握課程內(nèi)容的線索和層次，抓住教學(xué)中的關(guān)鍵核心概念本質(zhì)上體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的基本思想這些核心概念都是數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)點(diǎn)，也應(yīng)該成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的目標(biāo)，并通過教師的教學(xué)予以落實(shí)一個(gè)案例

新年聯(lián)歡會(huì)準(zhǔn)備買水果，調(diào)查班級(jí)同學(xué)最喜歡吃的水果，設(shè)計(jì)購買方案。[說明]借助學(xué)生身邊的例子，體會(huì)數(shù)據(jù)調(diào)查、數(shù)據(jù)分析對(duì)于決策的作用。此例可以舉一反三。教學(xué)中可作如下設(shè)計(jì)：（1）全班同學(xué)討論決定購買方案的原則，可以在限定的金額內(nèi)考慮學(xué)生最喜歡吃的一種或幾種水果，或者其他的原則。

（2）鼓勵(lì)學(xué)生討論收集數(shù)據(jù)的方法。例如，可以采取填寫調(diào)查表的方法；可以全部提案后，同學(xué)輪流在自己同意的盒里放積木的方法等等。必須事先約定，每位同學(xué)最多可以同意幾項(xiàng)。（3）收集并表示數(shù)據(jù)，參照事先的約定決定購買水果

的方案。

要根據(jù)學(xué)生討論的實(shí)際情況進(jìn)行靈活處理，購買

方案沒有對(duì)錯(cuò)之分，但要符合最初制定的原則。一個(gè)案例話題2統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容變化及主線分析

一、新課標(biāo)的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)

1.《標(biāo)準(zhǔn)》中有關(guān)“統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)話題2統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容變化及主線分析

統(tǒng)計(jì)與概率數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)活動(dòng)初步·通過豐富的實(shí)例，了解平均數(shù)的意義，會(huì)求簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)的平均數(shù)（結(jié)果為整數(shù)）?！ぶ揽梢詮膱?bào)刊、雜志、電視等媒體中獲取數(shù)據(jù)信息·通過實(shí)例，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)表和象形統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖（1格代表1個(gè)單位），并完成相應(yīng)的圖表?！つ芨鶕?jù)簡(jiǎn)單的問題，使用適當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ缬?jì)數(shù)、測(cè)量、實(shí)驗(yàn)等）收集數(shù)據(jù)，并將數(shù)據(jù)記錄在統(tǒng)計(jì)表中。不確定現(xiàn)象·初步體驗(yàn)有些事件的發(fā)生是確定的，有些則是不確定的?！つ軌蛄谐龊?jiǎn)單試驗(yàn)所有可能發(fā)生的結(jié)果?！ぶ朗录l(fā)生的可能性是有大小的。·對(duì)一些簡(jiǎn)單事件發(fā)生的可能性作出描述，并和同伴交換想法。（1）第一學(xué)段刪除的內(nèi)容

（2）第二學(xué)段刪除的內(nèi)容統(tǒng)計(jì)與概率數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)活動(dòng)初步·關(guān)于“中位數(shù)、眾數(shù)”的內(nèi)容全部刪掉?！つ茉O(shè)計(jì)統(tǒng)計(jì)活動(dòng)，檢驗(yàn)?zāi)承╊A(yù)測(cè)?！こ醪襟w會(huì)數(shù)據(jù)可能產(chǎn)生誤導(dǎo)不確定現(xiàn)象原來第二學(xué)段定量刻畫的內(nèi)容。此部分內(nèi)容改為原來的第一學(xué)段。調(diào)整了對(duì)可能性的要求。表述為：1.結(jié)合具體情境，了解簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象；能列出簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結(jié)果。2．通過實(shí)驗(yàn)、游戲等活動(dòng)，感受隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果發(fā)生的可能性是有大小的，能對(duì)一些簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小作出定性描述，并和同學(xué)交流。話題2統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容變化及主線分析

一、新課標(biāo)的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)

1.《標(biāo)準(zhǔn)》中有關(guān)“統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)2.分析調(diào)整原因看起來“整體后移”話題2統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容變化及主線分析

1.“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容結(jié)構(gòu)做了較大調(diào)整，使三個(gè)學(xué)段內(nèi)容學(xué)習(xí)的層次性更加明確。2.重統(tǒng)計(jì)。包括提出數(shù)據(jù)的隨機(jī)性3.重體驗(yàn)。經(jīng)歷過程等沒有變化，鼓勵(lì)運(yùn)用自己的方式表示數(shù)據(jù)整理的結(jié)果。體會(huì)運(yùn)用數(shù)據(jù)進(jìn)行表達(dá)和交流的作用。能運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ占瘮?shù)據(jù)。話題2統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容變化及主線分析

二、統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容主線1.數(shù)據(jù)分析過程2.數(shù)據(jù)分析方法3.數(shù)據(jù)的隨機(jī)性4.隨機(jī)現(xiàn)象及簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率話題2統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容變化及主線分析

《標(biāo)準(zhǔn)》在三個(gè)階段都提出了相應(yīng)的要求，這也成為了統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的首要主線。在第一學(xué)段中，提出“經(jīng)歷簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)收集和整理過程”；在第二學(xué)段中，提出“經(jīng)歷簡(jiǎn)單的收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的過程（可使用計(jì)算器）”。數(shù)據(jù)分析過程第一學(xué)段（《標(biāo)準(zhǔn)》例19）：對(duì)全班同學(xué)的身高進(jìn)行調(diào)查分析。從以下的數(shù)據(jù)中可以得到哪些信息呢？第1小組 116 128 124 135 128 141第2小組 129 130 134 127 134 138第3小組 138 142 119 123 127 146第4小組 119 137 136 138 150 152第5小組 125 120 131 143 135 148第6小組 138 132 147 139 148 139例19對(duì)全班同學(xué)的身高進(jìn)行調(diào)查分析。學(xué)校一般每年都要測(cè)量學(xué)生的身高，這為學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)提供了很好的數(shù)據(jù)資源，因此這個(gè)問題可以貫穿第一學(xué)段和第二學(xué)段，根據(jù)不同學(xué)段的學(xué)生特點(diǎn)，要求可以有所不同。希望學(xué)生把每年測(cè)量身高的數(shù)據(jù)都保留下來，養(yǎng)成保存資料的習(xí)慣。在第一學(xué)段，主要讓學(xué)生感悟可以從數(shù)據(jù)中得到一些信息。例19對(duì)全班同學(xué)的身高進(jìn)行調(diào)查分析。教學(xué)中可以作如下設(shè)計(jì)：（1）指導(dǎo)學(xué)生將全班同學(xué)的身高進(jìn)行匯總。（2）從匯總后的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)信息。比如，最高（最大值）、最矮（最小值）、相差多少（極差），大部分同學(xué)的身高是多少（眾數(shù)）等。在討論過程中，括號(hào)中的有些名詞并不需要出現(xiàn)，但是希望學(xué)生體會(huì)數(shù)據(jù)所代表的意義。例19對(duì)全班同學(xué)的身高進(jìn)行調(diào)查分析。教學(xué)中可以作如下設(shè)計(jì)：（3）在整理中，可以讓學(xué)生嘗試創(chuàng)造靈活的方法。例如，尋找最高，可以直接比較尋找，當(dāng)學(xué)生人數(shù)比較多時(shí)，也可以分組尋找組內(nèi)最高，然后在每組的最高中尋找最高；在考慮順序問題時(shí)，學(xué)生可能會(huì)有不同的排序方法。例如，先找到最?。ù螅┑?，然后在剩余的數(shù)中再找到最?。ù螅┑?，依次將這些數(shù)按從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┑捻樞蜻M(jìn)行排序；或者先固定一個(gè)數(shù)，拿第二個(gè)數(shù)與之比較，然后取第三個(gè)數(shù)與前兩個(gè)數(shù)比較，根據(jù)它們之間的大小關(guān)系決定位置，這樣繼續(xù)下去，最后將這些數(shù)排序。無論學(xué)生的出發(fā)點(diǎn)如何，只要思路清晰、排序正確即可。例38對(duì)全班同學(xué)身高的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析。在例19中，已經(jīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)全班同學(xué)身高的數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步分析。在這個(gè)學(xué)段中，要求學(xué)生結(jié)合以前積累的身高數(shù)據(jù)，進(jìn)行進(jìn)一步的整理，然后進(jìn)行分析。整理的目的是為了便于分析，例如，條形統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解不同高度的學(xué)生數(shù)及其差異；扇形統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解不同高度的學(xué)生占全班學(xué)生的比例及其差異；折線統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解幾年來學(xué)生身高變化的情況，預(yù)測(cè)未來身高變化趨勢(shì)。學(xué)生還可以討論用什么數(shù)據(jù)來代表全班同學(xué)的身高，自己的身高在全班的什么位置。例38對(duì)全班同學(xué)身高的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析。教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，可以關(guān)注如下要點(diǎn)：（1）組織學(xué)生討論并明確畫統(tǒng)計(jì)圖的基本標(biāo)準(zhǔn)。如果學(xué)生意見不一致，可以根據(jù)意見的不同把學(xué)生分組，各自畫出統(tǒng)計(jì)圖后進(jìn)行比較。（2）可以把幾年來全班同學(xué)平均身高的數(shù)據(jù)畫出折線統(tǒng)計(jì)圖，讓學(xué)生與自己身高數(shù)據(jù)的折線圖進(jìn)行分析比較。還可以對(duì)男女生的身高數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和比較。例38對(duì)全班同學(xué)身高的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析。教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，可以關(guān)注如下要點(diǎn)：（3）組織學(xué)生討論用什么數(shù)據(jù)來代表全班同學(xué)的身高，自己的身高在全班的什么位置。學(xué)生可以用平均身高作為代表，用自己的身高與平均身高進(jìn)行比較；可以用出現(xiàn)次數(shù)最多的身高作為代表（“眾數(shù)”的意義），用自己的身高與其相比；也可以用班級(jí)中等水平學(xué)生的身高作為代表（“中位數(shù)”的意義），用自己的身高與其相比。學(xué)生只要能說出自己的理由就可以，不需要出現(xiàn)“眾數(shù)”“中位數(shù)”等名詞（只要求教師理解，不要求給學(xué)生講解）。例38對(duì)全班同學(xué)身高的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析。教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，可以關(guān)注如下要點(diǎn)：（4）雖然數(shù)據(jù)整理和分析的方法可以有所不同，但要求分析的結(jié)論清晰，能夠更好地反映實(shí)際背景。朝陽區(qū)南湖中園小學(xué)鮑鳳華《統(tǒng)計(jì)》話題2統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容變化及主線分析

案例分析：面對(duì)“我們的體重發(fā)生了怎樣的變化”這一問題，引發(fā)學(xué)生思考：怎么就把這件事說清楚了？把這些數(shù)據(jù)怎么辦呀？學(xué)生想出按順序排一下；把相同的放在一起，分類等方法。怎樣整理數(shù)據(jù)？可以分類，也可以排序話題2統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容變化及主線分析

話題3：數(shù)據(jù)分析的方法1.收集數(shù)據(jù)的方法在收集數(shù)據(jù)方面，所涉及的數(shù)據(jù)可能是全體的數(shù)據(jù)（總體數(shù)據(jù)），也可能是通過抽樣獲得的數(shù)據(jù)（抽樣數(shù)據(jù)）。在第一、第二學(xué)段中，學(xué)生收集的基本都是總體數(shù)據(jù)現(xiàn)成的數(shù)據(jù)；需要自己調(diào)查的數(shù)據(jù)（換乳牙、看電視的時(shí)間）。話題3：數(shù)據(jù)分析的方法1.收集數(shù)據(jù)的方法常用的收集數(shù)據(jù)的方法包括：調(diào)查、試驗(yàn)、測(cè)量、查閱資料。話題3：數(shù)據(jù)分析的方法1.收集數(shù)據(jù)的方法☆

學(xué)生應(yīng)該對(duì)收集數(shù)據(jù)的方法都有比較豐富的體驗(yàn)。☆《標(biāo)準(zhǔn)》在第一學(xué)段提出“了解調(diào)查、測(cè)量等收集數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單方法”；☆在第二學(xué)段提出“會(huì)根據(jù)實(shí)際問題設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的調(diào)查表，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ缯{(diào)查、試驗(yàn)、測(cè)量）收集數(shù)據(jù)”“能從報(bào)紙雜志、電視等媒體中，有意識(shí)地獲得一些數(shù)據(jù)信息”。話題3：數(shù)據(jù)分析的方法1.收集數(shù)據(jù)的方法有研究表明，早期經(jīng)驗(yàn)的多樣化，有助于兒童建立進(jìn)一步學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)和興趣。舉例：安華《統(tǒng)計(jì)》話題3：數(shù)據(jù)分析的方法1.收集數(shù)據(jù)的方法話題3：數(shù)據(jù)分析的方法2.整理、描述、分析數(shù)據(jù)的方法當(dāng)人們收集了一堆數(shù)據(jù)以后，這些數(shù)據(jù)往往看起來比較雜亂，這就需要來整理數(shù)據(jù)，在不損失信息的前提下，對(duì)看起來雜亂無章的數(shù)據(jù)進(jìn)行必要的歸納和整理，然后把整理后的數(shù)據(jù)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)圖表等直觀地表示出來，并加以適當(dāng)?shù)姆治觯瑸槿藗冏鞒鰶Q策和推斷提供依據(jù)。話題3：數(shù)據(jù)分析的方法2.整理、描述、分析數(shù)據(jù)的方法在第一學(xué)段，學(xué)生將學(xué)習(xí)分類的方法，分類是整理數(shù)據(jù)和描述數(shù)據(jù)的開始。在此基礎(chǔ)上，能用自己的方式（文字、圖畫、表格等）呈現(xiàn)整理數(shù)據(jù)的結(jié)果，而不學(xué)習(xí)正式的統(tǒng)計(jì)圖表或統(tǒng)計(jì)量。話題3：數(shù)據(jù)分析的方法2.整理、描述、分析數(shù)據(jù)的方法在第二學(xué)段，學(xué)生將學(xué)習(xí)條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖等常見的統(tǒng)計(jì)圖，并且能用它們直觀、有效地表示數(shù)據(jù)。第二學(xué)段還將學(xué)習(xí)一個(gè)重要的刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量——平均數(shù)。話題3：數(shù)據(jù)分析的方法2.整理、描述、分析數(shù)據(jù)的方法統(tǒng)計(jì)圖是描述數(shù)據(jù)的重要手段，可以直觀地表示數(shù)據(jù)。在第二學(xué)段學(xué)生學(xué)習(xí)的是條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖（在第二學(xué)段要求會(huì)看，第三學(xué)段要求會(huì)畫），其中，條形統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解不同“條”所代表的數(shù)量及其差異；扇形統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解不同部分占整體的百分比及其差異；折線統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解變化的情況，預(yù)測(cè)未來的趨勢(shì)。對(duì)于統(tǒng)計(jì)圖的學(xué)習(xí)，提出幾點(diǎn)需要注意的：第一，不要急于引入正規(guī)統(tǒng)計(jì)圖的學(xué)習(xí)，在第一學(xué)段《標(biāo)準(zhǔn)》要求鼓勵(lì)學(xué)生用自己的方式來描述數(shù)據(jù)。第二，在描述數(shù)據(jù)的過程中，使學(xué)生不斷體會(huì)各種統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)，能根據(jù)實(shí)際問題選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖來描述數(shù)據(jù)。第三，鼓勵(lì)學(xué)生讀懂媒體中的一些統(tǒng)計(jì)圖表。第四，鼓勵(lì)學(xué)生從統(tǒng)計(jì)圖中獲取盡可能地有用信息。這個(gè)問題也是大家普遍困惑的，到底引導(dǎo)學(xué)生從哪些方面來“讀圖”呢。讀圖的三個(gè)水平（1）數(shù)據(jù)本身的讀?。╮eadingthedata），包括用能夠得到的信息來回答具體的問題，這些問題圖表中有明顯的答案。(2)數(shù)據(jù)之間的讀?。╮eadingbetweenthedata）。這包括做比較(例如比較好、最好，最高、最小等)和對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行操作(例如加減乘除)。(3)超越數(shù)據(jù)本身的讀取（readingbeyondthedata），包括通過數(shù)據(jù)來進(jìn)行推斷預(yù)測(cè)推理，并回答具體的問題。小婷身高統(tǒng)計(jì)圖小婷身高統(tǒng)計(jì)圖小婷身高統(tǒng)計(jì)圖北京城市女生身高生長情況統(tǒng)計(jì)北京城市女生身高生長情況統(tǒng)計(jì)

以上“三次預(yù)測(cè)”的案例是鼓勵(lì)學(xué)生從數(shù)據(jù)中獲取合理信息的有益嘗試，在實(shí)踐中我們還需要更多的案例，以及如何鼓勵(lì)學(xué)生有效獲取信息的策略，這也構(gòu)成了需要進(jìn)一步研究的問題。話題3：數(shù)據(jù)分析的方法刻畫數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量有哪些？

最多、最少平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差

話題3：數(shù)據(jù)分析的方法

平均數(shù)的三個(gè)角度：算法理解、概念理解、統(tǒng)計(jì)理解。注重平均數(shù)的理解話題3：數(shù)據(jù)分析的方法平均數(shù)意義及價(jià)值的學(xué)習(xí)

案例：北京大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)小學(xué)王杰平均數(shù)案例1．利用節(jié)約用水信息深入理解平均數(shù)的意義。師：我這也有條信息，我們一起看看。（1）出示：節(jié)約用水圖。師：為什么要節(jié)約用水？（根據(jù)學(xué)生回答評(píng)價(jià)學(xué)生的節(jié)能意識(shí)）那我們來看看我們國家的淡水情況。（2）出示：我國淡水資源總量為28000億立方米，僅次于巴西、俄羅斯和加拿大，居世界第四位。師：找一名同學(xué)讀一讀?？吹竭@條信息你有什么感覺？（學(xué)生可能產(chǎn)生疑問：水并不少，世界100多個(gè)國家，我們排第四名。）（3）我們?cè)賮砜纯聪旅孢@條信息。出示：我國人均水資源只有2300立方米，在世界上名列第121位，是全球人均水資源最貧乏的國家之一。師：請(qǐng)大家靜靜的讀一讀這條信息，你發(fā)現(xiàn)了什么？（這里想讓學(xué)生通過名次下降或貧乏再次提起對(duì)平均數(shù)的理解?！柏毞Α边@個(gè)詞是什么意思？有那么多水，怎么用貧乏來形容我們國家了呢？）總結(jié)：言之有理，看來同學(xué)們對(duì)平均數(shù)的理解越來越深刻了，光比總量是不行的，還要看我們的人均水資源。好，那對(duì)于我們國家來說，就更應(yīng)該去節(jié)約用水了。平均數(shù)案例2.出示：兒童乘車免票線“長個(gè)”了的標(biāo)題。師：你知道什么叫“兒童乘車免票線”嗎？沒錯(cuò)，就是這條線，我們來看看（圖略）。經(jīng)過市發(fā)改委與相關(guān)部門研究決定，將北京市六歲以下兒童1.1米乘車免票線提高到了1.2米。師：為什么要提高？（學(xué)生自然會(huì)想到：孩子們都長高了。）師：我們?cè)趺慈ゴ_定這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的呢？（學(xué)生可能會(huì)回答：我們可以調(diào)查一下。）平均數(shù)案例2師：調(diào)查誰？如果數(shù)據(jù)來了，有高的、有矮的，如何處理？（這里要明確調(diào)查六歲兒童的身高，滲透抽樣調(diào)查的想法。學(xué)生結(jié)合平均數(shù)的理解，回答調(diào)查完了可以計(jì)算平均數(shù)。）師：總結(jié)：我們同學(xué)真了不起，既能準(zhǔn)確理解平均數(shù)的意義，又能想到可操作的辦法。那我們一起看看實(shí)際是怎樣做的。據(jù)統(tǒng)計(jì)，目前我市6歲男童身高的平均值為119.3厘米，女童身高平均值為118.7厘米。和你們想的一樣，市發(fā)改委就是參照了我市6歲兒童的平均身高，才確定了免票線的高度。看來，這平均數(shù)的作用真是不小，連確定免票線的高度都可以參照它。平均數(shù)案例3.那你們能利用平均數(shù)幫我解決判斷一件事情嗎？出示據(jù)統(tǒng)計(jì)，周一至周五晚高峰時(shí)，平均每小時(shí)需要通過1號(hào)橋的車輛為1756輛，需要通過2號(hào)橋的車輛965輛（兩個(gè)橋的寬度等條件差不多）。王老師回家這兩條路都可以，并且駕車路程差不多你們覺得我走哪好？那我走那一定快嗎？為什么？（學(xué)生建議教師走2號(hào)橋，但偶爾也不一定快）總結(jié)：同學(xué)們理解得很好，平均數(shù)可以用來作參考，但是它反映的只是一般情況，并不能反映出某種特殊情況。平均數(shù)案例第一個(gè)信息，首先提出我國為什么要節(jié)約用水，引發(fā)學(xué)生思考，然后出示我國的淡水資源情況，使學(xué)生體會(huì)我國的淡水總量很多，世界排第四位，最后出示我國的人均水資源情況。在這個(gè)過程中，學(xué)生體會(huì)到了在水資源這個(gè)問題上，我們光看總量不能說明問題，還要看人均水資源，從而體會(huì)了平均數(shù)的價(jià)值。平均數(shù)案例第二個(gè)信息，兒童乘車免票線問題。這個(gè)環(huán)節(jié)不但能夠使學(xué)生再次體會(huì)平均數(shù)的價(jià)值，而且還滲透了抽樣的想法。第三個(gè)信息，走哪條路。學(xué)生根據(jù)平均需要通過的車輛，幫助老師選擇路線并且進(jìn)行分析，使學(xué)生可以體會(huì)到，一方面，平均數(shù)可以用來做重要依據(jù)；另一方面，它反映的只是一般情況，并不排除某種特殊情況。從而既體會(huì)平均數(shù)的意義，又體會(huì)了數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。

平均數(shù)案例平均數(shù)與中位數(shù)、眾數(shù)的關(guān)系

我們現(xiàn)在處理的數(shù)據(jù)，大部分是對(duì)稱的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)符合或者近似符合正態(tài)分布。這時(shí)候，均值（平均數(shù)）、中位數(shù)和眾數(shù)是一樣的。

小學(xué)階段不要求中位數(shù)、眾數(shù)

只有在數(shù)據(jù)分布偏態(tài)（不對(duì)稱）的情況下，才會(huì)出現(xiàn)均值、中位數(shù)和眾數(shù)的區(qū)別。所以說，如果是正態(tài)的話，用哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量都行。如果偏態(tài)的情況特別嚴(yán)重的話，可以用中位數(shù)。

根據(jù)不同的問題選擇不同的統(tǒng)計(jì)量。平均數(shù)與中位數(shù)、眾數(shù)的關(guān)系2.整理、描述、分析數(shù)據(jù)的方法教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)習(xí)的方法，盡可能多地從數(shù)據(jù)中提取有用的數(shù)據(jù)，并且能夠根據(jù)問題的背景選擇合適的方法，而不是單純地名詞、計(jì)算方法等的掌握。話題3：數(shù)據(jù)分析的方法關(guān)于統(tǒng)計(jì)的教學(xué)建議1.發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，感受統(tǒng)計(jì)的價(jià)值教學(xué)中應(yīng)注重設(shè)計(jì)貼近學(xué)生生活的情境，使他們經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)的過程，逐步發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。在教師新課程實(shí)踐中，已經(jīng)積累了在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的教學(xué)策略，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。話題3：數(shù)據(jù)分析的方法關(guān)于統(tǒng)計(jì)的教學(xué)建議1.發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，感受統(tǒng)計(jì)的價(jià)值（1）設(shè)計(jì)問題情境使學(xué)生體會(huì)需要收集數(shù)據(jù)教師需要自己善于收集和積累生活中的數(shù)據(jù)，并根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)加以有效改造，設(shè)計(jì)成學(xué)生可以學(xué)習(xí)的情境。話題3：數(shù)據(jù)分析的方法關(guān)于統(tǒng)計(jì)的教學(xué)建議1.發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，感受統(tǒng)計(jì)的價(jià)值（1）設(shè)計(jì)問題情境使學(xué)生體會(huì)需要收集數(shù)據(jù)話題3：數(shù)據(jù)分析的方法（2）分析數(shù)據(jù)能幫助人們做什么（3）收集和積累統(tǒng)計(jì)應(yīng)用的例子無論是教材中的例子也好，還是在生活中遇到的例子也好，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生積累起來并適時(shí)展示交流，學(xué)生就能體會(huì)到統(tǒng)計(jì)在方方面面的應(yīng)用。關(guān)于統(tǒng)計(jì)的教學(xué)建議1.發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，感受統(tǒng)計(jì)的價(jià)值（1）設(shè)計(jì)問題情境使學(xué)生體會(huì)需要收集數(shù)據(jù)話題3：數(shù)據(jù)分析的方法（2）分析數(shù)據(jù)能幫助人們做什么（3）收集和積累統(tǒng)計(jì)應(yīng)用的例子（4）開展一些實(shí)踐活動(dòng)關(guān)于統(tǒng)計(jì)的教學(xué)建議1.發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，感受統(tǒng)計(jì)的價(jià)值話題3：數(shù)據(jù)分析的方法2.教師要重視統(tǒng)計(jì)，并把發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)作為重要的教學(xué)目標(biāo)3.切忌將統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)處理成單純數(shù)字計(jì)算和繪圖技能話題4：數(shù)據(jù)的隨機(jī)性及簡(jiǎn)單隨機(jī)事件

發(fā)生的可能性1．?dāng)?shù)據(jù)隨機(jī)性的內(nèi)涵

數(shù)據(jù)的隨機(jī)性主要有兩層涵義：一方面對(duì)于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會(huì)是不同的；另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。1．?dāng)?shù)據(jù)隨機(jī)性的內(nèi)涵老師們存在這樣的困惑：概率也是研究隨機(jī)現(xiàn)象的，那么為什么又提出數(shù)據(jù)的隨機(jī)性呢？

統(tǒng)計(jì)與概率都是研究隨機(jī)現(xiàn)象的學(xué)科。

話題4：數(shù)據(jù)的隨機(jī)性及簡(jiǎn)單隨機(jī)事件

發(fā)生的可能性1．?dāng)?shù)據(jù)隨機(jī)性的內(nèi)涵陳希孺先生說“不論怎么說，機(jī)遇（或說偶然性)無所不在，機(jī)遇伴隨著人的一生(當(dāng)然隨人的情況而有異)，這是一個(gè)無法回避的現(xiàn)實(shí)”。統(tǒng)計(jì)與概率正是從不同的角度研究如何刻畫隨機(jī)現(xiàn)象，統(tǒng)計(jì)側(cè)重于從數(shù)據(jù)來刻畫隨機(jī)，概率側(cè)重于建立理論模型來刻畫隨機(jī)。話題4：數(shù)據(jù)的隨機(jī)性及簡(jiǎn)單隨機(jī)事件

發(fā)生的可能性對(duì)于這個(gè)問題，史寧中教授這樣回答:我聽了一些課，老師們經(jīng)常這樣處理：比如對(duì)于擲一枚均勻的硬幣，先得到出現(xiàn)正面或反面的概率是1/2，然后讓學(xué)生通過反復(fù)擲硬幣去驗(yàn)證這個(gè)結(jié)果。這里有兩個(gè)問題。第一，一個(gè)硬幣，先假定它出現(xiàn)正面和反面的可能性是1/2，這是數(shù)學(xué)（或者稱為概率）。這個(gè)1/2是通過概率的定義得到的，不是依靠擲硬幣驗(yàn)證出來的。實(shí)際上，學(xué)生做了很多次實(shí)驗(yàn)也得不到1/2，反而更加糊涂了。

話題4：數(shù)據(jù)的隨機(jī)性及簡(jiǎn)單隨機(jī)事件

發(fā)生的可能性第二，運(yùn)用定義的方式教學(xué)隨機(jī)，不能很好的培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)觀念。需要指出的是，我們贊成做實(shí)驗(yàn)，贊成運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的思想來做實(shí)驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)是通過數(shù)據(jù)來獲取一些信息，來幫助人們做出一些判斷。同樣是擲硬幣的問題，在統(tǒng)計(jì)上就會(huì)這樣設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)：先讓學(xué)生多次擲硬幣，計(jì)算出現(xiàn)正面的比例（頻率），然后用頻率來估計(jì)一下出現(xiàn)正面的可能性是多大。如果這個(gè)可能性接近1/2的話，就推斷這個(gè)硬幣大概是均勻的，這是統(tǒng)計(jì)的思想。話題4：數(shù)據(jù)的隨機(jī)性及簡(jiǎn)單隨機(jī)事件

發(fā)生的可能性對(duì)于先給出定義，教師往往比較習(xí)慣，而對(duì)于“逆過來”通過數(shù)據(jù)來進(jìn)行推斷，教師往往比較陌生。

同樣是一個(gè)袋子里有5個(gè)球，4個(gè)白球、1個(gè)紅球，如果讓學(xué)生通過摸來驗(yàn)證出現(xiàn)白球的可能性是4/5、出現(xiàn)紅球的可能性是1/5，這不是統(tǒng)計(jì)。話題4：數(shù)據(jù)的隨機(jī)性及簡(jiǎn)單隨機(jī)事件

發(fā)生的可能性告訴學(xué)生們袋子里有很多球，有白顏色的和紅顏色的。讓孩子們?nèi)ッ揭欢ǔ潭鹊臅r(shí)候，學(xué)生發(fā)現(xiàn)摸出白球的次數(shù)比紅球的次數(shù)多，由此推斷袋子里白球可能比紅球多。進(jìn)一步的話，能推斷出白球和紅球的比例大概是多少。再告訴球的總數(shù)的時(shí)候，能夠估計(jì)出來幾個(gè)白球和幾個(gè)紅球，這個(gè)是統(tǒng)計(jì)的過程。

案例：《游戲公平》北京第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)華應(yīng)龍?jiān)掝}4：數(shù)據(jù)的隨機(jī)性及簡(jiǎn)單隨機(jī)事件

發(fā)生的可能性《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂稿把“數(shù)據(jù)分析觀念”作為核心概念，它是理解“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容的基本線索。

關(guān)于“數(shù)據(jù)分析觀念”，《課標(biāo)》是從三個(gè)方面描述的：了解現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析作出判斷，體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含著信息；了解同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性，一方面對(duì)于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。一、在具體情境中，感受統(tǒng)計(jì)的價(jià)值1.引出問題：奧運(yùn)會(huì)在北京召開，一張籃球賽的球票，成為爸爸和他上大學(xué)二年級(jí)的兒子爭(zhēng)奪的目標(biāo)。兒子建議拋啤酒瓶蓋決定輸贏，并自選正面向上。正面反面2.討論方法好不好：師：這個(gè)方法好不好？認(rèn)為不好的同學(xué)請(qǐng)舉手，認(rèn)為好的同學(xué)請(qǐng)舉手，棄權(quán)的同學(xué)請(qǐng)舉手。師：現(xiàn)在我們碰到一個(gè)問題，這種方法究竟好不好呢？（再次統(tǒng)計(jì)學(xué)生意見，有的認(rèn)為好，有的認(rèn)為不好，沒有棄權(quán)的同學(xué)）師：同學(xué)們意見不統(tǒng)一，怎么辦呢？生：做個(gè)試驗(yàn)。師：準(zhǔn)備怎么做試驗(yàn)?zāi)兀可耗脗€(gè)啤酒瓶蓋投一下，正面朝上兒子去，反面朝上爸爸去。師：是投一下，還是投幾下？生：投幾下。師：如果我們拋10下，要得到怎樣的數(shù)據(jù)才能支持我的觀點(diǎn)呢？我認(rèn)為好需要怎樣的數(shù)據(jù)？我認(rèn)為不好需要怎樣的數(shù)據(jù)？（教師讓學(xué)生思考）二、在拋啤酒瓶蓋實(shí)驗(yàn)中，感受數(shù)據(jù)的隨機(jī)性

【課堂教學(xué)回顧】學(xué)生分組做實(shí)驗(yàn)，每小組拋10次，記錄正面、反面朝上的次數(shù)。小組匯報(bào)試驗(yàn)數(shù)據(jù)及推斷結(jié)果：（有的組認(rèn)為這種方法不好，因?yàn)檎娉系拇螖?shù)少，反面朝上的次數(shù)多；有的組認(rèn)為這種方法還可以，因?yàn)檎?、反面朝上的次?shù)相差不多）師：全班要做出一個(gè)判斷，怎么辦呢？生1：我們統(tǒng)一用一個(gè)啤酒瓶蓋做10次試驗(yàn)。師：我很佩服你，是個(gè)想法。生2：把全班統(tǒng)計(jì)的結(jié)果加起來。二、在拋啤酒瓶蓋實(shí)驗(yàn)中，感受數(shù)據(jù)的隨機(jī)性

【課堂教學(xué)回顧】全班統(tǒng)計(jì)結(jié)果：正面58次，反面182次師：我們看看全班得出的數(shù)據(jù)，能看出什么？生：反面贏的的次數(shù)比正面多。生：（立即補(bǔ)充）多得多?！瓗煟寒?dāng)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)比較少的時(shí)候，偶然性就比較大。實(shí)驗(yàn)次數(shù)比較多的時(shí)候，本來面目就表現(xiàn)出來了，隱藏的秘密我們就看到了，我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)規(guī)律：啤酒瓶蓋反面朝上的可能性大。三、擲骰子試驗(yàn)，通過數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷【課堂教學(xué)回顧】師：我給大家準(zhǔn)備了兩種骰子，一種是均勻的，另一種是不均勻的，但不知道哪種是均勻的，哪種是不均勻的。一、二、三組是一種骰子，四、五、六組是一種骰子。每個(gè)小組拋15次，我們統(tǒng)計(jì)“1”點(diǎn)和“6”點(diǎn)的次數(shù)。（統(tǒng)計(jì)結(jié)果：一、二、三組“1”點(diǎn)33次，“6”點(diǎn)38次；四、五、六組“1”點(diǎn)31次，“6”點(diǎn)14次）生：一、二、三組的骰子是均勻的，四、五、六組的骰子是不均勻的。（學(xué)生都同意）師：想知道結(jié)果嗎？其實(shí)骰子是一樣的，不一樣的是我請(qǐng)工匠在四、五、六組的骰子“6”點(diǎn)上加重了，剛才我們的試驗(yàn)成功了嗎？四、通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果體會(huì)隨機(jī)性【課堂教學(xué)回顧】課到結(jié)尾，再次討論開始時(shí)父子設(shè)計(jì)規(guī)則決定誰去看比賽的問題。師：我兒子已經(jīng)是復(fù)旦大學(xué)二年級(jí)的學(xué)生了，他是知道啤酒瓶蓋反面朝上可能性大的。想到這一點(diǎn)，我心里特別幸福：有這樣的兒子真好！我把啤酒瓶蓋給我愛人，請(qǐng)她拋一次……（學(xué)生好奇地等待著）師：正面朝上?。▽W(xué)生表情：有的驚訝、有的興奮、有的不解）四、通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果體會(huì)隨機(jī)性【課堂教學(xué)回顧】師：不是反面朝上的可能性大嗎？為什么呢？生：有可能兒子把反面加重了。師：如果是你肯定不會(huì)這樣做的。生：可能只是一次偶然，不可能百分之百反面朝上。師：也就是說可能性小的也有可能發(fā)生。教師無聲的出示一句廣告語——一切皆有可能。師：結(jié)果是不公平的，那公平的是什么呢？可能性相等就是公平的。2．合理設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，體會(huì)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性第一類：“驗(yàn)證”類

老師拿出一個(gè)盒子，盒子里有9個(gè)白球、1個(gè)黃球。如果從中任意摸出1個(gè)球，可能是什么顏色的球?摸到白球的可能性有多大，黃球呢？(學(xué)生略做思考后交流。)

話題4：數(shù)據(jù)的隨機(jī)性及簡(jiǎn)單隨機(jī)事件

發(fā)生的可能性生1：可能摸到白球，也可能是黃球。生2：摸到白球的可能性是9/10，因?yàn)橛?0個(gè)球，其中9個(gè)是白球。（大家都表示同意）師:好，下面就請(qǐng)你們分小組摸球，記錄摸球的結(jié)果，驗(yàn)證一下大家的想法。話題4：數(shù)據(jù)的隨機(jī)性及簡(jiǎn)單隨機(jī)事件

發(fā)生的可能性第二類：體會(huì)隨機(jī)類組織小組活動(dòng)：盒子里有3個(gè)黃球、3個(gè)白球。每次摸出1個(gè)，摸之前先猜猜你會(huì)摸到什么顏色的球?每次你都猜對(duì)了么?活動(dòng)結(jié)束時(shí)，老師詢問:有沒有每次都猜對(duì)的同學(xué)?(全班只有2人舉手。)師:為什么我們那么多的同學(xué)都沒有猜對(duì)呢?(此時(shí)，兩個(gè)猜對(duì)的同學(xué)急于向大家介紹方法。)話題4：數(shù)據(jù)的隨機(jī)性及簡(jiǎn)單隨機(jī)事件

發(fā)生的可能性生1:黃球和白球摸在手里的感覺不一樣!師:(饒有興趣地)真的嗎?讓我們見識(shí)一下!生1:(摸出一球，沒看前猜測(cè))黃色!(拿出后是白色，生1低頭坐了下去。)師:怎么不試了?生1：沒有信心了。師:怎么就沒有信心了?生1:摸在手里分辨不出來。話題4：數(shù)據(jù)的隨機(jī)性及簡(jiǎn)單隨機(jī)事件

發(fā)生的可能性生2:我發(fā)現(xiàn)了，如果第一次摸出來的是黃球，第二次就猜是白球，是交錯(cuò)出現(xiàn)的。師:你剛才就是這樣猜的，結(jié)果都對(duì)了嗎?