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第二節(jié)可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程及其解法

二、典型例題第二節(jié)可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程及其解法一、可分離變量的微分方程及其解法1、可分離變量的微分方程轉化｝（一階）一、可分離變量的微分方程及其解法1、可分離變量的微分方程2、分離變量方程的解法:設函數(shù)g(y)和函數(shù)f

(x)是連續(xù)的則(1)分離變量

將方程整理為

(2)兩邊積分

說明：在微分方程這一章，不定積分表示被積函數(shù)的一個原函數(shù)，而把積分所帶來的任意常數(shù)用一個C表示.（隱式通解,或通積分）2、分離變量方程的解法:設函數(shù)g(y)和函數(shù)f(x)二、典型例題例1.

求微分方程的通解.解:當y≠0時，分離變量得兩邊積分得即(C為任意常數(shù))另外，y=0也是方程的解，所以，原方程的通解為二、典型例題例1.求微分方程的通解.解:當y≠0時，分離例2.

解初值問題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C為任意常數(shù))故所求特解為例2.解初值問題解:分離變量得兩邊積分得即由初始條件得例3.

求下述微分方程的通解:解:

令則故有即解得(C為任意常數(shù))所求通解:通過適當變量代換可化為可分離變量的微分方程例3.求下述微分方程的通解:解:令則故有即解得(

練習求下列方程的通解:提示:分離變量方程變形為提示:練習求下列方程的通解:提示:分離變量方程變形為例4.

子的含量M成正比,求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t的變化規(guī)律.解:根據(jù)題意,有(初始條件)對方程分離變量,即利用初始條件,得故所求鈾的變化規(guī)律為然后積分:已知t=0時鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當時未衰變原衰變系數(shù)例4.子的含量M成正比,求在衰變過程中鈾含量M(t)例5.成正比,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡,得特解并設降落傘離開跳傘塔時(t=0)速度為0,設降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度降落傘下落速度與時間的函數(shù)關系.t

足夠大時例5.成正比,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對方程作業(yè)P3041(1),(5),(7),(10);2

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