∫x∫lnx1 xydt xdt y 1 1lnxylnxlny對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx的反函數(shù)為指數(shù)函數(shù)xey，習(xí)慣上記為yex.指數(shù)函數(shù)有加法公式ex+y=ex?ey.這里的底數(shù)e這樣定義，它使得∫1 e∫1對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx導(dǎo)數(shù)可以直接求出來，即y′=1x（利用變上限積分求導(dǎo)法則。指數(shù)函數(shù)y=ex的導(dǎo)數(shù)可以間接求出來，即利用它的反函數(shù)導(dǎo)數(shù)，然后倒過來即可，由此可知(ex)′=ex.這比直接利用導(dǎo)數(shù)定義要便捷一些。借助于歐拉公式eix=cosx+isinx，我們實(shí)際上可以由指數(shù)函數(shù)來研究三定積分運(yùn)算∫看做是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，即按:=?d ∫.只是后來人們發(fā)現(xiàn)了牛頓-萊布尼茨公式，發(fā)現(xiàn)連續(xù)函數(shù)的變上積分∫表示一族函數(shù)而不是一個(gè)，即∫f(x)dx=F(x)不要漏掉任意常數(shù)Cn∑f(ξi)(xi?xi?1當(dāng)max{xi?xi?1→0無法控制f(ξi).的想法是分y軸（即控制f(ξi)，大致想法如下：設(shè)m≤f(x)M，然后分割函數(shù)的值域[m,Mm=l0<l1<L<ln=

Ek={x∈[a,b]:lk≤f(x)Lebesgue測(cè)度記為m(Ek.∑lkm(Ek→∫f(x)∫EDI=∫∫Df(x的，而函數(shù)的定義要求對(duì)每一個(gè)x，有惟一的數(shù)值f(x與之對(duì)應(yīng)。所以分xf(x的表現(xiàn)不那么糟糕。但是，如果分y軸，那么根據(jù)函數(shù)定義，同一個(gè)數(shù)值y，可能有一堆x與之對(duì)應(yīng)，此時(shí)已經(jīng)不存在函數(shù)關(guān)系x=g(y了。這一解釋說明，站在函數(shù)積分的角度看，分x軸與分y軸并不對(duì)等。細(xì)想想確實(shí)如此，對(duì)于形態(tài)好的函數(shù)，分x軸與分y軸效果一樣，對(duì)于一些比較BT的函數(shù)，需要分y軸了（同時(shí)要借助L測(cè)度理論。需要強(qiáng)調(diào)的是：本人的看法是，Lebesgue積分的真正價(jià)值不是使得R不可積函數(shù)變得可積了，L積分的真正價(jià)值是：大大放寬了積分與極限∫u ∫0∫u z∫0

=arcsin定義了正弦函數(shù)zsinu.這其實(shí)是橢圓積分中k0對(duì)應(yīng)的退化情