（浙江省2021屆高考模擬試題匯編（三模））

圓錐曲線解答題

一、解答題

1.（浙江省金華市2021屆高三下學(xué)期5月高考仿真模擬試題）已知拋物線C的方程為

y2=2px（p>0）,它的焦點(diǎn)尸到點(diǎn)M（；，）的距離為%

（1）求拋物線C的方程；

（2）4、3、。是拋物線（7上不同三點(diǎn)，且A430是以3

為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求的最小.

【答案】（1）y2=4x；（2）16.

【分析】

（1）根據(jù)距離公式，直接帶入求值即可得解;

（2）根據(jù)拋物線方程設(shè)A（4/,4a）,B（4%初,。（4&2,44,由

=^|AB|2=8［（a2-b2）2+（a-b）2~\,山△48。為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以

（a2-b2）2=（b-dY，由福，而可得S+a）（d+0+l=O,帶入整理即可得解.

【詳解】

（1）由焦點(diǎn)"§,0）,距離公式可得

必=舊42°_》2=1

2

解得P=2或者〃=-1（舍）,

所以拋物線方程為V=4x,

N

(2)設(shè)4(4片,44),8(4%4〃),。(4八44),

兀皿/陰2=8[(。2一次+(j)2],

由4ABD是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

如圖，AB分別作垂直和平行于x軸的直線相交于M,

過(guò)反。分別作垂宜和平行于龍軸的直線相交于N則

4ABMmaDBN,所以BM=BN,

所以(/_b2)2=(匕一或2,

所以久AQ=；I=8[S-4)2+3—6)2]=8,2+2從+屋-2b(a+d)](*),

山麗J_麗，可得(4/一4。2)(4"2-46)+(4/7-44)(4〃-44)=0，

整理可得S—a)(d-b)[(b+a)(d+6)+1]=0,

由a,6,d互不相等,所以(b+a)(d+匕)+1=0,

即從+?d+l=-b(a+d),帶入(*)式可得：

S，ABD=8(/+2b2+d2+2h2+2ad+2)=8(432+(a+d)°+2],

當(dāng)6=0,a=-d時(shí)，△48。的面積最小，此時(shí)￡入9=16.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線方程，考查了拋物線上的點(diǎn)的相關(guān)性質(zhì)，考查計(jì)算這一核心能力，屬

于中檔題.本題的關(guān)鍵點(diǎn)有：

(1)首先利用設(shè)點(diǎn)，根據(jù)條件得到各個(gè)量之間的關(guān)系；

(2)計(jì)算能力和計(jì)算技巧是本題的關(guān)鍵能力.

2.(浙江省金華市東陽(yáng)市2021屆高三下學(xué)期5月模擬考試數(shù)學(xué)試題)如圖，已知拋物

線產(chǎn)=4x,過(guò)x軸正半軸上一點(diǎn)P的兩條直線分別交拋物線于4.t7和氏0兩點(diǎn),且4,

。在第一象限，直線A5與x軸的交點(diǎn)E在原點(diǎn)。和P點(diǎn)之間.

(1)若尸為拋物線的焦點(diǎn)，且MP|=3,求點(diǎn)

A的坐標(biāo)；

"(2)若尸為動(dòng)點(diǎn)，且ACDP的面積是人鉆2面

積的3倍，求您的值.

\0E\

【答案】(1)(2,20)；(2)73.

【分析】

(1)根據(jù)拋物線的定義，得到|AP±x+l=3,進(jìn)而求得點(diǎn)A的坐標(biāo);

(2)由于SASLBSWH，得到%”=3y%,設(shè)直線/：x=fy+”，聯(lián)立方程組得到

+

yMyN=^>丫”即=-4”,得到必為=3%必，求得〃?=儡，即可求解.

【詳解】

(1)設(shè)A(x,y),根據(jù)拋物線的定義，可得|AP|=x+l=3,所以x=2,可得丁=8,

因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所以y=2jl,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2播).

(2)設(shè)A(%，X),8(孫％),。(七,必)，。(七,％)，E(%0),尸(〃?,0),

鼠*四SMPD_\AP\

ILAC

\PB\'SACTOIPCr?"：，

|PQ|3\AP\乂「….

所以言7=一;”「「'所以y3y4=3)1%.

IIIUIJ2X

假設(shè)有過(guò)點(diǎn)(〃,0)的直線/：X=)+”交拋物線y2=4x于M,N兩點(diǎn),

聯(lián)立消去X的丁-4）-4〃=0,則有加+以=而，加即=-4〃，（*）

由(*)式可知y%=Y，"，y2y4=-4m,yty2=-4e.

.f4m)(\6m24m2

所以%為=----H-----=---=------=-120=3乂%，

IX八%J4ee

所以m=&,所以*^=竺=退.

IOE|e

【點(diǎn)睛】

直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題的求解策略:

對(duì)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用問(wèn)題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程,

應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及弦長(zhǎng)公式等進(jìn)行求解，此類問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜

式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力.

3.（浙江省溫州市普通高中2021屆高三下學(xué)期5月高考適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題）如圖，

4,8是橢圓C:《+V=l的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)尸是橢圓上異于A,8的一點(diǎn)，直線叱,旅

4

分別交直線/:x=〃?于M,N兩點(diǎn)直線AP,BP的斜率分別記為k、、h.

（1）求占&的值;

（2）若線段戶8的中點(diǎn)。恰好在以為直徑的圓上，求機(jī)的取值范圍.

【答案】（1）-%⑵"）,：）.

【分析】

（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（毛,%），代入橢圓方程有芯■+/=1，化簡(jiǎn)占?與求出答案：

（2）設(shè)直線4尸的方程，與橢圓方程聯(lián)立求出P的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出尸8的中點(diǎn)。，根

據(jù)％M劣=-1和4.&=_；得到&2”=%,化簡(jiǎn)求出加的范圍.

【詳解】

2

（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P5,%），有今+￥=1（-2<%。<2）

由已知得4-2,0）、8（2,0）,

,1_V

貝嵋&2=q-q=T-=y」；

XQ+2XQ_2XQ—4XQ-44

（2）由題意知直線”的方程：y=K（x+2）,則M（%占（zn+2））,

y=kt(x+2)

由r得(1+44)x12+l6k；x+166-4=0

—4-y=1

I4

嘲一44k.

由已知得(-2)”=得“

1+4%：01+463K

22k、

二PB的中點(diǎn)Q

1+4火：'1+4%1

當(dāng)直線QM的斜率存在時(shí)，由題意知％，”"=T，又勺?與=-；,

-QM-4kl,

2k

勺(加+2)--&

1+4戶22

即---------產(chǎn)絲L=4(,化簡(jiǎn)得根=宙+§

m--------------r

1+4k；

2

當(dāng)直線QM的斜率不存在時(shí)，m=——ye(0,2)

1+

綜上：Wie(。,：).

【點(diǎn)睛】

直線與圓錐曲線的題目解題時(shí)關(guān)鍵是對(duì)題目進(jìn)行翻譯，翻譯成常見的比較好理解的知識(shí)

點(diǎn)來(lái)解題，本題“線段總的中點(diǎn)Q恰好在以MN為直徑的圓上“，可以翻譯為QM_LQN.

這樣就可以利用斜率的乘積為“-1”來(lái)解題.

4.(浙江省Z20聯(lián)盟2021屆高三下學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)如圖，已知拋物線C：

y=^x2,點(diǎn)外不,%)(%*)為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的圓G與)'軸相切于點(diǎn)M(0"),

且與拋物線C在點(diǎn)A處有相同切線，兩=8而，過(guò)點(diǎn)N的直線/交拋物線于點(diǎn)E,F,

直線AE,A尸的斜率分別為勺，k2,滿足左+&=0.

y

(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

(2)求點(diǎn)A到直線/的距離的最小值.

【答案】(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)(0,1),準(zhǔn)線方程y=-i；(2)23噂4

【分析】

(1)將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后可得答案；

(2)由條件可得片=4%,"X。2,，然后可得

2__________

然后求出直線八y=d4，然后用外

表示出點(diǎn)A到直線/的距離，然后由單調(diào)性可得答案.

【詳解】

(I)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為爐=4)，，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)(0,1),準(zhǔn)線方程y=-i：

(2)已知片=4%,則點(diǎn)A處的切線方程：y=Ex-定，

24

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A的圓G與y軸相切于點(diǎn)M(0,r),且與拋物線C在點(diǎn)A處有相同切線

設(shè)產(chǎn)（天,必），則由占+乃=。得:

至玉+玉土豆=0,即一2玉,=&+%,

44

所以原F=學(xué)三1二一手，由兩=8而得N（0,-g],

x2x\L\oy

所以，直線/：y=-^x--,

28

爺+泳+%

則”=

在%e[l,"o）上單調(diào)遞增

所以，當(dāng)為=1時(shí)，4nhi=生包3,

此時(shí)，直線/與拋物線相交.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件用為表示出f和點(diǎn)A到直線/的距離，屬于非常

規(guī)題.

5.（浙江省臺(tái)州市臨海市、紹興市新昌縣高三下學(xué)期5月模擬考試數(shù)學(xué)試題）如圖，已

知點(diǎn)尸是拋物線C,:/=2px（p>0）上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓G:（x-2尸+/=1的切線

PA,尸8（A3是切點(diǎn)）分別與拋物線C1交于點(diǎn)C,。.當(dāng)小是坐標(biāo)原點(diǎn)。時(shí)，

\CD\=4G

(1)求拋物線G的方程；

(2)若CD//AB,求點(diǎn)/，的坐標(biāo).

【答案】(I)y2=2x；(2)(6,2港)或(6,-2右)或(0,0).

【分析】

(1)當(dāng)尸是坐標(biāo)原點(diǎn)。時(shí)，設(shè)切線的方程為丫=去，即h-y=O,切線與圓相切即圓

心到切線的距離為1,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求得直線的斜率，再由已知求得點(diǎn)C

的坐標(biāo)，代入可求得拋物線的方程.

(2)根據(jù)圓的切線的性質(zhì)得R4=P3,PC=PD,點(diǎn)尸為原點(diǎn)時(shí)，由對(duì)稱性可得APCD

為等邊三角形，由此可得P點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】

(1)當(dāng)尸是坐標(biāo)原點(diǎn)。時(shí)，設(shè)切線的方程為丫=去，即丘-y=0,切線與圓相切即圓

心到切線的距離為1，所以1=畢二=1,解得％=土且，即切線方程為y=±3x,

當(dāng)P是坐標(biāo)原點(diǎn)0E1寸，軸，又|C￡>|=4有，%=2有%=-2由，將%=2有代

入y-x得%=6,

即拋物線C,:y2=2Px(p>0)過(guò)點(diǎn)C(6,2有)，代入解得P=l,所以拋物線的方程為

y2=2x；

（2）以與P8是尸與圓的兩條切線，4，8為切點(diǎn)，所以R4=P8,而CD〃AB,

則PC=P。耍成立，

而點(diǎn)尸為原點(diǎn)時(shí)，切線以與P3關(guān)于x軸對(duì)稱，即PC與PO關(guān)于x軸對(duì)稱，而拋物線

與圓都是關(guān)于x軸對(duì)稱，

故此時(shí)必定滿足C￡>//AB,而用交拋物線于點(diǎn)<7（6,26）,尸8交拋物線于點(diǎn)。（6,-2百），

而8在直線x=6.上，即也與圓C?相切，此時(shí)APCO為等邊三角形，因此P為（6,26）

與（6,-2布），同樣CD///W,如點(diǎn)P不在這三個(gè)點(diǎn)上，由/（=/>/）知，APCD關(guān)于PJ

對(duì)稱，難以滿足CD都在拋物線上，故「點(diǎn)坐標(biāo)為（6,2檔）或（6,-2退）或（0,0）.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查拋物線的性質(zhì)和圓的性質(zhì)，關(guān)鍵在于根據(jù)拋物線和圓的對(duì)稱性得出

△PCD為等邊三角形，問(wèn)題得以解決.

6.（浙江省紹興市柯橋區(qū)高三下學(xué)期5月高考及選考科目適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）如圖,

已知橢圓C：E+丁=1,過(guò)點(diǎn)P（0,m）（〃?>1）的直線/與橢圓C相切于第一象限的點(diǎn)M,

4

。是坐標(biāo)原點(diǎn)，于N.

（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用加表示）:

（2）求|。叫+2|。叫的取值范圍.

【答案】（1）（也口一]；（2）[2衣3）.

mmL/

\/

【分析】

（1）由直線與橢圓相切，聯(lián)立方程整理，利用A=0求點(diǎn)M的坐標(biāo)：

（2）法一：用參數(shù)m表示各量，先求點(diǎn)P到直線0M的距離，再由勾股定理求出|CW|,

再將|0M|+210M整理化簡(jiǎn)，最后求關(guān)于m的函數(shù)值域.

法二：利用向量投影的幾何意義，將化為麗.西運(yùn)算，得到積為定值1,

再利用等式消元整理，最后求函數(shù)值域.

【詳解】

（1）設(shè)直線/：y=kx+m,（%<0）,

I:y=kx+m

由方程組2_消去y得（1+4/2b2+8切a+4（川-1）=0,

彳+}一

則A=16（-機(jī)2+4^+1）=O,；.4公+1=%2,k=_也「

,,,一J4kmm2j31J_

故切點(diǎn)時(shí)一―'詢,即M

m'm

（2）法-：由（1）可得。“：、一2品2-1.丫=0,尸（0,〃?）,

|,4/H2（m2-1

所以1PM|。叫=nr-----\----

W-3

又因?yàn)閨OM卜

故|OM|+2|ON|二+2

而由機(jī)>1得：令.=,則:€（1,2）,

故則|0叫+2|0叫=，+：￡[2應(yīng),3)

法二：?;PNLOM,

uniumrfidnr-11'

\OM\■|O/V|=OPOM=(0,ni)■—-----=1,

mm

\/

設(shè)f=則=氏'=卜*?l,2)

則|OM|+2|ON|=f+：€[2VI,3).

即：|OM|+2|ON|的取值范圍是[2應(yīng),3).

【點(diǎn)睛】

解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：

(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；

(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力,重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、

弦長(zhǎng)、斜率、距離、三角形的面積等問(wèn)題.

7.(浙江省紹興市諸暨市2021屆高三下學(xué)期5月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題)已知橢圓

。：余%=13>"0)的離心率為爭(zhēng)且過(guò)點(diǎn)(丹).

(1)求橢圓C的方程;

(2)過(guò)橢圓C外一點(diǎn)P(x°,%)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,記P4PB的斜

率分別為給的，且

①求P點(diǎn)軌跡方程；

②求證：的面積為定值.

22

(參考公式：過(guò)橢圓'+點(diǎn)?=1上一點(diǎn)(不乂)的切線方程為芋+*=1)

2

【答案】(1)土+丁=1；(2)①￡+4y2=8(xw±2)；②證明見解析.

4'

【分析】

(D根據(jù)橢圓上的點(diǎn)及離心率求出”,6即可得到橢圓方程；

(2)①根據(jù)匕"=-!，由軌跡方程的求法計(jì)算即可：②聯(lián)立方程，求出由點(diǎn)

4

到直線距離求d,利用面積公式即可求解.

【詳解】

'2,b2*43

-=1一/丁M=4

(1)04={,

31,b2=1

2

，橢圓C的方程為'+y2=i

4

(2)①設(shè)尸5,％),過(guò)點(diǎn)尸直線方程設(shè)為丫一%=々(工一天)

y=fcr-(5-)b)

由V2,

I4

消元得：

222

(7+k)x-2k(.kxn-y?)x+(Ax0-y0)-1=0

山直線與橢圓相切n△=4公(5__(1+4標(biāo))[(區(qū)。_-l]=0

化簡(jiǎn)得：（4-**+2與小+1-巾=0

**?秘2=：_）；=_；=片+4訴=8，

4—%4

，點(diǎn)軌跡方程為爐+4）2=8（xw±2）.

②設(shè)4a,乂）,鞏々,%），則PA：等+yy=l,P3:竽+y2y=1

因?yàn)槭珹加過(guò)點(diǎn)P（知%）,.?.{￡：：；：「：

???A8方程為y+4皿=4

由I'匚呼:=入守+23=。，

[X+4y=4

???△=片-8+8火=4第

，在-8+8渭管甌小妖磊L店品

：.\AB\=

二S」|4BH/=1,

2

???△PA8的面積為定值.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離，由面積公式化簡(jiǎn)即可求解，屬于中檔題.

8.(浙江省舟山市定海區(qū)2021屆高三下學(xué)期5月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題)在平面直角坐

標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：5+￡=13〃>0)的離心率為乎，且過(guò)點(diǎn)(6,；),點(diǎn)尸

在第四象限，A為左頂點(diǎn)，8為上頂點(diǎn)，尸4交y軸于點(diǎn)C,PB交x軸于點(diǎn)D

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求APCQ面積的最大值.

【答案】⑴⑵-72-1.

【分析】

(1)根據(jù)離心率和點(diǎn)("g)在橢圓上，列方程組解得不和〃即可得到結(jié)果;

(2)IAP：y=k(x+2)t通過(guò)聯(lián)立方程求得PC。的坐標(biāo)，再根據(jù)CAD

=|x4Ox|yp—以求出面積，然后求;11最值即可得解.

【詳解】

31?

/十獷=1

(1)山題意得：~得〃2=4,廿=1,

a2

a"=b~+C

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：口)』.

(2)由題意知A(-2,0),5(0,1),

設(shè)/.：y=A(x+2),因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限，所以v<%<0,所以C(0,2k),

y=k(x+2)

由1,消y得(1+4&2)爐+16公x+16尸一4=0,

—+y=1

I4-

16k2-4

所以XAXP=

\+4k2

由XA=-2得xp=2叱，故)午=%(xp+2)=,，

1+4公\+4k2

2-8k2

所以P（號(hào)）

1+4公

設(shè)。5),0),因8(0,1),P,B,/)三點(diǎn)共,所以kBD=kPB,

4k

1

11+4〃

故

-X。2-8&~

1+4公

富，得哈＞

解得xo

==

所以SAPCDSPAD-S^CAD；xADxfyp-yc\

14212人(1一4女2)I

=—x---------xX

2[-2k1+4公1-241+4〃

2|2*(1-2*)(14-2*)|

----X

i-2k1+4公

2—22(1—22)(1+2左)8K+4A

因?yàn)榈茫己螅?,所以s3ex

l—2k1+4-1+4/

2(4/+1)+4攵一27

l+4fc2\+4k2

令f=l—24，則所以24=1—3

所以g⑺=-2+需了=-2+二|3

2

2

=-2+2/-2+-7=---

/+——22V2-2

、11僅、/血用板等,上此時(shí)上匕Ji,所以△/（/）面積的最大俏為我I.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)橢圓性質(zhì)求橢圓方程，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了斜率公式,

基本不等式求最值，運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

9.(浙江省金華一中2021屆高三下學(xué)期5月高考模擬考試數(shù)學(xué)試題)已知拋物線O的

頂點(diǎn)是橢圓個(gè)+片=1的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合.

43

(1)求拋物線。的方程；

(2)已知?jiǎng)又本€/過(guò)點(diǎn)P(4,0),交拋物線。于A,5兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)。為的中點(diǎn),

求證ZAQP=4QP；

(3)在(2)的條件下，是否存在垂直于A軸的直線，〃被以轉(zhuǎn)為直徑的圓所截得的弦

長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求出，〃的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(I)y2=4x(2)證明見解析；(3)存在；直線〃z:x=3

【分析】

(1)根據(jù)橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得P的值，從而求得拋物線的方程；

(2)設(shè)出點(diǎn)A8的坐標(biāo)，并求得點(diǎn)。的坐標(biāo)，當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)利用拋物線的對(duì)

稱性可使問(wèn)題得證,當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線/的方程,然后聯(lián)立拋物線的方程，

從而利用韋達(dá)定理與斜率公式可使問(wèn)題得證；

(3)首先設(shè)直線=a滿足題意，由此得到圓心M的坐標(biāo),然后過(guò)點(diǎn)“作直線x=a

的垂線，垂足為E,設(shè)直線機(jī)與圓的一個(gè)交點(diǎn)為G,從而根據(jù)|EG|'MG『-|ME『求出

。的值，使問(wèn)題得解.

【詳解】

解：(1)設(shè)拋物線的方程為V=2px(p>0)

由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)

/.p=2

二拋物線。的方程為丁=4二

(2)證明：設(shè)5(%,%)

由。為尸。的中點(diǎn)，得點(diǎn)。的坐標(biāo)為(Y,0)

當(dāng)I垂直于X軸時(shí)，山拋物線的對(duì)稱性知NAQP=NBQP:

當(dāng)/不垂直于x軸時(shí)，設(shè)/：y=A(x—4)

由［:一"：'4)=>左與2-4(2/+1)》+16標(biāo)=0,

4(2廿+1)

.~-

??K

xtx2=16

一X_仙-4)_%—)

BQ

世一/一公+4'~X2+4~w+4，

.卜..二.(2芭%—32)-2x16-32)二

一""。一(再+4)仁+4)-&+4汽+4)一

ZAQP=NBQP.

(3)設(shè)存在直線機(jī)。滿足題意

由(2)知圓心過(guò)M作直線x=a的垂線，垂足為E,則E(a，5

設(shè)直線m與圓的一個(gè)交點(diǎn)為G,連接MG,則|EG|2=|MGFTM￡『

B|JIEG|2=|MG|2-|ME|2

_(x「?+y；(3;4j

=如+0-4)：&+4):傘+4)“

=%-4%+々(玉+4)—6f2

=(〃-3)芭+4〃一/.

當(dāng)a=3時(shí)，|EG|2=3,

此時(shí)直線〃?被以AP為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值26，因此存在直線m"=3滿足

題意.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，其中將

/4。尸=/8。尸轉(zhuǎn)化為3°+即2=。是解決問(wèn)題(2)的關(guān)鍵，屬于中檔題.

10.(浙江省金麗衢十二校2021屆高三下學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)已知拋物線

C：V=2px焦點(diǎn)為尸(2,0),且尸(機(jī),0),。(-““)，過(guò)尸作斜率為燈左力。)的直線/交拋

物線C于A、B兩點(diǎn).

(1)希m=k=2,QA-QB-0,求“；

(2)若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，加為定值，當(dāng)人變化時(shí)，始終有西.詼=0,求定值加的大小；

(3)若左=1,〃=0,m<0,當(dāng)，”改變時(shí)，求三角形QA8的面積的最大值.

【答案】(1)〃=2；(2)m=0或機(jī)=8；(3)坦叵.

9

【分析】

(1)山題意知。=4,拋物線的方程為V=8x,直線/的方程為丁=人(t一")，聯(lián)立

y=k(x-m)h2_8),_8切?=0,由此利用韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積公式，結(jié)合已知

J=8x

條件能求出〃；

(2)由向量的數(shù)量積得礪?礪=玉%+乂%=加2-8a=0,由此能求出切；

(3)當(dāng)k=1時(shí)，y2-8y-8m=0,由判別式得-2＜帆＜0,山此能求出三角形。48面

積的最大值.

【詳解】

(1)由題意知P=4,拋物線的方程為y2=8x,

y=k(x-m^消去*得外2_林86=0.

直線/的方程為》=&(彳-加)，聯(lián)立

y=8x

當(dāng)帆=々=2時(shí)，設(shè)鞏々,%)，則%+%=4,y%=T6,

則為+為=3=3+%)2一2乂%=6,—=噂=4，

.,.說(shuō)?9=(%+2,y-〃).(9+2,%-")=(與+2)(&+2)+(%-〃)(%-”)

=%1%2+2(X[+》2)+4+丫]丫2一〃()'|+%)+〃2=(”-2)-=0,解彳導(dǎo)〃=2；

22

(2)?.?%力=-8"，%x,=上&?=???,”為定值，當(dāng)女變化時(shí)，始終有麗.麗=0，

'64

2

.,.OA-OB=x]x2+yiy2=m-8m=0t解得加=0或〃？=8；

2

(3)當(dāng)女=1時(shí)，y-8y-8fn=0f由判別式4=64+32機(jī)＞0,得一2vmv0,

2

則SASB=]xIPQ|X"一必I=T"xy/(yl+y2)-4yly2=-mxJ64+32,“

=W姆.(4+2小小"亭+2〃)痔，

.??當(dāng)加=-2時(shí)，一角形QAB的面積取最大值必更.

39

【點(diǎn)睛】

本題考查利用拋物線中向量數(shù)量積求參數(shù)，同時(shí)也考查了拋物線中三角形面積最值的計(jì)

算，涉及三元基本不等式的應(yīng)用以及韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于

難題.

11.(浙江省寧波市“十?！?021屆高三下學(xué)期5月高考適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題)已知橢

圓田。。地小。）的離心率,=小，且點(diǎn)尸

為橢圓E上一點(diǎn).點(diǎn)A,B

為橢圓E的上、下頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)”在第一象限內(nèi)且坐標(biāo)為（見2）,過(guò)點(diǎn)M作直線M4,MB

分別交橢圓E于C,。兩點(diǎn).

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）直線C。是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）]+丁=1;（2）直線CD過(guò)定點(diǎn)

【分析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率和橢圓經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)確定基本量進(jìn)而得到橢圓的方程;

（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程得到一元二次方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合過(guò)兩點(diǎn)的直線方程

求解.

【詳解】

解：(1)e=—=?則a=2Z?,

a2

將代入橢圓E的方程,

J_

得22_[，解得。=1,

橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為%

(2)由題意，得A(O,1),B(O,-1),

則直線的方程為y=±+L

m

3r

直線MB的方程為卜=f-1,

m

x.3x1

y=-4-1y=----1

tnm

聯(lián)立

X2、X12,

—+y=1t“+y=1

4.

-8/n24/77

??X（、二,龍/）二o

m~+4m"+36

-8mtn1-424/n-nr+36

C，D

加2+4'〃/+4J%?+36/w2+36J

.k_%一汽＞-12

??（CD——

xD-xc-16/n

則直線CD的方程為y-尤T=比對(duì)（x+冬一），

w+416/77tn+4

12—IYT1

MHrPly=-------x+-,

16/n2

二直線CO過(guò)定點(diǎn)（0,；）.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的概念與性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬中檔題.

12.（浙江省名校新高考研究聯(lián)盟2021屆高三下學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，以

PQ-D為直角頂點(diǎn)的等腰直角APMN內(nèi)接于橢圓￡+丁=I.>1）,設(shè)直線PM的斜率

為k.

（I）試用〃，火表示弦長(zhǎng)IMNI;

<n）若這樣的APMN存在3個(gè)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【答案】(I)|MN|=_2%“+J(H)a＞6

1+八2

【分析】

(I)聯(lián)立直線與橢圓的方程得到一元二次方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合直線上兩點(diǎn)間的距

離公式求解；

(II)根據(jù)等腰三角形的腰長(zhǎng)相等構(gòu)造方程，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】

(I)不妨設(shè)直線PM所在的直線方程為尸履-1(&＜。)，

代入橢圓方程E+V=1，

a

整理得（1+a2k2）x2-2ka2x=0,

解得西=0,x=-2^,

-X+a1^

則|PM|=+公-x2|=，

所以|MN|=應(yīng)|PM|=-空竺如仁.

1+。次一

（II）因?yàn)锳PMN是等腰直角三角形，

所以直線PN所在的直線方程為y=-?x-l伏＜0),

k

2/Jl+42

同理川彳HPNI=-

k2+a1

令1PMl=|PN|,整理得二+〃2/+“乂+]=0,

即F+1+”2A（&+[）=0,

即伏+1）（公一無(wú)+1）+1（&+1）=0,

即(左+1)[左2+(/_1)左+1]=().

若這樣的等腰宜角三角形麗存在3個(gè),

則方程％2+(/-+1=0有兩個(gè)不等于-1的負(fù)根X：,X；，

A=(a2-l)2-4>0

為'+x=1-a2<0

則2

x[x2=1>0

l-(a2-lU1^0

(?2-I)2>4

a2>1

l>0

4+3*0

因?yàn)閍>l,

所以q>S'.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查橢圓的概念廿性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力,

屬于中檔題.

13.(浙江省紹興一中2021屆高三下學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)在平面直角坐標(biāo)系xOy

中，橢圓C:2?+%=1(〃>6>0)的右焦點(diǎn)為F(l,o),過(guò)點(diǎn)F且垂直于1軸的弦長(zhǎng)為3,

直線/與圓(x-l)2+V=l相切，且與橢圓C交于A,3兩點(diǎn)，。為橢圓的右頂點(diǎn).

(I)求橢圓C的方程;

(II)用5，S2分別表示“Wb和的面積，求s「邑的最大值.

【答案】(I)—+—=1:(H)6

43

【分析】

(I)利用條件，求得“，h,c的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（II）先分斜率存在和不存在兩種情況討論直線方程，當(dāng)斜率不存在時(shí)，求出的

值，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程y=（〃件0）,利用直線與圓相切，得到宜線中火,

，”的等量關(guān)系，然后將直線方程與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立，通過(guò)消元化簡(jiǎn)，得到根與系數(shù)的

關(guān)系，求得直線與橢圓相交所得弦的長(zhǎng)度及點(diǎn)到直線的距離，然后利用面積公式并通過(guò)

換元，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求得最小值.

【詳解】

解：（I）由已知得c=l,——=3,結(jié)合a2=》2+c2,得〃=2,b=y[i

所以橢圓的方程為《+￡=1.

43

（II）當(dāng)/斜率不存在時(shí)，AB=2。得5「$2=6.

當(dāng)/斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為丫=丘+雙%*0）,A（&y）,8（々,%）

由/與圓（x-l）2+y2=l相切，得堆"=1,整理得加+2加=1（*）

J1+公

將/的方程與橢圓的方程聯(lián)立得（3+4公產(chǎn)++4蘇-12=0

-Skm4m2-12

所以玉+%=

3+442'二七-3+4.2

則|AB|=+&2卜-工21=4市?J1+〃?丹：：；以

.12&+機(jī)|

設(shè)d為。到直線/的距離，則）=J1+J

3-m2+4k2\\2k+ni\

所以=JAB|xlx；|A8|x"=12jl+42?

(3+4公)2

、2

tn2+1

將（*）式代入得8§=6

機(jī)4+機(jī)？+1,

令1=>+1￡(1,+CO)

/y

所以S「S2=6—'—＜6.

t+--l

It7

綜上，S小邑的最大值為6.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓、橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，在（II）中關(guān)

鍵是將三角形面積轉(zhuǎn)化為求AB的弦長(zhǎng)和求。到直線/的距離，屬于中檔題.

14.（浙江省寧波市正海中學(xué)2021屆高三下學(xué)期5月模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C的

方程為￡+[=1（。＞匕＞0）,.，4]在橢圓上,離心率e=也，左、右焦點(diǎn)分別為K,

a-b-I2）2

（I）求橢圓C的方程；

（II）直線y=依伏＞0）與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，連接A￡,8"并延長(zhǎng)交橢圓C于。，

E兩點(diǎn)，連接OE,求心￡與左之間的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】（I）y+/=l（II）噎=3%

【分析】

（I）根據(jù)點(diǎn)尸在橢圓上及離心率與4，b,，之間的關(guān)系建立方程組求解即可；

（H）設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后用點(diǎn)A的坐標(biāo)分別表示出直線A。，BE的方程，并分別

代入橢圓的方程，從而利用韋達(dá)定理得到點(diǎn)。，E的坐標(biāo)與點(diǎn)A的坐標(biāo)間的關(guān)系，進(jìn)而

即可得到心￡與々之間的函數(shù)關(guān)系式.

【詳解】

（I）由11,孝）在橢圓上，可得5+.=1,

又e=￡=立，且/=從+°2,

a2

可得a=y/2（h=\,c=1,

所以橢圓C的方程為]+/=1.

（II）設(shè)則3（-%,-%），

V+]

直線的方程為犬=-----y-i,

%

代入橢圓C的方程上+9=1,

2

得[（X。+1）2+2*]V-2（X0+1）-3=。，

因?yàn)槠r+"，

代入化簡(jiǎn)得（2%+3）/一2（x0+1）-尤=0,

設(shè)。a，yj,打毛,％），則%?=2：13,

-yx+1.

所以nx=n^y-\,

2/+3}%,

r,—1

直線8石的方程為工二」一y-i,

%

%=包工2-1

同理可得%=

—2XQ+3%

kJ一為二y-％

D￡

所以x,-x2產(chǎn)0+1y—馬Ty

力了2

%為

1

跖?1y+%

%%y一%

1=3?瓦=3人

%

%%（6）

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，直線

的方程、斜率，屬于中檔題.

15.（浙江省臺(tái)州中學(xué)2021屆高三模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知曲線U、+y2=l,點(diǎn)P（0,l）

在曲線C上，直線了=自+。與曲線C相交于AB兩點(diǎn)，若滿足|/訓(xùn)=伊分

（1）求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程；

（2）當(dāng)AB兩點(diǎn)在y軸的同一側(cè)時(shí)，求線段A8長(zhǎng)度的取值范圍.

【答案】（l）x=0（-l<y<D或y=-；（-半<x<華）；（2）（0,孚）.

【解析】

分析：（1）分直線的斜率為0和不為0兩種情況說(shuō)明，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，

應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)合題的條件，求得結(jié)果；

（2）應(yīng)用弦長(zhǎng)公式，結(jié)合變量的范圍，應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性，最后求得結(jié)果.

詳解：（1）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，中點(diǎn)的軌跡為x=0（-l<y<l）

當(dāng)直線AB斜率存在且不為。時(shí)，設(shè)直線A3的方程為丁=丘+6,設(shè)朋為弦AB的中點(diǎn)

設(shè)A（石,y），現(xiàn)和為），M（x“，％），

y=kx+m

?,=>（4）l2+l）x2+8tox+4/?2-4=0

彳+-'，=1

△=16（4二+1-/）

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=<x.+x,=----

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