第五章《平面向量與解三角形》第01講平面向量的概念及線性運(yùn)算1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任意向量平行．(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.一．平面向量的概念例1．（1）下列說法：①若兩個(gè)空間向量相等，則表示它們有向線段的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②若向量，滿足，且與同向，則；③若兩個(gè)非零向量與滿足，則，為相反向量；④的充要條件是A與C重合，B與D重合.其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4（2）下列說法正確的是（）A．向量與向量是共線向量，則點(diǎn)必在同一條直線上B．兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量C．長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量D．兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同（3）設(shè)為單位向量，下列命題中：①若為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則；②若與平行，則；③若與平行且，則，假命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0B．1C．2D．3（4）設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是（

）A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|（5）(多選)下列命題正確的有()A．方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線B．單位向量都相等C．若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同D．“若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”?“四邊形ABCD是平行四邊形”【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆．(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量．二．平面向量的線性運(yùn)算命題點(diǎn)1向量加、減法的幾何意義例2．（1）設(shè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則()A．a(chǎn)⊥b B．|a|＝|b|C．a(chǎn)∥b D．|a|>|b|（2）為非零向量，且，則（

）A．，且與方向相同 B．是共線向量且方向相反C． D．無論什么關(guān)系均可（3）在四邊形ABCD中，，，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．（4）在四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，若，則四邊形一定是（

）A．矩形 B．梯形 C．平行四邊形 D．菱形（5）為平面上的定點(diǎn)，是平面上不共線的三點(diǎn)，若，則是（

）A．以為底邊的等腰三角形B．以為底邊的等腰三角形C．以為斜邊的直角三角形D．以為斜邊的直角三角形（6）在中，設(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過的（

）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：求已知向量的和或差：=1\*GB3①共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；=2\*GB3②求差用向量減法的幾何意義；=3\*GB3③求首尾相連向量的和用三角形法則．命題點(diǎn)2向量的線性運(yùn)算例3．（1）設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則（

）A． B． C． D．（2）如圖所示，在正方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（）A．B．C．D．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：向量的運(yùn)算有兩種方法：一是幾何運(yùn)算，往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答，運(yùn)算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標(biāo)運(yùn)算，建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答（求最值與范圍問題，往往利用坐標(biāo)運(yùn)算比較簡(jiǎn)單）．（3）衡量鉆石價(jià)值的4C標(biāo)準(zhǔn)之一是切工．理想切工是一種高雅且杰出的切工，它使鉆石幾乎反射了所有進(jìn)入鉆石的光線．現(xiàn)有一理想切工的鉆石，其橫截面如圖所示，其中為等腰直角三角形，四邊形BCDE為等腰梯形，且，，，則（

）A． B．C． D．（4）如圖，在四邊形中，，，，E是邊上一點(diǎn)且，F(xiàn)是的中點(diǎn)，則下列關(guān)系式不正確的是（

）A． B．C． D．命題點(diǎn)3根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)例4．（1）如圖，已知中，為的中點(diǎn)，，若，則（）A． B． C． D．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值．（2）如圖，在中，點(diǎn)是上的點(diǎn)，且，且是的中點(diǎn)，與的交點(diǎn)為，又，則實(shí)數(shù)________.（3）已知G是的重心，點(diǎn)D滿足，若，則為（

）A． B． C． D．1（4）中，點(diǎn)滿足，若，則___________.三．共線定理的應(yīng)用例5．（1）已知向量，不共線，且，，若與反向共線，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A．1B．C．1或D．或（2）已知a，b是不共線的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ，μ的關(guān)系一定成立的是()A．λμ＝1 B．λμ＝－1C．λ－μ＝－1 D．λ＋μ＝2（3）在中，，分別是，的中點(diǎn)，是線段上的一動(dòng)點(diǎn)（不含兩個(gè)端點(diǎn)）．若，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．（4）設(shè)e1與e2是兩個(gè)不共線向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值為________．（5）在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，若，，則______．（6）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若直線外一點(diǎn)滿足，且三點(diǎn)共線，則____________．（7）中，，E是直線BD上的一點(diǎn)，設(shè)，則x＝______（用y表示）；的最小值為______．（8）兩個(gè)非零向量不共線．=1\*GB3①若，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；=2\*GB3②求實(shí)數(shù)k使與共線．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù)．注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用．(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即A，B，C三點(diǎn)共線?eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線．(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(4)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1.1．有下列命題：①兩個(gè)相等向量，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同；②若，則；③若，則四邊形是平行四邊形；④若，，則；⑤若，，則；⑥有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中，假命題的個(gè)數(shù)是（

）

A． B． C． D．2．平面內(nèi)三個(gè)單位向量，，滿足，則（

）A．，方向相同 B．，方向相同C．，方向相同 D．，，兩兩互不共線3．已知非零向量、滿足，且，則的形狀是（

）A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰（非等邊）三角形 D．等邊三角形4．下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（

）①若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合；②若||＝||，則＝或＝－；③若(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零；④已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若，則與共線．A．0B．1C．2D．35．設(shè)是非零向量，則“”是“與共線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．在四邊形中，，則一定有（

）A．四邊形是矩形 B．四邊形是菱形C．四邊形是正方形 D．四邊形是平行四邊形7．在中，，，為的重心，則的值為（

）A．1 B． C． D．28．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M是線段CD的中點(diǎn)，，則=（

）A． B． C． D．9．中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且滿足，交于點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．10．在中，有下列四個(gè)命題：①；②；③若，則為等腰三角形；④若，則為銳角三角形.其中所有正確的命題序號(hào)有（

）A．①② B．①④ C．①②③ D．①②③④11．如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，且，則（

）A． B． C． D．12．已知，若A、、三點(diǎn)共線，則為（

）A． B． C． D．13．設(shè)是向量，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．在中，是邊的中點(diǎn)，角的對(duì)邊分別是，若，則為（

）A．直角三角形 B．鈍角三角形C．等邊三角形 D．等腰三角形15．如圖所示，已知點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)作直線分別交，兩邊于，兩點(diǎn)，且，，則的最小值為（

）A． B． C． D．16．若點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，且是直線上一點(diǎn)，，則的最小值是（

）．A．2B．1C．D．17．記內(nèi)角的對(duì)邊分別為，點(diǎn)是的重心，若則的取值是（

）A． B． C． D．18．已知O是內(nèi)一點(diǎn)，，若與的面積之比為，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．19．在平行四邊形中，是邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若，，則（

）A． B． C． D．20．已知中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則“”為“點(diǎn)為重心”（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要21．如圖，在中，O為線段BC上一點(diǎn)，且，G為線段AO的中點(diǎn)，過點(diǎn)G的直線分別交直線AB，AC于D，E兩點(diǎn)，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．222．點(diǎn)P是所在平面上一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（

）A． B．3 C． D．23．已知點(diǎn)在所在平面內(nèi)，滿，，則點(diǎn)依次是的（

）A．重心，外心 B．內(nèi)心，外心 C．重心，內(nèi)心 D．垂心，外心24．已知，是不共線的向量，則是向量，平行的（

）條件A．必要不充分 B．充分不必要C．充分必要 D．既不充分也不必要25．在中，，，交于，，則（

）．A． B． C． D．26．已知是平面上的4個(gè)定點(diǎn)，不共線，若點(diǎn)滿足，其中，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心27．設(shè)是單位向量，，，，則四邊形是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形28．（多選）下面的命題正確的有（

）A．方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線B．單位向量都相等C．若，滿足且與同向，則D．“若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，且”“四邊形ABCD是平行四邊形”29．（多選）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則或B．若，，則C．若，，則D．若，，則或30．（多選）若，，是任意的非零向量，則下列敘述正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，則31．（多選）下列有關(guān)四邊形的形狀，判斷正確的有（

）A．若，則四邊形為平行四邊形B．若，則四邊形為梯形C．若，則四邊形為菱形D．若，且，則四邊形為正方形32．（多選）下列說法中正確的是（

）A．“”是“”的充分不必要條件B．在中，“”，是“”的充要條件C．“a，G，b成等比數(shù)列”是“”的充要條件D．“”是“存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得”的必要不充分條件33．（多選）對(duì)于菱形ABCD，給出下列各式，其中結(jié)論正確的為（

）A． B．C． D．34．（多選）已知O，N，P，I在所在的平面內(nèi)，則下列說法正確的是（

）A．若，則O是外心 B．若，則P是垂心C．若，則N是重心 D．若，則I是內(nèi)心35．（多選）等邊三角形中，，AD與BE交于F，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．36．（多選）已知，，，點(diǎn)M滿足且，則（

）A． B．C． D．37．（多選）以下選項(xiàng)中，能使成立的條件有（

）A． B．或C． D．與都