第第頁北京市2022-2023年上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題知識(shí)點(diǎn)分類匯編-02二次函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)及圖像與系數(shù)的關(guān)系（含解析）中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)

北京市2022-2023年上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題知識(shí)點(diǎn)分類匯編-02二次函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)及圖像與系數(shù)的關(guān)系

一、單選題

1．（2023秋·北京東城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形和的周長之和為，設(shè)圓的半徑為，正方形的邊長為，陰影部分的面積為．當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）

A．一次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系B．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

C．二次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系D．二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系

2．（2023秋·北京平谷·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如果I表示汽車經(jīng)撞擊之后的損壞程度，經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)研究后知道，I與撞擊時(shí)的速度v的平方之比是常數(shù)2，則I與v的函數(shù)關(guān)系為（）

A．正比例函數(shù)關(guān)系B．反比例函數(shù)關(guān)系C．一次函數(shù)關(guān)系D．二次函數(shù)關(guān)系

3．（2023秋·北京密云·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)，則下列說法正確的是（）

A．二次函數(shù)圖象開口向上B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值是3

C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值是3D．當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大

4．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）已知函數(shù)的圖象上有，，三點(diǎn)，則、、的大小關(guān)系（）

A．B．C．D．

5．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）若點(diǎn)，在拋物線上，則的值為（）

A．2B．1C．0D．

6．（2023秋·北京通州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A．B．C．D．

7．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）下列拋物線的對稱軸是直線的是（）．

A．B．C．D．

8．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A．B．C．D．

9．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有五個(gè)點(diǎn)，．將二次函數(shù)的圖象記為G，下列結(jié)論中正確的有（）

①點(diǎn)A一定在G上；

②點(diǎn)可以同時(shí)在G上；

③點(diǎn)可以同時(shí)在G上；

④點(diǎn)不可能同時(shí)在G上．

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

10．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）二次函數(shù)的最小值是（）

A．3B．1C．3D．1

11．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2﹣4，當(dāng)﹣1≤x≤4時(shí)，y的最大值是5，則a的值是（）

A．﹣1B．﹣2C．1D．2

12．（2023秋·北京東城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于二次函數(shù)的最大值或最小值，下列說法正確的是（）

A．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值6

二、填空題

13．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)的部分圖像如圖所示，則0（填“”或“”或“”）．

14．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則0（填“”，“”或“”）．

15．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，當(dāng)x＞0時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則a的值是．

16．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）如圖是二次函數(shù)的圖象，其對稱軸為直線，且過點(diǎn)．有以下四個(gè)結(jié)論：

①，②，③，④若頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，y有最大值為2、最小值為，此時(shí)m的取值范圍是．其中正確結(jié)論是．（填序號(hào)）．

17．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸的交點(diǎn)在之間(包含端點(diǎn))，有下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的有

18．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)的對稱軸為直線，它的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，．對于下列四個(gè)結(jié)論：

①；

②；

③方程的解為，；

④對于任意實(shí)數(shù)，總有．

其中正確的結(jié)論是．（填寫序號(hào)）．

19．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）二次函數(shù)中，x與y的部分對應(yīng)值如下表：

x…023…

y…8003…

則下列說法：①圖象經(jīng)過原點(diǎn)；②圖象開口向下；③圖象的對稱軸為直線；④當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；⑤圖象經(jīng)過點(diǎn)．其中正確的是．

20．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)中a＜0，b＞0，c＜0，則此函數(shù)的圖象不經(jīng)過第象限．

21．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）函數(shù)的圖象如圖所示，則0．（填“>”，“=”，或“0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,6），

∴函數(shù)有最小值為6．

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的解析式確定a的符號(hào)和根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出最值．

13．

【分析】由已知的圖像可知二次函數(shù)圖像的對稱軸，然后根據(jù)拋物線的對稱性，觀察圖像可知當(dāng)時(shí)，，即可獲解．

【詳解】解：∵拋物線對稱軸為直線，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在之間，

∴另一個(gè)交點(diǎn)在0、1之間，

∴當(dāng)時(shí)，，則，

故答案為：．

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像的對稱性是解答此題的關(guān)鍵．

14．

【分析】根據(jù)拋物線的開口方向，判斷的符號(hào)，根據(jù)對稱軸的位置，判斷的符號(hào)，進(jìn)而得到的符號(hào)．

【詳解】解：由圖象，可知：拋物線的開口向上：，

對稱軸在的右側(cè)：，即：，

∴；

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．

15．/0.25

【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可．

【詳解】解：∵當(dāng)x＞0時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

∴二次函數(shù)圖象開口向上，

∵當(dāng)x＞0時(shí)，可知拋物線對稱軸在y右側(cè)，為直線，如圖，

∵點(diǎn)在拋物線的圖象上，

∴，

當(dāng)時(shí)，y有最小值為，，

∵，

∵，

∴，

∴，

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)已知條件確定拋物線開口向上是解答本題的關(guān)鍵．

16．①②③④

【分析】①根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸，，即可判斷出；②結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值大于1，代入即可判斷；③結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值小于0，代入即可判斷；④運(yùn)用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的對稱性即可判斷．

【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象，其對稱軸為直線，且過點(diǎn)，

∴，，

∴，

∴，故①正確；

從圖中可以看出，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值大于1，因此將代入得，，即，故②正確；

∵，

∴，從圖中可以看出，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值小于0，

∴，

∴，故③正確；

∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將代入得，，

解得，

∴二次函數(shù)的解析式為，

∴當(dāng)時(shí)，；

∴根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，得到，故④正確；

綜上所述，①②③④均正確，

故答案為：①②③④．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．

17．①③④

【分析】①由拋物線的對稱軸為直線x=1，當(dāng)，利用圖象可得，即可對于選項(xiàng)①作出判斷；②根據(jù)拋物線開口方向判定的符號(hào)，由對稱軸方程求得與的關(guān)系是，將其代入，并判定其符號(hào)；③利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，然后根據(jù)的的取值范圍利用不等式的性質(zhì)來求的取值范圍；④把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得到，利用的取值范圍可以求得的取值范圍．

【詳解】解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴對稱軸直線是，

當(dāng)，

故①正確；

②觀察圖象得：拋物線開口方向向下，

∴，

∵對稱軸，

∴，

∴，即，故②錯(cuò)誤；

∵拋物線與軸交于點(diǎn)，

∴方程的兩根為，

∴，即，

∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在之間(包含端點(diǎn))，

∴，

∴，即，故③正確；

∵，，

∴，

∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴當(dāng)時(shí)，，

∵，

∴，即，故④正確；

綜上所述，正確的有①③④，

故答案為：①③④．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)系數(shù)符號(hào)由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與軸的交點(diǎn)拋物線與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定是解題的關(guān)鍵．

18．②③/③②

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開口向上，距離對稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)的函數(shù)值越大可判斷①；由對稱軸為可得它的圖象經(jīng)過點(diǎn)，從而可判斷②；由二次函數(shù)的對稱軸為直線，它的圖象經(jīng)過點(diǎn)，可得拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為：從而可判斷③；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值從而可判斷④．

【詳解】解：∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，

∴函數(shù)圖象的開口向上，距離對稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)的函數(shù)值越大，對稱軸為直線

∵它的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，

而

∴故①不符合題意；

由對稱軸為可得

∵它的圖象經(jīng)過點(diǎn)，

∴

∴故②符合題意；

∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，它的圖象經(jīng)過點(diǎn)，

∴拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為：

∴方程的解為，；故③符合題意；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值

∴對于任意實(shí)數(shù)有即故④不符合題意；

故答案為：②③

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，熟練的利用二次函數(shù)的性質(zhì)“判斷代數(shù)式的符號(hào)，判斷方程的根，代數(shù)式的最值”是解本題的關(guān)鍵．

19．①③⑤

【分析】結(jié)合圖表可以得出當(dāng)x=0或2時(shí)，y=0，x=3時(shí)，y=3，根據(jù)此三點(diǎn)可求出二次函數(shù)解析式，從而根據(jù)拋物線的圖象性質(zhì)可逐個(gè)判定即可．

【詳解】解：∵由圖表可以得出當(dāng)x=0或2時(shí)，y=0，x=3時(shí)，y=3，

∴，

解得：，

∴y=-2x，

∵c=0，

∴圖象經(jīng)過原點(diǎn)，故①正確；

∵a=1＞0，

∴拋物線開口向上，故②錯(cuò)誤；

∵y=-2x=，

∴拋物線的對稱軸為直線，

故③正確；

∵拋物線的對稱軸是直線x=1，拋物線開口向上，

∴x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小，故④錯(cuò)誤；

把x=-1代入得，y=3，

∴圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1，3），故⑤正確；

綜上，正確的有①③⑤．

故答案為：①③⑤．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及由解析式求函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)以及一元二次方程根的判別式的應(yīng)用．

20．二/2

【分析】根據(jù)已知條件“a＜0、b＞0、c＜0”判斷出該函數(shù)圖象的開口方向、與x和y軸的交點(diǎn)、對稱軸所在的位置，然后據(jù)此來判斷它的圖象一定不經(jīng)過第二象限．

【詳解】解：設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為：x1，x2，

①∵a＜0、c＜0，

∴＞0，

∴與的符號(hào)相同；

∴二次函數(shù)的圖象同時(shí)經(jīng)過二、三象限，或一、四象限，

②∵a＜0、b＞0，

∴二次函數(shù)的函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=-＞0，

∴二次函數(shù)的函數(shù)圖象的對稱軸在第一、四象限；

③又∵a＜0、c＜0，

∴該函數(shù)圖象的開口向下，且與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上；

綜合①②③，二次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第二象限．

故答案為：二．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)二次函數(shù)系數(shù)符號(hào)判斷拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點(diǎn)拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

21．

【分析】根據(jù)函數(shù)圖像判斷出的符號(hào)，即可求解．

【詳解】解：由二次函數(shù)的圖像可得，開口向下，與軸交點(diǎn)在軸上方

∴，

∴

故答案為

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系．

22．②③④

【分析】根據(jù)二次哈桉樹圖像可知，對稱軸是介于1和2之間，然后得到，進(jìn)而可分析①和②，然后設(shè)圖像與x軸的兩個(gè)焦點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1和x2且x1＜x2，然后根據(jù)根于系數(shù)關(guān)系分析③和④即可．

【詳解】解：由圖易知，

∵對稱軸位于y軸右側(cè)，

∴，

∴，

∴，故①錯(cuò)誤，

∵，

∴，

令，則＜0

∴，

∴，故②正確

設(shè)二次函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)焦點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1和x2且x1＜x2，則x1+x2＞m+n，

∵x1+x2=，

∴m+n＜，故③正確，

|x1-x2|==

由圖可知|x1-x2|＜4，

∴＜4，即，

∴＜16，故④成立，

綜上所述，②③④成立．

故答案為：②③④

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像性質(zhì)換個(gè)特征，結(jié)合二元一次方程與二次函數(shù)的聯(lián)系，靈活的應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

23．(1)

(2)

【分析】（1）直接把點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)代入得到關(guān)于、的方程組，然后解方程組求出、即可；

（2）利用配方法把配成，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，解得，

所以該二次函數(shù)的解析式為；

（2）解：，

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．

24．(1)6，．

(2)見解析

(3)隧道需標(biāo)注的限高應(yīng)為4.5米

【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知在時(shí)y取得最大值，然后運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

（2）根據(jù)題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，為x軸，為y軸建立平面直角坐標(biāo)，畫出函數(shù)圖像即可；

（3