專題10巧解圓錐曲線中的定點和定值問題【高考地位】圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考重點考查的內(nèi)容和熱點，知識綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生邏輯思維能力計算能力等要求很高，這些問題重點考查學(xué)生方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．定值問題與定點問題是這類題目的典型代表，為了提高同學(xué)們解題效率，特別是高考備考效率，本文列舉了一些典型的定點和定值問題，以起到拋磚引乇的作用．【方法點評】方法一定點問題或曲線方程中的變量x，任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的組的解所確定的點所過的定點，求解直線和曲線過定點問題的基本解題模板是：把直線y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點，那么這個方程就要對系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于x，y的方程組，這個方程就是直線或曲線或者可以通過特例探求，再用一般化方法證明．x2y2P1,PF，直線2122PF2QO,O為坐標(biāo)原點．的左右焦點分別為C:1ab0F,F12C，橢圓過點【例1】已知橢圓ab2yQ交軸于，且2（1）求橢圓的方程C；（2）設(shè)M是橢圓上的頂點，CMMA,MBA,B過點分別作出直線交橢圓于兩點，設(shè)這兩條直線的斜率k,k，且kk2AB，證明：直線過定點．分別為1212：（x﹣1）2+y=8上任意一點，點F與點F關(guān)于原點對稱，線段PF的垂直212【變式演練1】已知點P是圓F21，PF交于M，2N兩點．平分線分別與PF1（1）求點M的軌跡C的方程；1G（0，）的動直線l與點的軌跡C交于A，B兩點，在y軸上是否存在定點Q，使以AB為直（2）過點3徑的圓恒過這個點？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．方法二定值問題解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個確定的值，求定值問題常見的解題模板有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．OAOB6O，其中【例2】已知拋物線E:y22p(xp0)xmy3EAB與交于，兩，直線點，且為坐標(biāo)原點.E拋物線的方程；（1）求11kk，，kk122m證明：2為定值C（2）已知點的坐標(biāo)為（-3,0CACB記直線、的斜率分別為），.2212yx3上的兩點，橢圓的離心率為2，1122【變式演練2】設(shè)Ax,yBx,y1ab0是橢圓2，ab222xyxy,，，且2babam,nmn，O為坐標(biāo)原點.短軸長為2，已知向量112F0,c（1）若直線過橢圓的焦點，（為半焦距），求直線的斜率的值；ABcABkAOB（2）試問：的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.【高考再現(xiàn)】1.已知橢圓C：2xy33（1,1），P（0,1），P（–1，（1，），P）中恰有三2223422=12（a>b>0），四點P1ab點在橢圓C上.C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過（1）求點且與C相交于A，P2B兩點.若直線PA與直線PB的斜率的和為–1，證明：l過22定點.yxmx2(0,1)m變化時，2．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與x軸交于A，B兩點，點C的坐標(biāo)為.當(dāng)2解答下列問題：（1）能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由；（2）證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值.3C的兩個頂點分別為A(?2,0)，B(2,0)，焦點在x軸上，離心率為．23.已知橢圓C的（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）點點E.求證：D為x軸上一點，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M，N，過D作AM的垂線交BN于△BDE與△BDN的面積之比為4:5．xy221C：過點ab4.已知橢圓2A（2,0），B（0,1）兩點.2（I）求橢圓C的方程及離心率；（Ⅱ）設(shè)P為四邊形ABNM的第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：面積為定值.5.已知橢圓C:（a>b>0）的長軸長為4，焦距為2.（I）求橢圓C的方程；(Ⅱ)過動點M(0，m)(m>0)的直線交x軸與點N，交C于點A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點.過點P作x軸的垂線交C于另一點Q，延長線QM交C于點B.(i)設(shè)直線PM、QM的斜率分別為k、k'，證明為定值.(ii)求直線AB的斜率的最小值.xy122E：1(ab0)P(3,)的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點26.已知橢圓ab22在橢圓E上.(Ⅰ)求橢圓E的方程；1(Ⅱ)設(shè)不過原點O且斜率為的直線2l與橢圓E交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：MAMBMCMD．xy221（ab0C：ab37.已知橢圓2A(,0)aB(0,b)O(0,0)OAB離心率為，，，，的面2）的2積為1.（1）求橢圓C的方程；PCPAy（2）設(shè)的橢圓上一點，直線與軸交于點xM，直線PB與軸交于點N.求證：ANBM為定值.xy221(ab0)E：8.已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線ab22l:yx3與橢圓E有且只有一個公共點T.T的坐標(biāo)；坐標(biāo)原點，直線l’平行于OT，與橢圓（Ⅰ）求橢圓E的方程及點（Ⅱ）設(shè)O是E交于不同的兩點A、B，且與直線l交于點P．證明：PTPAPB2存在常數(shù)，使得，并求的值.3C的兩個頂點分別為A(?2,0)，B(2,0)，焦點在x軸上，離心率為29.已知橢圓．（Ⅰ）求橢圓（Ⅱ）點D為x軸點E.求證：C的方程；上一點，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M，N，過D作AM的垂線交BN于△BDE與△BDN的面積之比為4:5．【反饋練習(xí)】xy2221.已知橢圓：C1lC與橢圓交于軸的直線1ab0）的離心率為x（，過右焦點且垂直ab2223lykxmmRm，與橢圓交于4ABAB2于，兩點，且：2CMN，兩點.，直線C（1）求橢圓的5標(biāo)準(zhǔn)方程；，RM·RNR0km是一個與無關(guān)的常數(shù)，求實數(shù)的值.（2）已知點，若4xy222.已知橢圓C:1(ab0)F10，的短軸端點到右焦點的距離為2．a(chǎn)b22C（Ⅰ）求橢圓的方程；12PAAF，PBBF，F(xiàn)（Ⅱ）過點的CA，B兩點，交直線l：x4P于點，若直線交橢圓于求證：為定值．12Mx,yx1y2x1y22223.已知動點滿足：.2ME（1）求動點的軌跡的方程；N1,0lEA,BAx兩點，點關(guān)于軸的CC對稱點為（點與點不重合），B（2）設(shè)過點的直線與曲線交于證明：直線BC恒過定點，并求該定點的坐標(biāo).4.已知過拋物線C:y22p(xp0)F的焦點，2斜率為的直線交拋物線于Ax,y,Bx,y(xx)兩112212AB6.點，且C（1）求該拋物線的方程；Mt,4MMD和ME，且MDME，判斷直線DE是拋物線上一點，過點作拋物線的兩條弦（2）已知否過定點？并說明理由.AF2,0上的定點，且B，點，5.如圖，點是拋物線：Fx2py（p0A）的焦點，點是拋物線2CABACkk上的動點，直線，斜率分別為，．12的方程；是拋物線（1）求拋物線（2）若kk2DBCBCDS的面積為，證明為定值．S，點是拋物線在點，處切線的交點，記215F的距離為2．2C:y2p(0)xp在第一象限內(nèi)的點P2,t到焦點6.已知拋物線QFl與拋物線相交于另一點Q，求的值；PF1（1）若M,0，過點M,P的直線21與拋物線相交于A,B兩點，與圓M:xay1相交于D,E兩點，為坐標(biāo)原點，O22l2C（2）若直線OAOBaaDE否存在實數(shù)，使得的長為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．，試問：是E:x2pyp0在拋物線2上，7.以邊長為83的正三角形OAB的頂點O為坐標(biāo)原點，另外兩個頂點EFlEP,Q兩點過交拋物線于過拋物線的焦點的直線E（1）求拋物線的方程；OPOQ（2）求證：為定值；PQ（3）求線段的中點的軌跡方程.xy23P(2,1)，且離心率為．21(ab0)8.已知橢圓E:經(jīng)過點ab222（Ⅰ）求橢圓（Ⅱ）設(shè)O為求直線AB是否過的標(biāo)準(zhǔn)方程；OMNO，直線PM、PN分別交橢圓坐標(biāo)原點，在橢圓短軸上有兩點M，N滿足于A，B．探定點，如果經(jīng)過定點請求出定點的坐標(biāo)，如果不經(jīng)過定點，請說明理由．9.已知拋物線上一點到焦點的距離為.（l）求拋物線的方程；（2）拋物線上一點的縱坐標(biāo)為1，過點的直線與拋物線交于兩個不同的點（均與點不重合），設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.2,2．xy2210.已知橢圓1(ab0)的短軸端點和焦點組成的四邊形為正方形，且橢圓過點ab22（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；b2kk過原點，aACBDABCDAC、BDO（2）四邊形的頂點都在橢圓上，且對角線若，求證：四邊2ABCD的面積為定值．形11.已知拋物線C:y22pxp0F45lF的焦點為，傾斜角為的直線過點與拋物線交于兩CA,BOOAB22點，為坐標(biāo)原點，的面積為.p（1）求；px（2）設(shè)點為直線2CECk,k在第一象限的交點，過點作的斜率分別為的兩條弦12E與拋物線EM,EN，如果k